高中数学人教A版第三章函数的应用 学业分层测评20

学业分层测评（二十）方程的根与函数的零点(建议用时：45分钟)[学业达标]一、选择题1．下列函数没有零点的是()A．f(x)＝0 B．f(x)＝2C．f(x)＝x2－1 D．f(x)＝x－eq\f(1,x)【解析】函数f(x)＝2，不能满足方程f(x)＝0，因此没有零点．【答案】B2．已知函数f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2x－1，x≤1,1＋log2x，x>1，))则函数f(x)的零点为()\f(1,2)，0 B．－2,0\f(1,2) D．0【解析】当x≤1时，由f(x)＝0，得2x－1＝0，所以x＝0.当x>1时，由f(x)＝0，得1＋log2x＝0，所以x＝eq\f(1,2)，不成立，所以函数的零点为0，选D.【答案】D3．函数f(x)＝－x3－3x＋5的零点所在的大致区间是()【导学号：97030131】A．(－2,0) B．(0,1)C．(1,2) D．(2,3)【解析】∵函数f(x)＝－x3－3x＋5是单调递减函数，又∵f(1)＝－13－3×1＋5＝1＞0，f(2)＝－23－3×2＋5＝－9＜0，∴函数f(x)的零点必在区间(1,2)上，故必存在零点的区间是(1,2)，故选C.【答案】C4．已知0＜a＜1，则函数y＝|logax|－a|x|零点的个数是()A．1个 B．2个C．3个 D．1个或2个或3个【解析】∵0＜a＜1，函数y＝|logax|－a|x|的零点的个数就等于方程a|x|＝|logax|的解的个数，即函数y＝a|x|与y＝|logax|的交点的个数．如图所示，函数y＝a|x|与y＝|logax|的交点的个数为2，故选B.【答案】B5．已知方程|2x－1|＝a有两个不等实根，则实数a的取值范围是()A．(－∞，0) B．(1,2)C．(0，＋∞) D．(0,1)【解析】若关于x的方程|2x－1|＝a有两个不等实数根，则y＝|2x－1|的图象与y＝a有两个交点，函数y＝|2x－1|的图象如图所示：由图可得，当a∈(0,1)时，函数y＝|2x－1|的图象与y＝a有两个交点，故实数a的取值范围是(0,1)，故选D.【答案】D二、填空题6．函数f(x)＝eq\f(x－1lnx,x－3)的零点是________．【解析】令f(x)＝0，即eq\f(x－1lnx,x－3)＝0，即x－1＝0或lnx＝0，∴x＝1，故函数f(x)的零点为1.【答案】17．若方程|x2－4x|－a＝0有四个不相等的实根，则实数a的取值范围是________．【解析】由|x2－4x|－a＝0，得a＝|x2－4x|，作出函数y＝|x2－4x|的图象，则由图象可知，要使方程|x2－4x|－a＝0有四个不相等的实根，则0＜a＜4.【答案】(0,4)8．已知函数f(x)＝2x＋log3x的零点在区间eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(k－1，k－\f(1,2)))上，则整数k的值为________．【解析】∵函数f(x)＝2x＋log3x在(0，＋∞)上单调递增．∴函数f(x)＝2x＋log3x最多有一个零点．当k＝1时，区间eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(k－1，k－\f(1,2)))为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,2)))，当x→0时，f(x)→－∞，当x＝eq\f(1,2)时，feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))＝eq\r(2)－log32＞0，∴函数f(x)在区间eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,2)))上存在零点，因此必然k＝1.【答案】1三、解答题9．设函数g(x)＝ax2＋bx＋c(a＞0)，且g(1)＝－eq\f(a,2).(1)求证：函数g(x)有两个零点；【导学号：97030132】(2)讨论函数g(x)在区间(0,2)内的零点个数．【解】(1)证明：∵g(1)＝a＋b＋c＝－eq\f(a,2)，∴3a＋2b＋2c＝0，∴c＝－eq\f(3,2)a－b.∴g(x)＝ax2＋bx－eq\f(3,2)a－b，∴Δ＝(2a＋b)2＋2a2，∵a＞0，∴Δ＞0恒成立，故函数f(x)有两个零点．(2)根据g(0)＝c，g(2)＝4a＋2b＋c，由(1)知3a＋2b＋2c＝0，∴g(2)＝a①当c＞0时，有g(0)＞0，又∵a＞0，∴g(1)＝－eq\f(a,2)＜0，故函数g(x)在区间(0,1)内有一个零点，故在区间(0,2)内至少有一个零点．②当c≤0时，g(1)＜0，g(0)＝c≤0，g(2)＝a－c＞0，∴函数f(x)在区间(1,2)内有一零点，综合①②，可知函数g(x)在区间(0,2)内至少有一个零点．10．(2023·沈阳高一检测)设函数f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x2－4xx≥0,2xx<0，))(1)画出函数y＝f(x)的图象；(2)讨论方程|f(x)|＝a的解的个数．(只写明结果，无需过程)【解】(1)函数y＝f(x)的图象如图所示：(2)函数y＝|f(x)|的图象如图所示：①0＜a＜4时，方程有四个解；②a＝4时，方程有三个解；③a＝0或a＞4时，方程有二个解；④a＜0时，方程没有实数解．[能力提升]1．函数f(x)＝x＋lgx－3的零点所在的区间为()A．(0,1) B．(1,2)C．(2,3) D．(3，＋∞)【解析】易知函数f(x)＝x＋lgx－3在定义域上是增函数，f(1)＝1＋0－3＜0，f(2)＝2＋lg2－3＜0，f(3)＝3＋lg3－3＞0，故函数f(x)＝x＋lgx－3的零点所在的区间为(2,3)，故选C.【答案】C2．偶函数f(x)在区间[0，a](a>0)上是单调函数，且f(0)·f(a)<0，则方程f(x)＝0在区间[－a，a]内根的个数是()A．1 B．2C．3 D．0【解析】由函数零点的存在性定理可知，函数f(x)在区间[0，a]上只有一个零点，设为x0，则f(x0)＝0，又因为f(x)为偶函数，所以f(－x0)＝f(x0)＝0，即－x0是函数在[－a,0]内唯一的零点，故方程f(x)＝0在区间[－a，a]内根的个数为2.【答案】B3．已知函数f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(log2xx>0,3xx≤0，))且函数F(x)＝f(x)＋x－a有且仅有两个零点，则实数a的取值范围是________.【导学号：97030133】【解析】由F(x)＝f(x)＋x－a＝0，得f(x)＝－x＋a，设y＝f(x)，y＝－x＋a.做出函数f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(log2xx>0,3xx≤0))的图象，当y＝－x＋1时，直线y＝－x＋1与y＝f(x)有两个交点，所以要使F(x)＝f(x)＋x－a有且仅有两个零点，则有a≤1，即实数a的取值范围是(－∞，1]．【答案】(－∞，1]4．(2023·赣州高一检测)已知函数f(x)＝x2＋mx－4在区间[－2,1]上的两个端点处取得最大值和最小值．(1)求实数m的所有取值组成的集合A；(2)试写出f(x)在区间[－2,1]上的最大值g(m)；(3)设h(x)＝－eq\f(1,2)x2＋eq\f(1,2)x＋7，令F(m)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(gm，m∈A,hm，m∈B，))其中B＝∁RA，若关于m的方程F(m)＝a恰有两个不相等的实数根，求实数a的取值范围．【解】(1)∵f(x)＝x2＋mx－4在区间[－2,1]上的两个端点处取得最大值和最小值，∴函数在区间[－2,1]上是单调函数，又∵函数f(x)的图象为开口向上的抛物线，对称轴为x＝－eq\f(m,2)，∴必有－eq\f(m,2)≥1，或－eq\f(m,2)≤－2，解得m≥4或m≤－2，∴实数m的所有取值组成的集合A＝{m|m≥4或m≤－2}．(2)当m≥4时，－eq\f(m,2)≤－2，函数f(x)在区间[－2,1]上单调递增，∴函数f(x)的最大值g(m)＝f(1)＝m－3；当m≤－2时，－eq\f(m,2)≥1，函数f(x)在区间[－2,1]上单调递减，∴函数f(x)的最大值g(m)