高中数学人教A版第四章圆和方程 第28课时

第28课时圆与圆的位置关系课时目标1.会用代数法和几何法研究两圆的各种位置关系．2．通过对两圆位置关系的讨论，发现两圆方程所组成的方程组解的个数对两圆的位置关系的影响，从而发现判断两圆位置关系的方法．识记强化两圆位置关系的判定方法：设⊙O1的半径为r1，⊙O2的半径为r2，两圆圆心距为d.①当|r1－r2|＜d＜r1＋r2时，两圆相交；②当r1＋r2＝d时，两圆外切；③当r1＋r2＜d时，两圆外离；④当|r1－r2|＝d时，两圆内切；⑤当|r1－r2|＞d时，两圆内含．课时作业一、选择题(每个5分，共30分)1．两圆(x＋3)2＋(y－2)2＝1和(x－3)2＋(y＋6)2＝144的位置关系是()A．相切B．内含C．相交D．外离答案：B解析：因为两圆的圆心距d＝eq\r(3＋32＋－6－22)＝10＜12－1＝11，所以两圆内含．2．两圆x2＋y2＝r2与(x－3)2＋(y＋1)2＝r2(r＞0)外切，则r的值是()\r(10)\r(5)C．5\f(\r(10),2)答案：D解析：由题意，得圆心距d＝eq\r(0－32＋0＋12)＝eq\r(10)＝2r，所以r＝eq\f(\r(10),2).3．两圆x2＋y2－4x＋2y＋1＝0与x2＋y2＋4x－4y－1＝0的公切线有()A．1条B．2条C．3条D．4条答案：C解析：判断两圆的位置关系，即可知它们公切线的条数．外离、外切、相交、内切、内含的公切线的条数，分别有4条、3条、2条、1条、0条．这两圆外切，故选C.4．圆x2＋y2－4x＋6y＝0和圆x2＋y2－6x＝0交于A，B两点，则直线AB的方程是()A．x＋y＋3＝0B．3x－y－9＝0C．x＋3y＝0D．4x－3y＋7＝0答案：C解析：两圆方程相减，得公共弦所在直线的方程为x＋3y＝0.5．圆O1：x2＋y2＝16和圆O2：x2＋y2－4x＋8y＋4＝0关于直线l对称，则l的方程为()A．x＋2y－5＝0B．x－2y－5＝0C．x＋2y＋5＝0D．x－2y＋5＝0答案：B解析：两圆关于直线l对称，则直线l是两圆圆心O1(0,0)，O2(2，－4)的垂直平分线．6．要在一个矩形纸片上画出半径分别是4cm和1cmA．36B.72C.80D.100答案：B解析：如图，作WG⊥SC，则四边形WDCG是矩形，∵两圆相切，∴WS＝SC＋WD＝1＋4＝5，∵SG＝SC－GC＝4－1＝3，∴WG＝4，∴矩形QHBA的长AB＝AD＋CD＋CB＝1＋4＋4＝9，宽BH＝4＋4＝8，∴矩形纸片面积的最小值＝8×9＝72cm二、填空题(每个5分，共15分)7．已知两圆x2＋y2＝1和(x＋2)2＋(y－a)2＝25没有公共点，则实数a的取值范围为________．答案：(－∞，－4eq\r(2))∪(－2eq\r(3)，2eq\r(3))∪(4eq\r(2)，＋∞)解析：由已知，得两圆的圆心分别为(0,0)，(－2，a)，半径分别为1,5，∴圆心距d＝eq\r(0＋22＋0－a2)＝eq\r(a2＋4).∵两圆没有公共点，∴eq\r(a2＋4)＜5－1或eq\r(a2＋4)＞5＋1，解得－2eq\r(3)＜a＜2eq\r(3)或a＜－4eq\r(2)或a＞4eq\r(2).8．两圆x2＋y2－x＋y－2＝0和x2＋y2＝5的公共弦的长为________．答案：eq\r(2)解析：题中两圆方程相减，得两圆的公共弦所在的直线方程为x－y－3＝0，∴圆x2＋y2＝5的圆心(0,0)到该直线的距离d＝eq\f(|－3|,\r(1＋－12))＝eq\f(3,\r(2)).设公共弦的长为l，则l＝2eq\r(5－\f(3,\r(2))2)＝eq\r(2).9．若半径为1的圆与圆x2＋y2＝4相切，则动圆圆心的轨迹方程是__________．解：设动圆圆心O′(x，y)，则|O′O|＝2＋1＝3或|OO′|＝1，∴x2＋y2＝9或x2＋y2＝1.三、解答题10．(12分)已知动圆C与圆C1：(x－3)2＋y2＝4，圆C2：(x＋3)2＋y2＝4中的一个外切、一个内切，求动圆圆心C的轨迹方程．解：设动圆圆心C的坐标为(x，y)，半径为r.由已知，得圆C1的圆心C1(3,0)，半径r1＝2；圆C2的圆心C2(－3,0)，半径r2＝2.依题意，得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(|CC1|＝r＋2,|CC2|＝r－2))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(|CC1|＝r－2,|CC2|＝r＋2)).∴|CC1|－|CC2|＝4或|CC1|－|CC2|＝－4.即eq\r(x－32＋y－02)－eq\r(x＋32＋y－02)＝±4，整理得5x2－4y2－20＝0，即为所求动圆圆心C的轨迹方程．11．(13分)已知圆O1的方程为x2＋(y＋1)2＝4，圆O2的圆心为O2(2,1)．(1)若圆O1与圆O2外切，求圆O2的方程；(2)若圆O1与圆O2交于A，B两点，且|AB|＝2eq\r(2)，求圆O2的方程．解：(1)设圆O1、圆O2的半径分别为r1、r2，∵两圆外切，∴|O1O2|＝r1＋r2，∴r2＝|O1O2|－r1＝eq\r(0－22＋－1－12)－2＝2(eq\r(2)－1)，∴圆O2的方程是(x－2)2＋(y－1)2＝4(eq\r(2)－1)2.(2)由题意，设圆O2的方程为(x－2)2＋(y－1)2＝req\o\al(2,3)，圆O1、O2的方程相减，即得两圆公共弦AB所在直线的方程，为4x＋4y＋req\o\al(2,3)－8＝0.∴圆心O1(0，－1)到直线AB的距离为eq\f(|0－4＋r\o\al(2,3)－8|,\r(42＋42))＝eq\r(4－\f(2\r(2),2)2)＝eq\r(2)，解得req\o\al(2,3)＝4或20.∴圆O2的方程为(x－2)2＋(y－1)2＝4或(x－2)2＋(y－1)2＝20.能力提升12．(5分)如图，A，B是直线l上的两点，且|AB|＝2，两个半径长相等的动圆分别与l相切于A，B两点，C是这两个圆的公共点，则圆弧AC，CB与线段AB围成图形的面积S的取值范围是________．答案：eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(0，2－\f(π,2)))解析：设两圆的半径长均为R，当两圆相切于C点时，圆弧AC，CB与线段AB围成图形的面积最大，如图，此时2R＝|AB|＝2，所以R＝1，所围成图形的面积S为矩形ABO2O1的面积减去一个半圆的面积，即S＝2－eq\f(π,2)，所以所求面积S的取值范围为eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(0，2－\f(π,2))).13．(15分)设圆C与两圆(x＋eq\r(5))2＋y2＝4，(x－eq\r(5))2＋y2＝4中的一个内切，另一个外切．设圆心坐标为C(x，y)，试给出x，y之间的关系式．解：圆(x＋eq\r(5))2＋y2＝4的圆心为C1(－eq\r(5)，0)，半径长为2，圆(x－eq\r(5))2＋y2＝4的圆心为C2(eq\r(5)，0)，半径长为2.设圆C的半径长为r，当圆C与圆C1内切，与圆C2外切时，|C1C|＝r－2，|C2C|＝r＋2，则|C1C|＋2＝|C2C|－2，即eq\r(x＋\r(5)2＋y2)＋2＝eq\r(x－\r(5)2＋y2)－2，即e