高中数学人教A版第一章集合与函数概念函数及其表示（全国一等奖）

5．函数的表示方法曾劲松学习目标1．会用解析法、图象法、列表法表示函数，了解这三种表示方法的特点．2．了解简单的分段函数，并能简单应用．3．了解映射的概念，理解函数是一类特殊的映射．一、夯实基础基础梳理1．函数的表示方法解析法：用数学表达式表示两个变量之间的对应关系．图象法：用图象表示两个变量之间的对应关系．列表法：通过列出表格来表示两个变量之间的对应关系．2．分段函数如果函数，，根据自变量在中不同的取值范围，有着__________，则称这样的函数为分段函数．3．映射设是两个__________集合，如果按某一个确定的对应关和纱，使对于集合中的任意一个元素，在集合中都有__________的元素与之对应，那么就称对应：为从集合到集合的一个映射．4．题型分析（1）函数图象的作法及应用；（2）求函数的解析式；（3）函数的三种表示；（4）分段函数的求值、图象；（5）映射的概念．基础达标1．等腰三角形的周长是20，底边长是一腰长的函数，则（）A． B．C． D．2．已知函数，分别由下表给出：则满足的的值__________．1231311231313．如图所示，液体从一圆锥形漏斗一圆柱形桶中，开始时，漏斗盛满液体，经过3分钟漏完，已知圆柱中液面上升的速度是一个常量，是圆锥形漏斗中液面下落的距离，则与下落时间（分）的函数关系表示的图象只可能是（）4．右图中的图象所表示的函数的解析式为（）．A．，B．，C．，D．，5．车管站在某个星期日保管的自行车和电动车共500辆次，其中电动车保管费是每辆一次元，自行车保管费是每次一辆元．（1）若设自行车停放的辆次数为，总的保管费收入为元，试写出关于的函数关系式；（2）若估计前来停放的3500辆次自行车中，电动车的辆次不小于，但不大于，试求该保管站这个星期日收入保管费总数的范围．二、学习指引自主探究1．根据函数定义，下列给出的从到的对应关系是否是函数关系？（1）（2）五个学生的身高与其体重之间的关系如下表：1501501601651705055565560（3）某单位五位职工（用编号表示）与他们月工资收入（元）之间的关系如下表：1234535004550560056006000（4）某水文观测站测得某河流在某天24小时中，水深与时间（小时）之间的关系如下图所示：2．函数的三种基本表示方法，它们各自有什么特点？表示法优点缺点解析法列表法图象法3．（1）“每个函数都有解析式，研究函数就是研究函数解析法”这种说法对吗？试举例说明．（2）每个能用解析法表示的函数都可以只用一个数学式子来表示吗？4．（1）集合，，从到的映射满足，那么这样的映射有多少个？（2）下列对应关系，是否为从到的映射？如果是从到的映射，那么能否建立从到的函数？①，，；②，，，其中是的小数部分．回答上题，并体会映射与函数的关系．5．动手实验：研究函数与（其中是不为0的常数）．（1）请你取一个的值，将对应的函数图象画出来（如下图）．你也可以利用软件《几何画板》画图．（2）研究取不同的值时，函数与图象的特点，将函数表示为分段函数的形式，并写出其值域．（3）猜想图象会有什么特点？（4）观察发现，函数的图象关于轴对称：函数的图象关于原点中心对称．（5）的图象是一条折线，共有个折点，让每一个绝对值等于零，我们就可以得到这引起折点的横坐标．案例分析1．某种笔记本的单价是5元，买个笔记本需要元，试用三种表示法表示函数．【解析】这个函数的定义域是，用解析法可将函数表示为：．用列表法可将函数表示为：笔记本数12345钱数510152025用图象可将函数表示为（如右图）：注：本例的设问，此处“”有三种含义，它可以是解析表达示，可以是图象，也可以是对应值表，本题的定义域是有限集，且仅有5个元素．2．下表是某高校高一（1）班三位同学在高一学年度几次数学测试的成绩及班级平均分表：第一次第二次第三次第四次第五次第六次王伟988791928895张城907688758680赵磊686573727582班平均分请你对这三位同学在高一学年度的数学学习情况做一个分析．【解析】把“成绩”看成“测试序号”的函数，用图象法表示函数，如图所示．由图可看到：王伟同学的数学成绩始终高于班级平均分，学习情况比较稳定而且成绩优秀；张城同学的数学成绩不稳定，总是在班级平均分水平上下波动，而且波动幅度较大：赵磊同学的数学学习成绩呈上升趋势，表明他的数学成绩和稳步提高．说明：本题主要考查根据实际情境需要选择恰当解决实际问题的能力．为了研究学生的学习情况，将离散的点用虚线连接，这样便于研究成绩的变化特点．通过本题可见，图象法比列表法和解析法更能直观反映函数值的变化趋势．3．水池有2个进水口，1个出水口，每个水口进出水的速度如图甲、乙所示．某天0点到6点，该水池的蓄水量如图丙所示．给出以下三个论断：①0点到3点只进水不出水；②3点到4点不进水只出水；③4点到6点不进水不出水．其中一定正确的论断是（）．A．① B．①② C．①③ D．①②③【答案】A．【解析】由图甲可看出：如果进水口与出水口同时打开，每个进水口的速度为出水口速度的一半，即；由图丙可看出在0点到3点之间蓄水量以速度2匀速增加，所以在此时间段内一定是两个进水口均可打开，出水口关闭，故①正确．由图丙可看出：在3点到4点之间蓄水量以速度1匀速减少，所以在此时间段内一定是一个进水口打开，出水口打开，故②正确．由图丙可看出：在4点到6点之间蓄水量不变，所以在此时间段内一定是两个进水口打开，出水口打开，或者两个进水口关闭，出水口关闭，故③不正确．综上所述论断仅有①正确．4．如图所示，在边长为2的正方形的边上有一个动点，从点出发沿折线移动一周后，回到点．设点移动的路程为，的面积为（可取0）．（1）求函数的解析式；（2）画出函数的图象；（3）求函数的值域．【解析】（1）当点在线段上时，即，则；当点在线段上时，即，则；当点在线段上时，即，则；当点在线段上时，即，则．综上所述：函数的解析式为（2）函数的图象如图所示：（3）由函数图象可知，函数的值域是．三、能力提升1．（1）画出=的图象，①若，试比较与的大小．②是否存在，使得？（2）画出的图象，①若，试比较与的大小；②利用图象解不等式；③若不等式对一切实数恒成立，求实数的取值范围．2．如图，是边长为2的正三角形，记位于直线左侧的图形的面积为．（1）试求函数的解析式；（2）画出函数的图象．3．已知函数且，，试研究关于的方程实数根个数．拓展迁移4．若函数则方程的解为__________．5．已知函数．（1）当时，其值为正，时，其值为负，求的值及的表达式；（2）设，为何值时，函数的值恒为负值？挑战极限6．对于任意的实数，规定取，，三个值中的最小值．（1）求关于的函数关系式，并画出此函数的图象；（2）为何值时，最大？最大值是多少？（3）由图象可知：当时，最大，其最大值为．课程小结1．函数有三种基本表示方法：解析法、列表法、图象法．2．描点法画函数图象应注意：（1）先确定函数的定义域与值域（甚至可以初步考虑函数图象所在的象限）；（2）列表时，注意函数值随自变量的变化规律；（3）连线要用光滑的曲线（离散的点则不要连）．3．要能利用函数图象，直观地了解函数的某些性质，如值域，函数值大小关系，方程的解，不等式的解集等．4．对于分段函数，要会分析它的定义域、值域、最值等，能根据函数值求相应的自变量，并会画出它的图象，带有绝对值符号的函数一般采用零点分段法（让每一个绝对值等于零，解出相应的）去绝对值符号，把函数变为分段函数，再来分段画出．5．会根据实际情境建立函数模型．想一想1．映射是函数吗？2．分段函数的对应关系不同，那么分段函数是由几个函数构成的吗？3．是否所有函数都可以用解析法、列表法、图象法三种形式表示？

5．函数的表示方法基础达标2．分段函数：不同的对应关系3．映射：非空，唯一确定．基础达标1．．【解析】∵，∴，则，∴．由构成三角形的条件（两边之和大于第三边）可知，得，所以函数的定义域为，所以．2．．3．．4．．5．【解析】（1）由题意得．（2）若电动车的辆次不小于，但不大于，则，即，画出函数的图象，可得函数，的值域是，即收入在元至元之间．说明：本题主要考查函数的解析式和值域，以及应用函数知识解决实际问题的能力．解函数应用题的步骤是：①审清题意读懂题；②恰当设未知数；③列出函数解析式，并指明定义域；④转化为函数问题，并解决函数问题；⑤将数学问题的答案还原为实际答案．自主探究1．【解析】（1）（3）（4）是函数，（2）不是函数．2．【解析】这三种表示方法的特点如下：表示法优点缺点解析法简明、全面概括了变量间的关系；容易求出任意一个自变量的值所对应的函数值．不够形象、直观、具体，而且并不是所有的函数都能用解析式表示出来．列表法简洁明了，函数的“输入值”与“输出值”一目了然．只能表示自变量取较少的有限值的对应关系．图象法直观地反映函数值随自变量的变化的趋势．只能近似地求出自变量所对应的函数值．3．【解析】（1）并不是每个函数都可以用解析法来表示，有的函数用解析法表示将会很烦琐且没有必要．如：任一自然数与其各位上的数字之和之间的关系，是一个函数关系，这个函数的作用就是计算任一自然数的各位上的数字之和，这个函数用解析法来表示就很不方便．又如把某单位全体职工编号，分别为，则职工的月工资与其编号之间能形成函数关系，这个函数关系用解析式表示也很不方便，而用列表法表示则非常好；又如把质数按从小到大的方式排列，并依次编号为则质数与其编号之间形成了一个函数关系，此函数关系到目前为止，还没有人能找到解析表达式；又如某天某股票成交价格与时间之间也形成一个函数关系，我们可以用函数图象来表示这种变化关系，但无法用解析式表示．综上所述：我们可以通过解析式研究函数，也可以通过表格或图象研究函数关系，研究函数就是研究函数解析法这种说法是错误的．（2）并不是每个能用解析法表示的函数都可以只用一个数学式子来表示．如图所表示的函数，这个函数如果要用解析法来表示，就必须分成两段，该函数为：通常，我们称这种函数为分段函数，其特征是，在定义域的不同部分上，函数的解析式不同．但我们必须明确，分段函数是一个函数，而不是多个函数．4．【解析】（1）个．（2）①是，不能．②是，能．说明：认真理解映射的概念，知道什么是一个映射．5．动手实验：【解析】（1）取，得或的图象如下：（2）观察发现，函数的图象关于轴对称；函数的图象关于原点中心对称．（3）的图象是一条折线，共有个折点，让每一个绝对值等于零，我们就可以得到这些折点的横坐标．能力闯关1．【解析】（1）①．②．（2）．②或．两函数图象如下．③不等式对一切实数恒成立等价于函数所有函数值都大于，这又等价于函数最小函数值都大于．由函数图象可知最小函数值为，所以实数的取值范围是．说明：本题解法中应用了数形结合思想，等价转化思想，这些数学思想对于解决函数问题极为重要．2．【解析】（1）当时，．当时，．综上，（2）画出函数的图象如右：3．【解析】有得①，由得②，由①②解之，则或解得或或，综上知方程有三个实数根．注：本题也可以画出函数图象进行判断，关于的方程的实数根就是函数与函数图象交点横坐标．因此本问题等价于观察函数与函数图象交点个数．拓展迁移4．或．【解析】或或