高中数学人教A版第一章三角函数 正弦函数余弦函数的性质学案

2023学年高一年级数学2023学年高一年级数学导学案（39）班级姓名学号编写：赵海通审阅：侯国会§1.4.2正弦函数、余弦函数的性质（1）2．会求函数y＝Asin(ωx＋φ)及y＝Acos(ωx＋φ)的周期．3．掌握函数y＝sinx，y＝cosx的奇偶性，会判断简单三角函数的奇偶性．学习重点：正弦函数、余弦函数的周期性、奇偶性。学习难点：正弦函数、余弦函数的周期性、奇偶性的综合应用。【学法指导】1．在函数的周期定义中是对定义域中的每一个x值来说，对于个别的x0满足f(x0＋T)＝f(x0)，并不能说T是f(x)的周期．例如：既使sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)＋\f(π,2)))＝sineq\f(π,4)成立，也不能说eq\f(π,2)是f(x)＝sinx的周期．2．判断函数的奇偶性应坚持“定义域优先”原则，即先求其定义域，看它是否关于原点对称，一些函数的定义域比较容易观察，直接判断f(－x)与f(x)的关系即可；一些复杂的函数要防止没有研究定义域是否关于原点对称而出错.一．知识导学1．函数的周期性(1)对于函数f(x)，如果存在一个，使得当x取定义域内的时，都有，那么函数f(x)就叫做周期函数，非零常数T叫做这个函数的周期．(2)如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f(x)的．2．正弦函数、余弦函数的周期性由sin(x＋2kπ)＝，cos(x＋2kπ)＝知y＝sinx与y＝cosx都是函数，都是它们的周期，且它们的最小正周期都是2π.3．正弦函数、余弦函数的奇偶性(1)正弦函数y＝sinx与余弦函数y＝cosx的定义域都是，定义域关于对称．(2)由sin(－x)＝知正弦函数y＝sinx是R上的函数，它的图象关于对称．(3)由cos(－x)＝知余弦函数y＝cosx是R上的函数，它的图象关于对称.二．探究与发现【探究点一】周期函数的定义一般地，对于函数y＝f(x)，如果存在一个不为零的常数T，使得当x取定义域内的每一个值时，f(x＋T)＝f(x)都成立，那么就把函数y＝f(x)叫做周期函数，不为零的常数T叫做这个函数的周期．(1)证明函数y＝sinx和y＝cosx都是周期函数．(2)满足条件：f(x＋a)＝－f(x)(a为常数且a≠0)的函数y＝f(x)是周期函数吗？如果是，给出一个周期，如果不是，说明理由．【探究点二】最小正周期如果非零常数T是函数y＝f(x)的一个周期，那么kT(k∈Z且k≠0)都是函数y＝f(x)的周期．(1)周期函数的周期不止一个，若T是周期，则kT(k∈Z，且k≠0)一定也是周期．例如，正弦函数y＝sinx和余弦函数y＝cosx的最小正周期都是,它们的所有周期可以表示为：．(2)“并不是所有的周期都存在最小正周期”，即存在某些周期函数，这些函数没有最小正周期．请你写出符合上述特征的一个周期函数：.(3)证明函数的最小正周期常用反证法．下面是利用反证法证明2π是正弦函数y＝sinx的最小正周期的过程．请你补充完整．证明：由于2π是y＝sinx的一个周期，设T也是正弦函数y＝sinx的一个周期，且，根据周期函数的定义，当x取定义域内的每一个值时，都有.令x＝eq\f(π,2)，代入上式，得sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)＋T))＝sineq\f(π,2)＝1，又sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)＋T))＝，所以.另一方面，当T∈(0,2π)时，，这与矛盾．故2π是正弦函数y＝sinx的最小正周期．同理可证，余弦函数y＝cosx的最小正周期也是2π.【探究点三】函数y＝Asin(ωx＋φ)(或y＝Acos(ωx＋φ))(Aω≠0)的周期证明eq\f(2π,|ω|)是函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(或f(x)＝Acos(ωx＋φ))的最小正周期．【探究点四】正、余弦函数的奇偶性正弦曲线余弦曲线从函数图象看，正弦函数y＝sinx的图象关于对称，余弦函数y＝cosx的图象关于对称；从诱导公式看，sin(－x)＝，cos(－x)＝均对一切x∈R恒成立．所以说，正弦函数是R上的函数，余弦函数是R上的函数．例1．求下列函数的周期．(1)y＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,3)))(x∈R)；(2)y＝cos(1－πx)(x∈R)；(3)y＝|sinx|(x∈R)．跟踪训练1。求下列函数的周期：(1)y＝cos2x；(2)y＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)x＋\f(π,3)))；(3)y＝|cosx|.例2．跟踪训练2。若f(x)是以eq\f(π,2)为周期的奇函数，且feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,3)))＝1，求feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(5π,6)))的值．例3．判断下列函数的奇偶性．(1)f(x)＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)x＋\f(π,2)))；(2)f(x)＝lg(1－sinx)－lg(1＋sinx)；(3)f(x)＝eq\f(1＋sinx－cos2x,1＋sinx).跟踪训练3。判断下列函数的奇偶性：(1)f(x)＝coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)π＋2x))＋x2·sinx；(2)f(x)＝eq\r(1－2cosx)＋eq\r(2cosx－1).三．巩固训练：1．函数y＝sin(4x＋eq\f(3,2)π)的周期是 ()A．2π B．π C．eq\f(π,2) D．eq\f(π,4)2．下列函数中，周期为eq\f(π,2)的是()A．y＝sineq\f(x,2)B．y＝sin2xC．y＝coseq\f(x,4) D．y＝cos(－4x)3．已知f(x)是R上的奇函数，且f(1)＝2，f(x＋3)＝f(x)，则f(8)＝________.4．若f(x)是奇函数，当x>0时，f(x)＝x2－sinx，求当x<0时，f(x)的解析式．四．课堂小结：1．求函数的最小正周期的常用方法：(1)定义