高中数学高考三轮冲刺 天津南开中学2023届高三数学练习（空间向量3）

（2023浙江）如图，在四棱锥中，底面是边长为的菱形，，且平面分别为的中点．（Ⅰ）证明：平面；（Ⅱ）过点作，垂足为点，求二面角的平面角的余弦值．(Ⅰ)如图连接BD．∵M，N分别为PB，PD的中点，∴在PBD中，MN∥BD．又MN平面ABCD，∴MN∥平面ABCD；(Ⅱ)如图建系：A(0，0，0)，P(0，0，)，M(，，)，N(，0，)，C(，3，0)．设Q(x，y，z)，则．∵，∴．由，得：．即：．对于平面AMN：设其法向量为．∵．则．∴（-同理对于平面MNQ得其法向量为．记所求二面角A—MN—Q的平面角大小为，则．∴所求二面角A—MN—Q的平面角的余弦值为．（2023江西）如图，四棱锥中，平面，为的中点，为的中点，，,，连接并延长交于.（Ⅰ）求证：平面；（Ⅱ）求平面与平面的夹角的余弦值．图1在中，依题意有，所以且，，又，所以与为全等的正三角形．易知，所以，是中点．又是中点，所以，又平面，所以平面．接下来证明平面就很容易了．图1解：（Ⅰ）依审题要津，平面，所以，又，，所以平面．解：（Ⅱ）如图所示，建立空间直角坐标系，为坐标原点，

则，，．，，，设平面的法向量，

则即解得所以．设平面的法向量，则即解得所以．

．所以平面与平面的夹角的余弦值为．解：（1）在中，因为是的中点，所以,故，因为,所以,从而有，故,又因为所以∥。又平面，所以故平面。以点为坐标原点建立如图所示的坐标系，则,，故设平面的法向量，则，解得，即。设平面的法向量，则，解得，即。从而平面与平面的夹角的余弦值为（2023辽宁）如图，直三棱柱，，，点分别为和的中点．（Ⅰ）证明：平面；（Ⅱ）若二面角为直二面角，求的值．解：（1）连结，由已知三棱柱为直三棱柱，所以为中点.又因为为中点所以，又平面平面，因此……6分（2）以为坐标原点，分别以直线为轴，轴，轴建立直角坐标系，如图所示设则，于是，所以，设是平面的法向量，由得，可取设是平面的法向量，由得，可取因为为直二面角，所以，解得（2023北京）如图(1)，在中，分别是上的点，且，将沿折起到的位置，使，如图(2)．（Ⅰ）求证：平面；（Ⅱ）若是的中点，求与平面所成角的大小；（Ⅲ）线段上是否存在点，使平面与平面垂直？说明理由． 【审题要津】要证平面，只需在平面内找到两条相交直线都与垂直，显然有，再通过证明平面得到，从而问题得证．解：（Ⅰ）因为，所以平面，又因为平面，所以，又，所以平面．【审题要津】若想通过找出在面内的射影得出线面成角，则难度很大，故考虑引入坐标系来计算．解：（Ⅱ）如图建立空间直角坐标系，

则，

所以，．设平面法向量为，则所以所以不妨取，所以．

又因为，，设与平面所成的角为，则与所夹角的锐角为，所以，

故与平面所成角为．【审题要津】假设存在点，由点在线段上，则知，这是最重要的限制条件，这是将来判断“是否存在”的依据．解：（Ⅲ）设线段上存在点满足题设，设点坐标为，则，

．设平面的法向量为，则

所以不妨取，所以，假设平面与平面垂直，则，所以，，，与矛盾，所以不存在线段上的点，使平面与平面垂直．解：（1），平面，又平面，又，平面。（2）如图建系，则，，，∴,设平面法向量为则∴∴∴又∵∴∴，∴与平面所成角的大小。（3）设线段上存在点，设点坐标为，则则，设平面法向量为，则∴∴。假设平面与平面垂直，则，∴，，，∵，∴不存在线段上存在点，使平面与平面垂直。（2023重庆）如图，四棱锥中，,，为的中点，.（1）求的长；（2）求二面角的正弦值.（2023大纲）如图，三棱柱中，点在平面ABC内的射影D在AC上，，.（I）证明：；（II）设直线与平面的距离为，求二面角的余弦值.解：解法一：（I）平面，平面，故平面平面．又，平面．连结，∵侧面为菱形，故，由三垂线定理得；（II）平面平面，故平面平面．作为垂足，则平面．又直线∥平面，因而为直线与平面的距离，．∵为的角平分线，故．作为垂足，连结，由三垂线定理得，故为二面角的平面角．由得为的中点，∴二面角的大小为．解法二：以为坐标原点，射线为轴的正半轴，以长为单位长，建立如图所示的空间直角坐标系．由题设知与轴平行，轴在平面内．（I）设，由题设有则由得，即（①）．于是．（II）设平面的法向量则即．故，且．令，则，点到平面的距离为．又依题设，点到平面的距离为．代入①解得（舍去）或．于是．设平面的法向量，则，即，故且．令，则．又为平面的法向量，故，∴二面角的大小为．（2023湖南）如图，四棱柱的所有棱长都相等，四边形均为矩形．（Ⅰ）证明：（Ⅱ）若的余弦值．解：（I）因为四边形为矩形，所以.同理。因为∥，所以。而，因此底面ABCD。由题设知，∥。故底面ABCD。解法2因为四棱柱ABCD-的所有棱长都相等，所以四边形ABCD是菱形，因此。又底面ABCD，从而OB，OC,两两垂直。如图（b），以O为坐标原点，OB,OC,所在直线分别为轴，轴，轴，建立空间直角坐标系。不妨设AB=2.因为，所以，于是相关各点的坐标为：O(0，0，0)，，.易知，是平面的一个法向量。设是平面的一个法向量，则即取，则，所以。设二面角的大小为，易知是锐角，于是。故二面角的余弦值为（2023浙江）如图，在四棱锥中，平面平面，，，.证明：平面；求二面角的大小．（=1\*ROMANI）在直角梯形中，由，得，，由，则，即，又平面平面，从而平面，所以，又，从而平面；（=2\*ROMANII）方法一：作，与交于点，过点作，与交于点，连结，由（=1\*ROMANI）知，，则，，所以是二面角的平面角，在直角梯形中，由，得，又平面平面，得平面，从而，，由于平面，得：，在中，由，，得，在中，，，得，在中，，，，得，，从而，在中，利用余弦定理分别可得，