高中数学人教A版第三章不等式 优秀

利用图解法求得线性规划问题的最优解一、课前准备1、课时目标：（1）知识与技能：掌握线性规划问题的图解法，并能应用它解决一些简单的实际问题；（2）过程与方法：经历从实际情境中抽象出简单的线性规划问题的过程，提高数学建模能力；（3）情态与价值：引发学生学习和使用数学知识的兴趣，发展创新精神，培养实事求是、理论与实际相结合的科学态度和科学道德.2、基础预探：（1）在求可行域的过程中，对于线性约束条件，用的系数的符号比用点的坐标代入来的更快捷.当时，不等式表示的区域是直线的_______________；不等式表示的区域是直线的__________，当时，不等式表示的区域是直线的________；不等式表示的区域是直线的____________.（2）求线性目标函数的最大值或最小值，首先做出直线，再将该直线_________移动，使直线和可行域有公共点，再观察在可行域中使或最大或最小时所经过的点，该点的坐标就是__________解.二、基本知识习题化1、点和在直线的两侧，则的取值范围是（）A．或B．或C．D．2、不等式组表示的平面区域面积是（）A．28B．16C．D．1213、已知实数满足则的最大值为______________4、已知满足条件则的最大值为_________三、学习引领最优整数解问题，就是在有些线性规划问题中，变量要求取整数，因此其最优解也必须为整点，解答这类问题可以先解决一般的线性规划问题（不考虑整数），再在可行域内适当调整，从而确定最优整数解即可.四、典例导析：例1、某工厂制造甲、乙两种产品，已知制造甲产品1kg要用煤9吨，电力4kw，劳力（按工作日计算）3个；制造乙产品1kg要用煤4吨，电力5kw，劳力10个.又知制成甲产品1kg可获利7万元，制成乙产品1kg可获利12万元.现在此工厂只有煤360吨，电力200kw，劳力300个，在这种条件下应生产甲、乙两种产品各多少千克，才能获得最大经济效益？思路导析：设未知量，建立目标函数，根据平面区域求最值.解：设此工厂应生产甲、乙产品kg,kg，利润万元，则依题意可得约束条件：利润目标函数为作出不等式组所表示的平面区域，即可行域（如图），作直线，把直线向右上方平移至位置时，直线经过可行域上的点时，此时取得最大值.解方程组得点的坐标为所以应生产甲20千克、乙产品24千克，才能获得最大经济效益变式练习1、某糕点厂生产高档蛋糕和普通面包，生产高档蛋糕1千克分别需要面粉100克、糖200克、鸡蛋300克，生产普通面包分别需要面粉300克、糖200克、鸡蛋100克.现已在库存量面粉为15千克，糖12千克，鸡蛋15千克，若在此基础上进行生产，请列出满足生产条件的数学关系式，并画出相应的平面区域.例2、某人有楼房一幢，室内面积共计180，拟分割成两类房间作为旅游客房.大房间每间面积为18，可住游客5名，每名游客每天住宿费40元；小房间每间面积为13，可住游客3名，每名游客每天住宿费50元；装修大房间每间需要1000元，装修小房间每间需要600元.如果他只能筹款8000元用于装修，且游客能住满客房，他应隔出大房间和小房间各多少间才能获得最大收益？思路导析：按线性规划问题的步骤.解：设隔出大房间间，小房间间，收益为元，则满足且作出可行域如图作出直线即，平行移动，当到达点时（记为），的纵截距最大，解得，但，所以不是最优解，于是将从向左下方平移，平移过程中，最早经过可行域的整点可能为，,它们对应的值一次为36,34,35,36,34,35,33,31,32分别与50的乘积.所以当经过和时，取得最大值，所以应隔出小房间12间，或大房间3间，小房间8间，可以获得最大利润.规律总结：最优解不一定都在边界上，如果要求的最优解是可行域中的整数解，且直观上不易确定最优解，那么在求得非整数解后，可以在其附近按可行域中的最优解应满足的必要条件对的取值一一列举.由边界直线方程分别求得对应的最大（或最新）整数值，再代入目标函数分别计算并比较大小，如能适当推理估计，则过程更简.变式练习2、经调查，某高校两个专业拟招收新生.已知专业招收100名新生需配备教师：教授1人，副教授4人；专业招收100名新生需配备教师：教授1人，副教授2人.专业新生每年的学费为6000元；专业新生每年的学费为5000元.这所高校为两个专业配备的教师确定为：教授不超过5人，副教授不超过16人.问两个专业每年从这两个专业的新生中招收多少名新生收缴的学费最多？例3、已知，,求的最大值和最小值.思路导析：要求的最值，可令，则为斜率为-1的平行直线系在轴上的截距，将已知条件转化为不等式组，作出平面区域（可行域）解：设，题设条件可转化为作出它们在平面直角坐标系内围成的区域如图所示，则为斜率为-1的平行直线系在轴上的截距.当直线往右平移时，随之增大，经过不等式组所表示的平面区域的点时，取最小值，即；当直线经过点时，取最大值，即.所以的最大值和最小值分别是18和4.规律总结：这类问题的解题思路是在直角坐标平面内，根据条件确定平面区域，并将最值问题转化为直线在坐标轴上的截距问题来解决.变式练习3、已知实数满足则的取值范围是_______________五、随堂练习：1、设变量满足约束条件则目标函数的最小值为（）Ａ．6Ｂ．-6Ｃ．10Ｄ．-102、设变量满足约束条件则目标函数的最小值为（）3、设变量满足约束条件则目标函数的最小值为（）A．2B．3C．4D．94、设变量满足约束条件则目标函数取得最大值的最优解为5、设变量满足约束条件则目标函数的最小值为6、设变量满足约束条件则目标函数的最大值和最小值为？ 六、课后作业：1、设变量满足约束条件则的最大值为（）A-1B1C2D-22、设点，其中，满足的点的个数是（）A．10B．9C．3D．无数个3、若变量满足约束条件则的取值范围为4、设变量满足约束条件则目标函数取得最大值的点的坐标是___________5、变量满足约束条件则的最小值为？6、写出满足不等式组的解集.答案：一．2.（1）上方，下方，下方，上方（2）平行，最优二．1C解析：由题意知，即，2．B解析：依题意作出可行域如图，因为直线与直线垂直，所以为直角三角形，易得，，，解析：作出可行域如图，令=0，则，当移动直线过图中的点时，取得最大值，解方程组，得，代入，得4．5解析：依题意作图，，即，交点，，所以过点时取最大值为5.四．变式训练1：解析：设设高档蛋糕和普通面包应各生产千克和千克，则所满足的数学关系式为即分别画出不等式组中各不等式所表示的区域，然后取交集.如图所示的平面区域（阴影部分）就是不等组所表示的 区域.变式训练2：设专业招收新生人，专业招收新生人，每年收缴的学费为元，则，作出可行域如图，做直线，即，把直线向右上方平移至的位置时，直线经过可行域上的点，这时取得最大值，解方程组得点的坐标为（3,2）把代入得元。变式训练3解析：依题意作出可行域如图，直接求出各直线交点，再求五．解析：只需画出线性规划区域如图，可知，的最小值为-6.2.C解析：依题意作出可行域如图，由，得，要求的最大值，可求的最大值，即斜率为的直线在可行域内在轴上截距的最大值，如图，显然直线过点时，在轴上的截距最大，联立得，所以的最大值为3.B解析：依题意作出可行域如图，直接求出各直线交点，则目标函数的最小值为3.4.（4,3）解析：作出可行域如图，直线，过时，最大5.4解析：作出可行域如图，当直线过可行域上点时，直线在轴上的截距最小，最小，又点，所以6.依题意作出可行域，由得，由得，由得，表示可行域内的点到点的距离的平方，以为圆心，为半径画圆，当圆经过点时，最大，当圆经过点时，最小，所以，六．1．B解析：依题意找到可行域，对于直线，越大，越小。2.A解析：选择单位长度，找整数点。3.解析：作出可行域如图，理解为区域上的点与点