离散时间信号和系统的变换域分析第二章

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离散时间信号和系统的变换域分析本章主要内容：

1、z变换的定义及收敛域

2、z变换的反变换

3、z变换的基本性质和定理

4、离散信号的DTFT5、z变换与DTFT的关系

6、离散系统的z变换法描述§2.1z变换的定义及收敛域

信号和系统的分析方法有两种：

——时域分析方法

——变换域分析方法连续时间信号与系统——LTFT离散时间信号与系统——ZTFT

一、ZT的定义

z是复变量，所在的复平面称为z平面(z的实部为横坐标，虚部为纵坐标)单边Z变换单边Z变换在大多数情况下其特性与双边z变换相同。可以看做因果序列的双边z变换。

二、ZT的收敛域对于任意给定序列x(n)，使其z变换X(z)收敛的所有z值的集合称为X(z)的收敛域。

级数收敛的充要条件是满足绝对可和1）有限长序列除0和∞两点是否收敛与n1和n2取值情况有关外，整个z平面均收敛。如果n2≤0，则收敛域不包括∞点如果n1≥0，则收敛域不包括0点如果n1<0<n2，收敛域不包括0、∞点2）右边序列上式中，第一项是有限长序列的Z变换，其收敛域为有限Z平面，第二项是Z的负幂级数，对于第二项，如果在|Z|=R上收敛，则所有|Z|>R上均收敛，设Rx-是收敛边界，综合第一项和第二项的收敛域可知：因果序列的z变换必在∞处收敛在∞处收敛的z变换，其序列必为因果序列（反证法)3）左边序列上式中，第二项是有限长序列的Z变换，其收敛域为有限Z平面，第一项是Z的正幂级数，对于第一项，如果在|Z|=R上收敛，则所有|Z|<R上均收敛，设Rx-是收敛边界，综合第一项和第二项的收敛域可知：4）双边序列双边序列可以看做一个左边序列和右边序列之和。例1收敛域应是整个z的闭平面例2：求x(n)=RN(n)的z变换及其收敛域例3：求x(n)=anu(n)的变换及其收敛域一般地，右边序列的收敛域是以最大极点模值为半径的圆外，在无穷处是否收敛取决于x(n)在n<0时是否为0。例4：求x(n)=-anu(-n-1)的变换及其收敛域一般地，左边序列的收敛域是以最小极点模值为半径的圆内，在z=0处是否收敛取决于x(n)在n>0时是否为0。例5：求x(n)=a|n|，a为实数，求ZT及其收敛域根据例3，例4等例题可知：给定z变换X(z)不能唯一地确定一个序列，只有同时给出收敛域才能唯一确定。右边序列的z变换收敛域一定在模最大的有限极点所在圆之外左边序列的z变换收敛域一定在模最小的有限极点所在圆之内教材上：PP51，列出了几种序列的Z变换的表达式§2.1.2z反变换实质：求X(z)幂级数展开式z反变换的求解方法： 围线积分法（留数法） 部分分式法 长除法z反变换:从X(z)中还原出原序列x(n)1、柯西积分理论根据复变函数理论，若函数X(z)在环状区域内是解析的，则在此区域内X(z)可展开成罗朗级数，即 而

其中围线c是在X(z)的环状收敛域内环绕原点的一条反时针方向的闭合单围线。围线积分法（留数法） 若函数X(z)zn-1在围数C上连续，在C以内有K个极点zk，而在C以外有M个极点zm，则有：序列x(n)等于函数在围线C内各极点的留数之和，或者C外各极点留数和的负值。若F(z)在c外M个极点zm，且分母多项式z的阶次比分子多项式高二阶或二阶以上，则：利用留数定理求围线积分，令若F(z)在围线c上连续，在c内有K个极点zk，则：留数的具体求法：单阶极点的留数：l阶极点的留数：2、部分分式展开法求解IZT

：若函数X(z)是z的有理分式，可表示为：将X(z)分解为有理多项式和有理真分式之和其中有理多项式的逆z变换是单位脉冲序列及其移位有理真分式的逆z变换利用部分分式的z反变换和可以得到；通常先对X(z)/z进行展开，然后再乘以z通常会用到一些典型序列的Z变换；常见序列的ZT参见教材例2 设利用部分分式法求z反变换。解：3、幂级数展开法求解（长除法）:一般X(z)是有理分式，可利用分子多项式除分母多项式（长除法法）得到幂级数展开式，从而得到x(n)。根据收敛域判断x(n)的性质，在展开成相应的z的幂级数将X(z)X(z)的

x(n) 展成z的分子分母按z的

因果序列负幂级数降幂排列左边序列正幂级数升幂排列例1ROC1:)1

长除法示例解：由Roc判定x(n)是因果序列，用长除法展成z的负幂级数ROC2:)1解：由Roc判定x(n)是左边序列，用长除法展成z的正幂级数1、线性性Z变换的基本性质和定理R1∩R2R|a|RR2、序列的移位3、z域尺度变换（乘以指数序列）4、z域求导（序列线性加权）收敛域一般是原序列收敛域的公共部分，但如果产生极点零点抵消，有可能收敛域扩大序列移位后的收敛域在0和无穷处可能发生变化，需要重新判断。如果原收敛域是环形区域，移位后不变。Z变换的基本性质（续）5、翻褶序列1/RR6、共轭序列7、初值定理（对于因果序列)8、终值定理序列为因果序列，且极点都处于单位圆以内（最多在单位圆上的z=1处有单阶极点)。Z变换的基本性质（续）9、有限项累加特性(因果序列)ZT的主要性质参见书pp63页的表2-1-210、序列的卷积和11、序列乘法12、帕塞瓦定理Matlab计算z变换序列的z变换X(z)一般是z.^-1的有理分式。Matlab提供了对X(z)进行部分分式展开的函数residuez，其调用形式为[r,p,k]=residuez(B,A)B和A分别表示X(z)的分子多项式系数向量和分母多项式系数向量。注意：用的时候如何正确的书写B和A向量。返回参数r是部分分式系数向量，p是极点向量，如果有重极点，则会在p中重复出现，k表示多项式系数向量。例2-1-9部分分式展开的Matlab实现%program2_1b=[1.50.98-2.6081.2-0.144];a=[1-1.40.6-0.072];[r,p,k]=residuez(b,a);disp('r=');disp(r);disp('p=');disp(p);disp('k=');disp(k);可见0.6为重极点用Matlab计算z变换和逆z变换Matlab的符号数学工具箱提供了计算Z变换的函数ztrans和计算逆z变换的函数iztrans，其调用形式为：F=ztrans(f)f=iztrans(F)上式中的f和F分别为时域和z域表示式的符号表示，可以用函数sym来实现S=sym(A)：A为待分析的表示式的字符串；S为符号化的数字或变量例2-1-10%program2_2x=sym('cos(a*n)');X=ztrans(x);disp('X(z)=');disp(X);%program2_3X=sym('z/((a+z)^2)');x=iztrans(X);disp('x(n)=');disp(x);也可以先用Matlab进行部分分式展开，再进行逆z变换%program2_4b=[1,-0.5];a=[1,0.75,0.125];[r,p,k]=residuez(b,a);disp('r=');disp(r);disp('p=');disp(p);disp('k=');disp(k);注意：这里k没有返回值%program2_5b=[1,-0.5,0.5,1];a=[1,-3,2];[r,p,k]=residuez(b,a);disp('r=');disp(r);disp('p=');disp(p);disp('k=');disp(k);注意：如何根据部分分式展开写x(n)2.2单边z变换单边z变换序列在n<0时如何定义，对序列的单边z变换没有影响。因果序列的单边和双边z变换的结果相同。单边z变换的收敛域其幂级数中只包含z的负指数项，因此收敛域是某圆外的部分，包含无穷。单边z变换的性质除了移序性质以外其余性质与双边z变换的性质均相同。右移性质左移性质用单边z变换解差分方程单边z变换适用于需要根据初始条件求解因果系统响应的问题。数字系统的全响应包括零状态响应和零输入响应。零输入响应：仅由系统的初始状态决定的响应，即输入x(n)=0。求解方法，令x(n)=0，对差分方程求z变换，再做逆变换，即可求得零输入解。逆z变换得到零输入解注意：这里进行z变换时，采用的是单边z变换的性质零状态响应：仅由系统的输入决定的响应，即y(n)的初始状态为0时的响应。求解方法，令x(n)=0，对差分方程求z变换，再做逆变换，即可求得零输入解。逆z变换得到零状态解系统响应是上面的零输入响应和零状态响应之和。例2-2-1已知系统差分方程：初始条件：y(-1)=2;输入信号：x(n)=u(n)，求系统响应。解：对差分方程进行z变换得将初始条件y(-1)=2和X(z)代入上式可得上式收敛域取|z|>1注意：这里进行z变换时，采用的是单边z变换的性质注意：这个时候要确定Y(z)的收敛域例2-2-2已知系统差分方程：初始条件：y(-1)=k;|a|<1,输入信号：x(n)=exp(jw0n)(n>=0)，求系统响应。解：对差分方程进行z变换得注意：X(z)只有当|z|>1的时候才收敛，也就是说其收敛域为|z|>1将X(z)及初始条件代入Y(z)可得到:注意：这个时候要确定Y(z)的收敛域因为|a|<1,所以Y(z)的收敛域为|z|>1,对Y(z)用部分分式展开并求逆z变换得：§2.3离散时间傅里叶变换DTFT一、DTFT的定义变换对：称为离散时间傅里叶变换（DTFT）。FT存在的充分必要条件是：如果引入冲激函数，一些绝对不可和的序列，如周期序列，其傅里叶变换可用冲激函数的形式表示出来。是x(n)的频谱，是连续变量w的连续复函数，而且是以2pi为周期的周期函数。

反变换二、比较ZT和DTFT的定义：利用ZT和DTFT的关系可以有ZT计算DTFT。序列的傅里叶变换是序列的z变换在单位圆上的值例2.1.1计算门序列的DTFT解：根据DTFT的定义)(wX0p2p2-pp-N=8Nw(线性相位),但需要注意该函数是不连续的（图2-3-1)幅频特性：相频特性：例2.1.1用z变换计算门序列的DTFT(线性相位)解：DTFT幅频特性：相频特性：性质1、周期性时域离散信号傅里叶变换是频率的周期函数，周期是。这和模拟信号的傅里叶变换是不同的。由于DTFT的周期性，一般只分析之间或之间的DTFT。DTFT的一些性质性质2、线性性质性质3、时移性质性质4、频移性质性质5、共轭性质这些性质和z变换的性质有不少都很相似，请大家对比学习性质6、时域卷积定理该定理表明在时域两序列卷积，转换到频域服从相乘关系。性质7、频域卷积定理交换积分与求和的次序该定理表明在时域两序列相乘，转换到频域服从卷积关系。性质8、Parseval定理Parseval定理说明：信号时域的总能量等于频域的总能量。注意：这里频域总能量是指DTFT在一个周期中的积分再乘以。一般不做特殊说明，序列x(n)就是复序列。用下标r表示它的实部，用下标i表示它的虚部：共轭对称序列和共轭反对称序列复序列中有共轭对称序列和共轭反对称序列，分别用下标e和o表示共轭对称序列：实部是偶函数，虚部是奇函数共轭反对称序列：实部是奇函数，虚部是偶函数性质9、DTFT的对称性一般序列可以表示为共轭对称部分和共轭反对称部分之和

频域函数也可以表示为共轭对称部分和共轭反对称部分之和从序列分为实部和虚部之和研究其对称性具有共轭对称性具有共轭反对称性一般序列的DTFT分成共轭对称分量和共轭反对称分量两部分，其中共轭对称分量对应序列的实部，而共轭反对称分量对应这序列的虚部（包括j）。另外，根据实部的DTFT可以看出，实序列的DTFT具有共轭对称性。从序列分为共轭对称部分和共轭反对称部分之和研究其对称性序列DTFT的实部对应序列的共轭对称部分，而它的虚部(包括j)对应序列的共轭反对称部分。实因果序列的对称性实序列的DTFT的实部是偶函数，虚部是奇函数。实序列的DTFT的模平方是偶函数，相位函数是奇函数。实序列可以表示为偶序列和奇序列之和。解：

例：求下列有限长序列的DTFT，并观察其对称性。把序列分别右移两位，左移一位，观察时移对DTFT的影响。序列的DTFT是连续函数，时域的离散序列对应频域的连续频谱序列的DTFT是周期函数本题给出的是实序列，实序列的DTFT具有对称性，幅频和实频是偶对称的，相频和虚频是奇对称的序列的时移不影响其DTFT的幅频特性，只影响其相频特性

例：求下列复序列和实序列的DTFT，用Matlab画出其幅频和相频特性，并比较分析两者对称性和周期性。解：两序列的DTFT理论计算留作课后练习；这里给出Matlab绘出的幅频和相频曲线图。复序列的DTFT的幅频和相频特性都具有周期性；但都不是对称的。实序列的幅频和相频特性都是周期性的，幅频特性偶对称，相频特性奇对称；其DTFT是共轭对称的。实序列相当于复序列乘以一个相移因子，因此实序列的DTFT是复序列DTFT的频移，可以从图上看出。小结：DTFT的对称性质 共轭对称序列：共轭反对称序列：任意序列可表示成xe(n)和xo(n)之和:其中：定义：其中：同样，x(n)的Fourier变换也可分解成：对称性质

序列Fourier变换实数序列的对称性质

序列Fourier变换实数序列的Fourier变换满足共轭对称性实部是ω的偶函数虚部是ω的奇函数幅度是ω的偶函数幅角是ω的奇函数2.3.3序列ZT、连续信号LT和FT的关系若：连续信号采样后的拉氏变换LT——拉氏变换是傅里叶变换在S平面的解析延拓可见，采样信号的拉氏变换是连续信号拉氏变换以j2pi/T为周期的周期延拓。采样序列：当两变换之间的关系，就是由复变量s平面到复变量z平面的映射，其映射关系为对比：进一步讨论这一映射关系：将s用直角坐标表示，而z用极坐标表示Z的模只与s的实部有关，而z的相角只与s的虚部有关。1s平面到z平面的映射是多值映射。S=0对应于z=1。辐射线ω=Ω0T平行直线Ω

=Ω0正实轴ω=0实轴Ω

=0Z平面S平面Ω:Ω:ω:ω:序列在单位圆上的z变换，就是序列的离散时间傅里叶变换 数字频率w表示z平面的辐角，它和模拟角频率W的关系为 在以后的讨论中，将用数字频率w来作为z平面上单位圆的参数，即 所以说，数字频率是模拟角频率的归一化值，或是模拟频率对抽样频率的相对比值乘以2p§2.4离散系统的系统函数和频率响应LSI系统的系统函数H(z)：

单位抽样响应h(n)的z变换其中：y(n)=x(n)*h(n)Y(z)=X(z)H(z)系统的频率响应：单位圆上的系统函数,单位抽样响应h(n)的DTFT1、系统函数与差分方程常系数线性差分方程：若系统初始状态为0，取z变换则系统函数系统函数的分子、分母多项式的系数分别与差分方程的系数对应。H(z)的零点：使分子为0H(z)的极点：使分母为0系统函数的特性由全部极点和零点来确定注意：同一系统函数，收敛域不同，所代表的系统不同；必须同时给定系统函数和收敛域才能确定系统。2、若LSI系统为因果稳定系统

稳定系统的系统函数H(z)的Roc须包含单位圆， 即频率响应存在且连续H(z)须从单位圆到∞的整个z域内收敛，即系统函数H(z)的全部极点必须在单位圆内1）因果：2）稳定：序列h(n)绝对可和，即而h(n)的z变换的Roc：3）因果稳定：Roc：系统的因果性和稳定性可以由系统函数的收敛域确定。3、系统的频率响应的意义1）LSI系统对复指数序列的稳态响应：由此可见，当输入为复指数序列时，系统的稳态响应也是复指数序列，只不过是被系统频率响应H加权2）LSI系统对正弦序列的稳态响应输出同频正弦序列幅度受频率响应幅度加权相位为输入相位与系统相位响应之和4、频率响应的几何确定法利用H(z)在z平面上的零极点分布频率响应：则频率响应的令幅角：幅度：零点位置影响凹谷点的位置与深度零点在单位圆上，谷点为零零点趋向于单位圆，谷点趋向于零极点位置影响凸峰的位置和深度极点趋向于单位圆，峰值趋向于无穷系统的单位脉冲响应是无限长序列系统的单位脉冲响应是有限长序列IIR系统和FIR系统无限长单位冲激响应（IIR）系统：单位冲激响应h(n)是无限长序列有限长单位冲激响应（FIR）系统：单位冲激响应h(n)是有限长序列2.4.4数字全通系统和最小相移系统全通系统系统频率响应的幅度恒等于一个常数。全通系统的极零点相对单位圆是镜像共轭成对的。又由于因果稳定系统的所有极点都必须位于单位圆内，再加上系统的零极点具有镜像共轭成对的特性，所以其零点将全部在单位圆外。最小相移系统对于因果稳定系统，当其全部的极零点都在单位圆内时，具有最小相位滞后，称为最小相移系统。2.4.5用Matlab分析系统频率响应1.