机械振动讲义连续系统

连续系统的振动1引言力学模型的组成

连续系统的力学模型由具有分布质量、分布弹性和分布阻尼元件组成。连续系统与离散系统的关系连续系统离散系统简化、离散化自由度n趋向于无穷连续系统与离散系统的区别

连续系统离散系统自由度连续系统与离散系统是同一物理系统的两个数学模型。描述系统的变量有限个无穷多个时间时间和空间位置微分方程二阶常微分方程组偏微分方程组方程消去时间变量后代数方程组微分方程的边值问题连续系统

2弦振动振动微分方程由离散系统方程导出将连续的弦作离散系统考虑，即由无质量的弦连接n个离散的质量mi。每个质量上所受的力为Fi质量mi的受力分析如图。对质量mi在y方向的受力和加速度运用牛顿第二定律：由于弦两端固定，因此有设或连续系统

2弦振动振动微分方程由离散系统方程导出或或两边除以Dxi当质量数无穷多时，Dxi趋近于零，方程可写成其中，由于用x替换了变量xi

，因此对时间的全导数转换成偏导数，而增量比用对x的偏导数表示。连续系统

2弦振动振动微分方程从连续系统直接导出

设长度为L、两端固定的弦上受均布载荷f(x,t)，弦上x处的张力与单位长度质量密度分别为T(x)和r(x)。

根据牛顿定律，任一瞬时作用在微弦段上y方向的力与微弦段的加速度有如下关系

质量为rAdx的微段dx，隔离体受力分析图展开、消去相关的项、略去dx的二次项，然后两边除以dx得或连续系统

2弦振动自由振动特征值问题方程边界条件用分离变量法，设：代入方程：两边同除以Y(x)r(x)F(t)上述方程两边分别依赖于变量x

和t，因此两边都等于常数。设常数为-w2：连续系统

2弦振动自由振动特征值问题从关于时间的方程

从关于位置x的方程可以确定位移的形状Y(x)，它必须在区间0<x<L满足方程及边界条件Y(0)=Y(L)=0。解得F(t)

上式为包含未知常数w2的二阶常微分齐次方程，非平凡解Y(x)存在，且解中有两个积分常数，而已知边界条件只有两个。

从方程可以看出，如果Y(x)是偏微分方程的解，那么a

Y(x)（a是任意常数）也是方程的解。

这意味着，求解满足边界条件的偏微分方程，就是要找到满足方程的未知常数wi和对应的函数Yi

(x)。与离散系统对应，wi2称为特征值（即系统的固有圆频率平方），而Yi

(x)称为特征函数（主振型）。连续系统

2

弦振动自由振动特征值问题

同样地，与离散系统对应，若特征函数Yi

(x)经正则化处理，则它们关于质量密度和张力正交：对初始扰动的响应

与离散系统类似，利用正交的正则化特征函数集Yi

(x)（i=1,2,…）的线性组合，可以表示连续系统在初始扰动下的响应。

代入方程，两边左乘Yi

(x)，并对整个区间[0,L]积分，利用特征函数的正交性：解为常数Ci和j

i由初始条件得到。连续系统

2弦振动自由振动例

1图示均匀弦两端固定，弦中的张力为常数，求解系统的特征值问题，画出系统前四个特征函数，并验证正交性。解由题意，系统的T和r

为常数，因此系统满足如下方程：其中：且有从方程可知Y(x)是x的简谐函数，一般可写由边界条件Y(0)＝0可得B=0,则由边界条件Y(L)＝0可得由于A不为零，必有特征方程特征值为或特征函数为自由振动例

1图示均匀弦两端固定，弦中的张力为常数，求解系统的特征值问题，画出系统前四个特征函数，并验证正交性。特征函数为正交性验证由正则化要求正则化的特征函数自由振动例

1图示均匀弦两端固定，弦中的张力为常数，求解系统的特征值问题，画出系统前四个特征函数，并验证正交性。正交性验证三角函数积化和差积分自由振动例

1图示均匀弦两端固定，弦中的张力为常数，求解系统的特征值问题，画出系统前四个特征函数，并验证正交性。正交性验证三角函数积化和差积分连续系统

3杆的纵向振动振动微分方程从连续系统直接导出

设长度为L、两端固定的杆上受均布轴向力f(x,t)，杆上x处的轴向刚度与单位长度质量分别为E

A

(x)和m(x)。

根据材料力学，任一瞬时作用在杆微段两端的轴向内力与轴向应变成正比

取杆的微段dx，隔离体受力分析图或

根据牛顿定律，任一瞬时作用在杆微段上的轴向力与杆微段的加速度有如下关系自由振动特征值问题方程边界条件用分离变量法，设：代入方程：两边同除以U(x)m

(x)F(t)上述方程两边分别依赖于变量x

和t，因此两边都等于常数。设常数为-w2：自由振动特征值问题从关于时间的方程

从关于位置x的方程可以确定位移的形状U(x)，它必须在区间0<x<L满足方程及边界条件U(0)=U(L)=0。解得F(t)与弦振动的特征值问题作比较结论只要把弦振动特征值问题中的Y(x)

、T(x)和r

(x)换作U(x)

、EA(x)

和m(x)

就得到杆作纵向振动的特征值问题表达式。自由振动特征值问题例

2图示均匀杆两端固定，杆的拉伸刚度为常数，求解系统的特征值问题。解由题意，系统的EA和m为常数，因此系统满足如下方程：其中：且有从方程可知U(x)是x的简谐函数，一般可写由边界条件U(0)＝0可得b=0,则由边界条件U(L)＝0可得由于a不为零，必有特征方程特征值为或特征函数为自由振动特征值问题例

3图示均匀杆两端自由，杆的拉伸刚度为常数，求解系统的特征值问题。解由题意，系统的EA和m为常数，因此系统满足如下方程：其中：且有从方程可知U(x)是x的简谐函数，一般可写由x=0处的边界条件可得a=0,则由x=L处的边界条件可得由于b不为零，必有特征方程特征值为或特征函数为自由振动特征值问题例

4图示一端固定，另一端自由均匀杆的拉伸刚度为常数，求解系统的特征值问题。解由题意，系统的EA和m为常数，因此系统满足如下方程：其中：且有从方程可知U(x)是x的简谐函数，一般可写由边界条件U(0)＝0可得b=0,则由于a不为零，必有特征方程特征值为或特征函数为由x=L处的边界条件可得自由振动特征值问题讨论作纵向振动杆的边界状况、频率方程和振型函数边界状况频率振型函数两端固定两端自由一端固定一端自由自由振动特征值问题例

5设图示推进轴系由长度为L、单位长度质量为m、拉伸刚度为EA的均匀杆和质量为M的螺旋桨组成，轴系的一端由推力轴承固定，另一端自由。求解轴系作纵向振动时系统的特征值问题。解由题意，系统的EA和m为常数，因此系统满足如下方程：其中：或固定端的边界条件不变，U(0)＝0，而自由端有：代入整理得自由振动特征值问题例

5设图示推进轴系由长度为L、单位长度质量为m、拉伸刚度为EA的均匀杆和质量为M的螺旋桨组成，轴系的一端由推力轴承固定，另一端自由。求解轴系作纵向振动时系统的特征值问题。对于上述超越方程，只要给定系统参数，就能得到系统的特征值wi

。特征方程由边界条件U(0)＝0可得b=0,则从方程可知U(x)是x的简谐函数，一般可写边界条件由x＝L

处的边界条件得或特征函数为U

i

为自由振动特征值问题讨论作纵向振动杆边界条件的讨论边界状况左端右端固定自由带有弹簧k带有集中质量M振动微分方程从连续系统直接导出

设长度为L、一端固定一端自由的杆上受均布外扭矩M(x,t)与轴的转角q同向，杆的扭转刚度与单位长度转动惯量分别为G

IP

(x)和J(x)。

根据材料力学，任一瞬时作用在杆微段两端的扭转内力矩之和与轴的剪应变成正比

取杆的微段dx，隔离体受力分析图或

根据动量矩定律，任一瞬时作用在杆微段上的内外力矩与杆微段的角加速度有如下关系自由振动特征值问题方程边界条件用分离变量法，设：代入方程：两边同除以Q

(x)J

(x)F(t)上述方程两边分别依赖于变量x

和t，因此两边都等于常数。设常数为-w2：自由振动特征值问题从关于时间的方程

从关于位置x的方程可以确定位移的形状Q

(x)，它必须在区间0<x<L满足方程及边界条件。解得F(t)与弦振动的特征值问题作比较结论只要把弦振动特征值问题中的Y(x)

、T(x)和r

(x)换作Q

(x)

、GIP

(x)

和J(x)

就得到杆作纵向振动的特征值问题表达式。自由振动特征值问题例

6图示一端固定，另一端自由均匀杆的扭转刚度为常数，求解系统的特征值问题。解由题意，系统的GIP和J为常数，因此系统满足如下方程：其中：且有从方程可知Q

(x)是x的简谐函数，一般可写由边界条件Q

(0)＝0可得b=0,则由于a不为零，必有特征方程特征值为或特征函数为由x=L处的边界条件可得自由振动特征值问题例

7设图示轴系由长度为L、单位长度转动惯量为J、扭转刚度为GIP的均匀杆和转动惯量为J1和J1的刚性薄圆盘组成，整个轴系在扭转角方向无约束。求解轴系作扭转振动时系统的特征值问题。解由题意，系统的GIP和J为常数，因此系统满足如下方程：其中：或两边的边界条件为：自由振动特征值问题代入整理得例

7边界条件利用自由振动特征值问题例

7分离变量后的方程从方程可知Q