高中数学北师大版2本册总复习总复习阶段质量评估2

第二章变化率与导数一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的)1．某物体的运动规律是s＝s(t)，则该物体在t到t＋Δt这段时间内的平均速度是()\x\to(v)＝eq\f(Δs,Δt)＝eq\f(st＋Δt－st,Δt) \x\to(v)＝eq\f(sΔt,Δt)\x\to(v)＝eq\f(st,t) \x\to(v)＝eq\f(st＋Δt－sΔt,Δt)解析：由平均速度的定义可知，物体在t到Δt，Δt这段时间内的平均速度是其位移改变量与时间改变量的比．所以eq\x\to(v)＝eq\f(Δs,Δt)＝eq\f(st＋Δt－st,Δt).答案：A2．下列各式正确的是()A．(lna)′＝eq\f(1,a)(a为常数) B．(cosx)′＝sinxC．(sinx)′＝cosx D．(x－3)′＝－eq\f(1,3)x－4解析：因为a为常数，(lna)′＝0，故A错．由导数公式表易知B、D错误．答案：C3．设f(x)＝xlnx＋x，若f′(x0)＝3，则x0＝()A．e2 B．e\f(ln2,e) D．ln2解析：∵f(x)＝xlnx＋x，∴f′(x)＝lnx＋2.又∵f′(x0)＝3，∴x0＝e.答案：B4．设f(x)＝eq\f(1,\r(3,x2))－eq\f(1,x\r(x))，则f′(1)等于()A．0 \f(1,2)\f(5,6) D．－eq\f(5,6)解析：∵f′(x)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－eq\s\up7(\f(2,3))－x－eq\s\up7(\f(3,2))))′＝－eq\f(2,3)x－eq\s\up7(\f(5,3))＋eq\f(3,2)x－eq\s\up7(\f(5,2))，∴f′(1)＝－eq\f(2,3)＋eq\f(3,2)＝eq\f(5,6).答案：C5．若点P在曲线y＝x3－3x2＋(3－eq\r(3))x＋eq\f(3,4)上移动，经过点P的切线的倾斜角为α，则角α的取值范围是()\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2))) \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))∪eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2π,3)，π))\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2π,3)，π)) \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))∪eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，\f(2π,3)))解析：y′＝3x2－6x＋3－eq\r(3)＝3(x－1)2－eq\r(3)≥－eq\r(3)，即tanα≥－eq\r(3).又α∈[0，π)，∴α∈eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))∪eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2π,3)，π)).答案：B6．曲线y＝x3－2x＋1在点(1,0)处的切线方程为()A．y＝x－1 B．y＝－x＋1C．y＝2x－2 D．y＝－2x＋2解析：由题可知，点(1,0)在曲线y＝x3－2x＋1上，求导可得y′＝3x2－2，所以在点(1,0)处的切线的斜率k＝1，切线过点(1,0)，根据直线的点斜式可得切线方程为y＝x－1.答案：A7．已知f(x)＝eq\f(x3,3)＋3xf′(0)，则f′(1)＝()A．1 B．－1C．0 D．3解析：f′(x)＝x2＋3f′(0)令x＝0，则f′(0)＝3f′(0)，则f′(0)∴f′(1)＝1＋3f′(0)答案：A8．已知曲线y＝eq\f(x2,4)－3lnx的一条切线的斜率为eq\f(1,2)，则切点的横坐标为()A．3 B．2C．1 \f(1,2)解析：y′＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x2,4)－3lnx))′＝eq\f(x,2)－eq\f(3,x)，令eq\f(x,2)－eq\f(3,x)＝eq\f(1,2)，结合x＞0，得x＝3.答案：A9．已知y＝eq\f(1,2)sin2x＋sinx，则y′()A．仅有最小值的奇函数B．既有最大值又有最小值的偶函数C．仅有最大值的偶函数D．非奇非偶函数解析：y′＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)sin2x＋sinx))′＝eq\f(1,2)(sin2x)′＋(sinx)′＝eq\f(1,2)·cos2x·2＋cosx＝cos2x＋cosx＝2cos2x＋cosx－1＝2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(cosx＋\f(1,4)))2－eq\f(9,8)，∴y′max＝2，y′min＝－eq\f(9,8)，且y′＝2cos2x＋cosx－1为偶函数．答案：B10．若曲线C：y＝x3－2ax2＋2ax上任意点处的切线的倾斜角都是锐角，那么整数a的值等于()A．－2 B．0C．1 D．－1解析：y′＝3x2－4ax＋2a∵曲线在任意点处的切线的倾斜角都是锐角，∴3x2－4ax＋2a＞0恒成立∴Δ＝16a2－24a＜0，∴0＜a＜eq\f(3,2).又a∈Z，∴a＝1.答案：C二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．请把正确答案填在题中横线上)11．设曲线y＝xn＋1－2(n∈N＋)在点(1,1)处的切线与x轴的交点的横坐标为xn，则log2011x1＋log2011x2＋…＋log2011x2010的值为________________．解析：由y＝xn＋1－2，得y′＝(n＋1)xn，则在点(1,1)处切线的斜率k＝y′|x＝1＝n＋1，切线方程为y－1＝(n＋1)(x－1)，令y＝0，得xn＝eq\f(n,n＋1)，∴log2011x1＋log2011x2＋…＋log2011x2010＝log2011(x1·x2·…·x2010)＝log2011eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)×\f(2,3)×\f(3,4)×…×\f(2010,2011)))＝log2011eq\f(1,2011)＝－1.答案：－112．曲线y＝x3＋3x2＋6x－10的切线中，斜率最小的切线方程是________________．解析：∵y′＝3x2＋6x＋6＝3(x＋1)2＋3，∴当x＝－1时，y′有最小值3，即斜率最小为3.此时切点为(－1，－14)，所以切线方程为3x－y－11＝0.答案：3x－y－11＝013．已知过曲线y＝x3＋bx＋c上一点A(1,2)的切线为y＝x＋1，则bc的值为_________．解析：f′(1)＝(3x2＋b)|x＝1＝3＋b＝1，所以b＝－2.所以y＝x3－2x＋c，所以2＝1－2＋c，所以c＝3，从而bc＝－6.答案：－614．若曲线f(x)＝ax5＋lnx存在垂直于y轴的切线，则实数a的取值范围是_________．解析：∵f′(x)＝5ax4＋eq\f(1,x)，x∈(0，＋∞)，∴由题知5ax4＋eq\f(1,x)＝0在(0，＋∞)上有解．即a＝－eq\f(1,5x5)在(0，＋∞)上有解．∵x∈(0，＋∞)，∴－eq\f(1,5x5)∈(－∞，0)，∴a∈(－∞，0)．答案：(－∞，0)三、解答题(本大题共4小题，共50分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)15．(本小题满分12分)求下列函数的导数：(1)y＝eq\f(x5＋\r(x)＋sinx,x2)；(2)f(x)＝(x3＋1)(2x2＋8x－5)；(3)y＝eq\f(1－sinx,1＋cosx)；(4)y＝a3xcos(2x＋1)．解析：(1)y＝eq\f(x5＋\r(x)＋sinx,x2)＝x3＋x－eq\f(3,2)＋x－2sinx.∴y′＝3x2－eq\f(3,2)x－eq\f(5,2)－2x－3sinx＋x－2cosx.(2)f(x)＝(x3＋1)(2x2＋8x－5)＝2x5＋8x4－5x3＋2x2＋8x－5.∴f′(x)＝10x4＋32x3－15x2＋4x＋8.(3)y′＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1－sinx,1＋cosx)))′＝eq\f(1－sinx′1＋cosx－1－sinx1＋cosx′,1＋cosx2)＝eq\f(sinx－cosx－1,1＋cosx2).(4)y′＝[a3xcos(2x＋1)]′＝(a3x)′cos(2x＋1)＋a3x[cos(2x＋1)]′＝a3xlna·(3x)′cos(2x＋1)＋a3x·[－sin(2x＋1)]·(2x＋1)′＝3a3xlna·cos(2x＋1)－2a3xsin(2＝a3x[3lna·cos(2x＋1)－2sin(2x＋1)]．16．(本小题满分12分)偶函数f(x)＝ax4＋bx3＋cx2＋dx＋e的图像过点P(0,1)，且在x＝1处的切线方程为y＝x－2，求y＝f(x)的解析式．解析：∵f(x)的图像过P(0,1)点，∴e＝1.又∵f(x)为偶函数，∴f(－x)＝f(x)．故ax4＋bx3＋cx2＋dx＋e＝ax4－bx3＋cx2－dx＋e.∴b＝0，d＝0.∴f(x)＝ax4＋cx2＋1.∵函数f(x)在x＝1处的切线方程为y＝x－2，∴可知切点为(1，－1)．∴a＋c＋1＝－1.∵f′(1)＝4a＋2c，∴4a∴a＝eq\f(5,2)，c＝－eq\f(9,2).∴函数y＝f(x)的解析式为f(x)＝eq\f(5,2)x4－eq\f(9,2)x2＋1.17．(本小题满分12分)已知函数f(x)＝x3＋x－16.(1)求曲线y＝f(x)在点(2，－6)处的切线方程；(2)直线l为曲线y＝f(x)的切线，且经过原点，求直线l的方程及切点坐标．解析：(1)f′(x)＝3x2＋1，∴f(x)在点(2，－6)处的切线的斜率k＝f′(2)＝13，∴切线方程为y＝13(x－2)＋(－6)，即y＝13x－32.(2)设切点为(x0，y0)，则直线l的斜率为f′(x0)＝3xeq\o\al(2,0)＋1，∴直线l的方程为y＝(3xeq\o\al(2,0)＋1)(x－x0)＋xeq\o\al(3,0)＋x0－16，又∵l过点(0,0)，∴0＝(3xeq\o\al(2,0)＋1)(－x0)＋xeq\o\al(3,0)＋x0－16，整理得，xeq\o\al(3,0)＝－8，解得x0＝－2.∴y0＝(－2)3＋(－2)－16＝－26.∴直线l：y＝13x.切点(－2，－26)．18．(本小题满分14分)已知曲线C1：y＝x2与C2：y＝－(x－2)2，若直线l与C1、C2都相切，求直线l的方程．解析：依题意，设直线l与C1相切于点P(x1，xeq\o\al(2,1))，与C2相切于点Q(x2，－(x2－2)2)．对于C1：y′＝2x，则与C1相切于点P的切线方程为y－xeq\o\al(2,1)＝2x1(x－x1)，即y＝2x1x－xeq\o\al(2,1)；对于C2：y′＝－2(x－2)，则与C2相切于点