高中数学人教A版2第二章推理与证明（全国一等奖）

江西师大附中高二年级数学（理）月考试卷命题：谢辉审题：张和良一、选择题1.已知x为实数，则“”是“x＞1”的（）A．充分非必要条件 B．充要条件C．必要非充分条件 D．既不充分也不必要条件2.极坐标系中，点A（1，），B（3，）之间的距离是（）A． B． C． D．3.把曲线：（为参数）上各点的横坐标压缩为原来的，纵坐标压缩为原来的，得到的曲线为（）A. B.C. D.4.方程（t为参数）表示的曲线是（）。A.两条射线 B.一条直线 C.一条线段 D.抛物线的一部分5.设A={（x，y）|y=1+}，B={（x，y）|y=k（x﹣2）+4}，若A∩B中含有两个元素，则实数k的取值范围是（）A． B． C． D．6.在下列函数中，当x取正数时，最小值为2的是（）A． B．C．D．7.如图所示，某公园设计节日鲜花摆放方案，其中一个花坛由一批花盆堆成六角垛．顶层一个，以下各层堆成正六边形，逐层每边增加一个花盆，若这垛花盆底层最长的一排共有13个花盆，则底层的花盆的个数是（）A．91 B．127 C．169 D．2558.已知过双曲线C：﹣=1（a＞0，b＞0）的中心的直线交双曲线于点A，B，在双曲线C上任取与点A，B不重合的点P，记直线PA，PB，AB的斜率分别为k1，k2，k，若k1k2＞k恒成立，则离心率e的取值范围为（）A．1＜e＜ B．1＜e≤ C．e＞ D．e≥9.已知f（x）是可导的函数，且（x）＜f（x）对于x∈R恒成立，则（）A．f（1）＜ef（0），f（2014）＞e2023f（0） B．f（1）＞ef（0），f（2014）＞e2023f（0）C．f（1）＞ef（0），f（2014）＜e2023f（0） D．f（1）＜ef（0），f（2014）＜e2023f（0）10.直线l：y=k（x﹣）与曲线x2﹣y2=1（x＞0）相交于A、B两点，则直线l倾斜角的取值范围是（）A．（0，π） B．（，）∪（，） C．[0，）∪（，π） D．（，）11.若直线l1：y=x，l2：y=x+2与圆C：x2+y2﹣2mx﹣2ny=0的四个交点把圆C分成的四条弧长相等，则m=（）A．0或1 B．0或﹣1 C．1或﹣1 D．012.定义在R上的函数f（x）满足：，且f（0）=，则的最大值为（）A．0 B． C．1 D．2

二填空题13.下列有关命题的说法正确的有（填写序号） ①命题“若x2﹣3x+2=0，则x=1”的逆否命题为：“若x≠1，则x2﹣3x+2≠0” ②“x=1”是“x2﹣3x+2=0”的充分不必要条件 ③若p∧q为假命题，则p和q均为假命题 ④对于命题p：∃x∈R使得x2+x+1＜0，则￢p：∀x∈R，均有x2+x+1≥0． 14.已知为偶函数，当时，，则曲线在处的切线方程式为______________.15.已知f（x）=x3﹣6x2+9x﹣abc，a＜b＜c，且f（a）=f（b）=f（c）=0．现给出如下结论：①f（0）f（1）＞0； ②f（0）f（1）＜0；③f（0）f（3）＞0； ④f（0）f（3）＜0．其中正确结论的序号是．16.在平面直角坐标系中，当P（x，y）不是原点时，定义P的“伴随点”为P′（，）；当P是原点时，定义P的“伴随点”为它自身，平面曲线C上所有点的“伴随点”所构成的曲线C′定义为曲线C的“伴随曲线”．现有下列命题：①若点A的“伴随点”是点A′，则点A′的“伴随点”是点A；②单位圆的“伴随曲线”是它自身；③若曲线C关于x轴对称，则其“伴随曲线”C′关于y轴对称；④一条直线的“伴随曲线”是一条直线．其中的真命题是（写出所有真命题的序列）．三、解答题17.设命题p：“对任意的x∈R，x2﹣2x＞a”，命题q：“存在x∈R，使x2+2ax+2﹣a=0”．如果命题p∨q为真，命题p∧q为假，求实数a的取值范围．18.以直角坐标系的原点O为极点，x轴的正半轴为极轴，且两个坐标系取相等的长度单位．已知直线l的参数方程为为参数，0＜α＜π），曲线C的极坐标方程为ρsin2θ=4cosθ．（Ⅰ）求曲线C的直角坐标方程；（Ⅱ）设点P的直角坐标为P（2，1），直线l与曲线C相交于A、B两点，并且，求tanα的值．19.数列{an}的前n项和记为Sn，已知an=（Ⅰ）求S1，S2，S3的值，猜想Sn的表达式；（Ⅱ）请用数学归纳法证明你的猜想．20.已知圆O：x2+y2=4，点F（，0），以线段MF为直径的圆内切于圆O，记点M的轨迹为C（1）求曲线C的方程；（2）若过F的直线l与曲线C交于A，B两点，问：在x轴上是否存在点N，使得•为定值？若存在，求出点N坐标；若不存在，说明理由．21.如图，P是抛物线C：上横坐标大于零的一点，直线l过点P并与抛物线C在点P处的切线垂直，直线l与抛物线C相交于另一点Q．（1）当点P的横坐标为2时，求直线l的方程；（2）若，求过点P，Q，O的圆的方程．22.已知直线经过椭圆S：的一个焦点和一个顶点．

（1）求椭圆S的方程；

（2）如图，M，N分别是椭圆S的顶点，过坐标原点的直线交椭圆于P、A两点，其中P在第一象限，过P作轴的垂线，垂足为C，连接AC，并延长交椭圆于点B，设直线PA的斜率为．①若直线PA平分线段MN，求的值；

②对任意，求证：．

12月考理科数学答案13.①②④14.15.②③16.②③17.18.解：（I）∵ρsin2θ=4cosθ，∴ρ2sin2θ=4ρcosθ，∴曲线C的直角坐标方程为y2=4x．（II）将代入y2=4x，得sin2α•t2+（2sinα﹣4cosα）t﹣7=0，所以，所以，或，即或19.20.解：（1）设FM的中点为Q，切点为G，连OQ，QG，则|OQ|+|QG|=|OG|=2，取F关于y轴的对称点F′，连F′M，故|F′M|+|MF|=2（|OQ|+|QG|）=4．点M的轨迹是以F′，F为焦点，长轴长为4的椭圆．其中，a=2，c=，b=1，则曲线C的方程为+y2=1；（2）当直线l的斜率存在时，设其方程为y=k（x﹣），A（x1，y1），B（x2，y2），联立，得．则△＞0，，若存在定点N（m，0）满足条件，则有=（x1﹣m）（x2﹣m）+y1y2=x1x2+===．如果要上式为定值，则必须有，解得m=，此时=．验证当直线l斜率不存在时，也符合．故存在点N（，0）满足•为定值．21.解：（Ⅰ）把x=2代入，得y=2，∴点P的坐标为（2，2）．…由，①得y'=x，∴过点P的切线的斜率k切=2，…直线l的斜率k1==，…∴直线l的方程为y﹣2=，即x+2y﹣6=0…（Ⅱ）设P（x0，y0），则．∵过点P的切线斜率k切=x0，因为x0≠0．∴直线l的斜率k1==，直线l的方程为．②…设Q（x1，y1），且M（x，y）为PQ的中点，因为，所以过点P，Q，O的圆的圆心为M（x，y），半径为r=|PM|，…且，…所以x0x1=0（舍去）或x0x1=﹣4…联立①②消去y，得由题意知x0，x1为方程的两根，所以，又因为x0＞0，所以，y0=1；所以，y1=4…∵M是PQ的中点，∴