高中数学人教A版第一章集合与函数概念集合 优秀作品

函数的概念及其表示法函数的定义：①传统定义：在某一个变化过程中有两个变量x和y，如果对于在某一个范围内的任一个x的值，都有唯一的y值与它对应，则称y是x的函数，x叫自变量，y叫因变量。②现代定义：设A、B是非空的数集，如果按某个确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f（x）和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数，记作y=f（x），x∈A，其中x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域；与x的值相对应的y的值叫做函数值，函数值的集合{f（x）|x∈A}叫做函数的值域。映射的定义：一般地，设A、B是两个集合，如果按照某种对应关系f，对于集合A中的任何一个元素，在集合B中都有唯一的元素和它对应，那么，这样的对应（包括集合A、B，以及集合A到集合B的对应关系f）叫做集合A到集合B的映射，记作f：A→B。如果集合A中的元素a对应到集合B中的元素b，那么其中集合B中的元素b是集合A中元素a对应的“象”；b是a的“原象”。由映射和函数的定义可知，函数是一类特殊的映射，它要求A、B非空且皆为数集。对应有以下几种形式：994133221130456090112233149123123456开平方求正弦求平方乘以2（1）（2）（3）（4）其中：一对多（如①）、多对一（如③）、一对一（如②、④）总结：①根据映射的定义知“一对多”（如①）不是映射；②A中每一个元素都有象；③B中每一个元素不一定都有原象，不一定只一个原象；④A中每一个元素的象唯一。函数的定义域：函数的定义域是自变量x的取值范围，它是构成函数的重要组成部分，如果没有标明定义域，则认为定义域是使函数解析式有意义的或使实际问题有意义的x的取值范围，但要注意，在实际问题中，定义域要受实际意义的制约。如：的定义域是非负实数；圆半径R与面积S的函数关系的定义域为正数；的定义域是非零实数……注：求函数的定义域的常见类型当为整式时，定义域为Ｒ；当为分式时，定义域为使分母不为０的x的集合；当为二次根式时，定义域为使被开方式非负的x的集合；当是由几个式子组成时，定义域是使得各个式子都有意义的x的值的集合。函数的对应法则：对应关系f是函数关系的本质特征，y=f（x）的意义是：y就是x在关系到f下的对应值，而f是“对应”得以实现的方法和途径。如：f(x)=3x+5，f表示自变量的3倍加上5。函数的值域：函数的值域：自变量在定义于内取值时相应的函数值的集合。求函数的值域的常用方法：1．观察法求函数值域【例31】求下列函数值域：（1），（2），（3）（4）2．配方法求二次函数值域【例32】已知函数，分别求它在下列区间上的值域。（1）；（2）；（3）；（4）．提示：（1）函数的定义域不同，值域也不同；（2）二次函数的区间值域的求法：①配方；②作图；③求值域。3．部分分式法求分式函数的值域（分离常数法）【例33】求函数的值域。4．利用“已知函数的值域”求值域【例34】求下列函数的值域：（1）；（2）；（3）；（4）．5．换元法求函数值域【例35】求函数的值域。6．判别式法求函数值域【例36】求函数的值域。两个函数相等的定义：函数的定义含有三个要素，即定义域、值域和对应法则。当函数的定义域及从定义域到值域的对应法则确定之后，函数的值域也就随之确定。因此，定义域和对应法则为函数的两个基本条件，当且仅当两个函数的定义域和对应法则都分别相同时，这两个函数才是同一个函数。【例37】试判断以下各组函数是否表示同一函数？（1）f（x）=，g（x）=；（2）f（x）=，g（x）=（3）f（x）=，g（x）=；（4）f（x）=x2－2x－1，g（t）=t2－2t－1。提示：对于两个函数来讲，只要函数的三要素中有一要素不相同，则这两个函数就不可能是同一函数区间的概念：设a、b是两个实数，且a<b，我们规定：满足不等式a≤x≤b的实数x的集合叫做闭区间，表示为[a，b]；满足不等式a＜x＜b的实数x的集合叫做闭区间，表示为(a，b)；满足不等式a≤x＜b和a＜x≤b的实数x的集合叫做半开半闭区间，分别表示为[a，b)、(a，b；实数集合R可以用区间表示为，“”读作“无穷大”，“”读作“负无穷大”。我们可以把满足不等式的实数x的集合分别表示成。复合函数的定义域及其求法：若y=f(u),u=g(x),x(a,b),u(m,n),那么称为复合函数，u称为中间变量，它的取值范围是g(x)的值域。①已知的定义域，求的定义域，其实质是由的取值范围求的范围。②已知的定义域，求的定义域，其实质是由的取值范围求的范围。【例38】已知的定义域是，求下列各函数的定义域：①； ②； ③函数的表示法：解析法：用数学表达式表示两个变量之间的对应关系。优点：简明；给自变量求函数值。图像法：用图像表示两个变量之间的对应关系。优点：直观形象，反应变化趋势。列表法：列出表格来表示两个变量之间的对应关系。优点：不需计算就可看出函数值。具体实例如：二次函数等；股市走势图；列车时刻表；银行利率表。【例39】某种细胞分裂时，由1个分裂成2个，2个分裂成4个，…，一直分裂下去．①用列表表示1个细胞分裂1、2、3、4、5、6、7、8次后，得到的细胞个数；②用图像表示1个细胞分裂的次数n(nN＋)与得到的细胞个数y之间的关系。分段函数：有些函数在其定义域中，对于自变量x的不同取值范围，对应关系也不同，这样的函数通常称为分段函数。分段函数的表达式因其特点可以分成两个或两个以上的不同表达式，所以它的图像也由几部分构成。但是分段函数虽然由几部分构成，但它代表的是一个函数。求分段函数的有关函数值的关键是“分段归类”，即自变量的取值属于哪一段，就用哪一段的解析式。作分段函数的图像时，则应分段分别作出其图像，在作每一段图像时，无不管定义域的限制，用虚线作出其图像，再用实线保留定义域内的一段图像即可。【例40】某市郊空调公共汽车的票价按下列规则制定：⑴乘坐公共汽车5公里以内，票价2元；⑵5公里以上，每增加5公里，票价增加1元（不足5公里按5公里计算）。 已知两个相邻的公共汽车站间相距为1公里，如果沿途（包括起点站和终点站）设20个汽车站，请根据题意，写出票价与里程之间的函数解析式，并画出函数的图象。 设票价为y，里程为x，则根据题意，如果某空调汽车运行路线中设20个汽车站，那么汽车行驶的里程约为20公里，所以自变量x的取值范围是。 由空调汽车票价制定的规定，可得到以下函数解析式： y=根据这个函数解析式，可画出函数图象（如图）像上面那样表示的函数称为分段函数注意：１．表示函数的式式可以不止一个，对于分几个式子表示的函数，不是几个函数而是一个分段函数２．函数的图象不一定是一条式几条无限长的平滑曲线，也可以是一些孤立的点，一些线段，曲线。函数图像的作法：①描点法；②变换作图法（平移、对称、其它）【例41】作出下列函数的图像：①；②；③用代入法和待定系数法求函数的解析式：①代入法：如已知，求时有：；②待定系数法：已知的函数类型，要示