高中数学人教A版3第一章计数原理 优秀奖

章末综合测评(一)计数原理(时间120分钟，满分150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．用1,2,3,4,5这五个数字，组成没有重复数字的三位数，其中偶数共有()A．24个 B．30个C．40个 D．60个【解析】将符合条件的偶数分为两类，一类是2作个位数，共有Aeq\o\al(2,4)个，另一类是4作个位数，也有Aeq\o\al(2,4)个．因此符合条件的偶数共有Aeq\o\al(2,4)＋Aeq\o\al(2,4)＝24(个)．【答案】A2．5位同学报名参加两个课外活动小组，每位同学限报其中的一个小组，则不同的报名方法共有()A．10种 B．20种C．25种 D．32种【解析】5位同学报名参加两个课外活动小组，每位同学限报其中的一个小组，则不同的报名方法共有25＝32种．【答案】D3．已知Ceq\o\al(6,n＋1)－Ceq\o\al(6,n)＝Ceq\o\al(7,n)(n∈N*)，则n＝()A．14 B．15C．13 D．12【解析】由组合数性质知，Ceq\o\al(6,n)＋Ceq\o\al(7,n)＝Ceq\o\al(7,n＋1)，所以Ceq\o\al(6,n＋1)＝Ceq\o\al(7,n＋1)，所以6＋7＝n＋1，得n＝12.【答案】D4．某外商计划在4个候选城市投资3个不同的项目，且在同一个城市投资的项目不超过2个，则该外商不同的投资方案有()【导学号：29472041】A．16种 B．36种C．42种 D．60种【解析】分两类．第一类：同一城市只有一个项目的有Aeq\o\al(3,4)＝24种；第二类：一个城市2个项目，另一个城市1个项目，有Ceq\o\al(2,3)·Ceq\o\al(2,4)·Aeq\o\al(2,2)＝36种，则共有36＋24＝60种．【答案】D5．记者要为5名志愿者和他们帮助的2位老人拍照，要求排成一排，2位老人相邻但不排在两端，不同的排法共有()A．1440种 B．960种C．720种 D．480种【解析】先将5名志愿者排好，有Aeq\o\al(5,5)种排法，2位老人只能排在5名志愿者之间的4个空隙中，先将2位老人排好，有Aeq\o\al(2,2)种排法，再把它作为一个元素插入空隙中，有4种插法．所以共有不同排法4Aeq\o\al(5,5)Aeq\o\al(2,2)＝960种．【答案】B6．关于(a－b)10的说法，错误的是()A．展开式中的二项式系数之和为1024B．展开式中第6项的二项式系数最大C．展开式中第5项和第7项的二项式系数最大D．展开式中第6项的系数最小【解析】由二项式系数的性质知，二项式系数之和为210＝1024，故A正确；当n为偶数时，二项式系数最大的项是中间一项，故B正确，C错误；D也是正确的，因为展开式中第6项的系数是负数且其绝对值最大，所以是系数中最小的．【答案】C7．设f(x)＝(2x＋1)5－5(2x＋1)4＋10(2x＋1)3－10(2x＋1)2＋5(2x＋1)－1，则f(x)等于()A．(2x＋2)5 B．2x5C．(2x－1)5 D．(2x)5【解析】f(x)＝Ceq\o\al(0,5)(2x＋1)5(－1)0＋Ceq\o\al(1,5)(2x＋1)4·(－1)1＋Ceq\o\al(2,5)(2x＋1)3(－1)2＋Ceq\o\al(3,5)(2x＋1)2(－1)3＋Ceq\o\al(4,5)(2x＋1)1(－1)4＋Ceq\o\al(5,5)(2x＋1)0(－1)5＝[(2x＋1)－1]5＝(2x)5.【答案】D8．某计算机商店有6台不同的品牌机和5台不同的兼容机，从中选购5台，且至少有品牌机和兼容机各2台，则不同的选购方法有()【导学号：29472042】A．1050种 B．700种C．350种 D．200种【解析】分两类：(1)从6台不同的品牌机中选3台和从5台不同的兼容机中选2台；(2)从6台不同的品牌机中选2台和从5台不同的兼容机中选3台．所以不同的选购方法有Ceq\o\al(3,6)Ceq\o\al(2,5)＋Ceq\o\al(2,6)Ceq\o\al(3,5)＝350种．【答案】C9．设(1－3x)9＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a9x9，则|a0|＋|a1|＋|a2|＋…＋|a9|的值为()A．29 B．49C．39 D．59【解析】由于a0，a2，a4，a6，a8为正，a1，a3，a5，a7，a9为负，故令x＝－1，得(1＋3)9＝a0－a1＋a2－a3＋…＋a8－a9＝|a0|＋|a1|＋…＋|a9|，故选B.【答案】B10．由1,2,3,4,5组成没有重复数字的四位数，按从小到大的顺序排成一个数列{an}，则a72等于()A．1543 B．2543C．3542 D．4532【解析】千位数为1时组成的四位数有Aeq\o\al(3,4)个，同理，千位数是2,3,4,5时均有Aeq\o\al(3,4)(个)数，而千位数字为1,2,3时，从小到大排成数列的个数为3Aeq\o\al(3,4)＝72，即3542是第72个．【答案】C11．袋中共有15个除了颜色外完全相同的球，其中有10个白球，5个红球．从袋中任取2个球，所取的2个球中恰有1个白球，1个红球的概率为()\f(5,21) \f(10,21)\f(11,21) D．1【解析】从15个球中任取2个球共有Ceq\o\al(2,15)种取法，其中有1个红球，1个白球的情况有Ceq\o\al(1,10)·Ceq\o\al(1,5)＝50(种)，所以P＝eq\f(50,C\o\al(2,15))＝eq\f(10,21).【答案】B12．设(1＋x)n＝a0＋a1x＋…＋anxn，若a1＋a2＋…＋an＝63，则展开式中系数最大项是()A．15x3 B．20x3C．21x3 D．35x3【解析】令x＝0，得a0＝1，再令x＝1，得2n＝64，所以n＝6，故展开式中系数最大项是T4＝Ceq\o\al(3,6)x3＝20x3.【答案】B二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．将答案填在题中的横线上)13．某科技小组有女同学2名、男同学x名，现从中选出3名去参加展览．若恰有1名女生入选时的不同选法有20种，则该科技小组中男生的人数为________．【解析】由题意得Ceq\o\al(1,2)·Ceq\o\al(2,x)＝20，解得x＝5.【答案】514．在(1－2x)6的展开式中，x2的系数为________．(用数字作答)【解析】由二项式定理得含x2的项为Ceq\o\al(2,6)(－2x)2＝60x2.【答案】6015．将5位志愿者分成3组，其中两组各2人，另一组1人，分赴某大型展览会的三个不同场馆服务，不同的分配方案有________种．(用数字作答)【解析】先分组eq\f(C\o\al(2,5)C\o\al(2,3)C\o\al(1,1),A\o\al(2,2))，再把三组分配乘以Aeq\o\al(3,3)得：eq\f(C\o\al(2,5)C\o\al(2,3)C\o\al(1,1),A\o\al(2,2))Aeq\o\al(3,3)＝90种．【答案】9016．设a≠0，n是大于1的自然数，eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(x,a)))eq\s\up12(n)的展开式为a0＋a1x＋a2x2＋…＋anxn.若点Ai(i，ai)(i＝0,1,2)的位置如图1所示，则a＝________.图1【解析】由题意知A0(0,1)，A1(1,3)，A2(2,4)．故a0＝1，a1＝3，a2＝4.由eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(x,a)))eq\s\up12(n)的展开式的通项公式知Tr＋1＝Ceq\o\al(r,n)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x,a)))eq\s\up12(r)(r＝0,1,2，…，n)．故eq\f(C\o\al(1,n),a)＝3，eq\f(C\o\al(2,n),a2)＝4，解得a＝3.【答案】3三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17．(本小题满分10分)已知eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(C\o\al(x,n)＝C\o\al(2x,n)，,C\o\al(x＋1,n)＝\f(11,3)C\o\al(x－1,n)，))试求x，n的值.【导学号：29472043】【解】∵Ceq\o\al(x,n)＝Ceq\o\al(n－x,n)＝Ceq\o\al(2x,n)，∴n－x＝2x或x＝2x(舍去)，∴n＝3x.由Ceq\o\al(x＋1,n)＝eq\f(11,3)Ceq\o\al(x－1,n)，得eq\f(n！,x＋1！n－x－1！)＝eq\f(11,3)·eq\f(n！,x－1！n－x＋1！)，整理得3(x－1)！(n－x＋1)！＝11(x＋1)！(n－x－1)！，3(n－x＋1)(n－x)＝11(x＋1)x.将n＝3x代入，整理得6(2x＋1)＝11(x＋1)，∴x＝5，n＝3x＝15.18．(本小题满分12分)设eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\r(3,2)＋\f(1,\r(3,3))))eq\s\up12(n)的展开式的第7项与倒数第7项的比是1∶6，求展开式中的第7项．19．(本小题满分12分)一个口袋内有4个不同的红球，6个不同的白球，(1)从中任取4个球，红球的个数不比白球少的取法有多少种？(2)若取一个红球记2分，取一个白球记1分，从中任取5个球，使总分不少于7分的取法有多少种？【解】(1)将取出4个球分成三类情况：①取4个红球，没有白球，有Ceq\o\al(4,4)种；②取3个红球1个白球，有Ceq\o\al(3,4)Ceq\o\al(1,6)种；③取2个红球2个白球，有Ceq\o\al(2,4)Ceq\o\al(2,6)种，故有Ceq\o\al(4,4)＋Ceq\o\al(3,4)Ceq\o\al(1,6)＋Ceq\o\al(2,4)Ceq\o\al(2,6)＝115种．(2)设取x个红球，y个白球，则eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋y＝5，0≤x≤4，,2x＋y≥7，0≤y≤6，))故eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝2，,y＝3))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝3，,y＝2))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝4，,y＝1.))因此，符合题意的取法共有Ceq\o\al(2,4)Ceq\o\al(3,6)＋Ceq\o\al(3,4)Ceq\o\al(2,6)＋Ceq\o\al(4,4)Ceq\o\al(1,6)＝186种．20．(本小题满分12分)设(2x－1)10＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a10x10，求下列各式的值：(1)a0＋a1＋a2＋…＋a10；(2)a6.【解】(1)令x＝1，得a0＋a1＋a2＋…＋a10＝(2－1)10＝1.(2)a6即为含x6项的系数，Tr＋1＝Ceq\o\al(r,10)(2x)10－r·(－1)r＝Ceq\o\al(r,10)(－1)r210－r·x10－r，所以当r＝4时，T5＝Ceq\o\al(4,10)(－1)426x6＝13440x6，即a6＝13440.21．(本小题满分12分)某校高三年级有6个班级，现要从中选出10人组成高三女子篮球队参加高中篮球比赛，且规定每班至少要选1人参加．这10个名额有多少不同的分配方法？【解】法一：除每班1个名额以外，其余4个名额也需要分配．这4个名额的分配方案可以分为以下几类：(1)4个名额全部给某一个班级，有Ceq\o\al(1,6)种分法；(2)4个名额分给两个班级，每班2个，有Ceq\o\al(2,6)种分法；(3)4个名额分给两个班级，其中一个班级1个，一个班级3个．由于分给一班1个，二班3个和一班3个、二班1个是不同的分法，因此是排列问题，共有Aeq\o\al(2,6)种分法；(4)分给三个班级，其中一个班级2个，其余两个班级每班1个，共有Ceq\o\al(1,6)·Ceq\o\al(2,5)种分法；(5)分给四个班，每班1个，共有Ceq\o\al(4,6)种分法．故共有N＝Ceq\o\al(1,6)＋Ceq\o\al(2,6)＋Aeq\o\al(2,6)＋Ceq\o\al(1,6)·Ceq\o\al(2,5)＋Ceq\o\al(4,6)＝126种分配方法．法二：该问题也可以从另外一