系统建模与仿真的基本原理

第2章系统建模与仿真的基本原理

2.1离散事件系统及其模型分类2.2离散事件系统建模的基本元素2.3离散事件系统仿真程序的基本结构2.4建立系统模型的常用方法

2.4.1分析与综合

2.4.2抽象与概括

2.4.3归纳与总结

2.4.4演绎与推理

2.4.5比较与类比

2.4.6概率统计法

2.4.7层次分析法2/5/202312.1离散事件系统及其模型分类

系统分类连续系统（continuoussystem）离散事件动态系统（DEDS）确定性系统（

deterministicsystem

）随机系统（stochasticsystem）静态系统（staticsystem）

动态系统（dynamicsystem）

2/5/202322.1离散事件系统及其模型分类白箱（whitebox）

灰箱（greybox）

黑箱（blackbox）

微观模型（microscopicmodel）

宏观模型（macroscopicmodel）

集中参数模型（

lumpedparametersmodel）

分布参数模型（distributionparametersmodel）

2/5/202332.2离散事件系统建模的基本元素离散事件系统建模与仿真中的基本元素包括：1．实体（entity）：系统内的对象,构成系统模型的基本要素

临时实体（temporaryentity

）

永久实体（permanententity

）

2．属性（attribute）：实体的状态和特性

3．状态（state）：任一时刻，系统中所有实体的属性的集合2/5/202342.2离散事件系统建模的基本元素4．事件（event）：引起系统状态变化的行为和起因，是系统状态变化的驱动力

5．活动（activity）：指两个事件之间的持续过程，它标志系统状态的转移

6．进程（process）：与某类实体相关的若干有序事件及活动组成，它描述了相关事件及活动之间的逻辑和时序关系

2/5/202352.2离散事件系统建模的基本元素7．仿真时钟（simulationclock）：用于显示仿真时间的变化，是仿真模型运行时序的控制机构

！！！仿真时钟是指所模拟的实际系统运行所需的时间，而不是指计算机执行仿真程序所需的时间。

2/5/202362.2离散事件系统建模的基本元素

常用的仿真时钟的推进机制：仿真时钟可以按固定的长度向前推进，也可以按变化的节拍向前推进，将仿真时钟变化的机制称为

仿真时钟的推进机制（timeadvancemechanism）①固定步长时间推进机制（fixed-incrementtimeadvancemechanism）②下次事件时间推进机制（nexteventtimeadvancemechanism）③混合时间推进机制（mixedtimeadvancemechanism）2/5/202372.2离散事件系统建模的基本元素8.规则（rule）

：用于描述实体之间的逻辑关系和系统运行策略的逻辑语句和约定

常用的规则：①先进先出（FirstInFirstOut，FIFO）②后进先出（LastInFirstOut，LIFO）③加工或服务时间最短（shortesttime）④按优先级（highestpriority）⑤随机（random）选择

2/5/202382.3离散事件系统仿真程序的基本结构2/5/202392.3离散事件系统仿真程序的基本结构离散事件仿真程序中的子程序：1．变量、实体属性和系统状态：用来记录系统在不同时刻所处的工作状况。2．初始化子程序：在仿真模型开始运行前完成模型的初始化工作，产生必要的初试参数。

3．仿真时钟：用于记录仿真模型的运行时间，可作为评价系统性能的依据，也可作为仿真调度和仿真程序是否结束的依据。

4．事件列表：按事件按发生的先后顺序建立的数据列表，是仿真模型运行和仿真时钟推进的依据。

2/5/2023102.3离散事件系统仿真程序的基本结构5．定时子程序：根据事件表确定下一个将发生的事件，并将仿真时钟推进到下次事件发生的时刻。

6．事件子程序：根据实际系统抽象出的事件程序。7．仿真数据处理与分析子程序：用于计算、显示、分析和打印仿真结果，并为系统的优化和改进提供依据。

2/5/2023112.4建立系统模型的常用方法

系统建模要求建模者具备以下能力：建立系统模型是复杂的思维过程，它要求建模者具备扎实的专业知识，了解研究对象的结构、参数、运行和性能特征，还要求建模者掌握系统建模的基本方法，熟练应用相关的数学工具和方法。

①对研究对象的分析和综合能力；②抽象和概括能力；③洞察和想象能力；④运用数学工具分析问题的能力；⑤设计试验验证数学模型的能力。2/5/2023122.4建立系统模型的常用方法2.4.1

分析与综合（analysisandsynthesis）

分析是研究系统的基础，也是认识事物的必经阶段。分析（analysis）是指将被研究对象的整体分解为不同部分、

方面、要素、层次和功能模块，并且分别加以考察研究的思维方法，即“化整为零”的思维过程。分析的任务包括：①分析构成系统的要素、结构及其属性；②通过对系统运行过程的分析，确定系统要素之间的关系。

2/5/2023132.4建立系统模型的常用方法

综合（synthesis）是将已有的关于研究对象的各个部分、方面、要素、层次和功能模块的认识联结起来，以便构成一个整体的思维方法，即“积零为整”的思维过程。综合不是系统要素、结构的简单累加，而要在分析的基础上区分主次、去粗取精，以便从整体上把握系统的本质特征和运行规律，以便正确地认识系统。分析与综合是揭示系统规律的基本方法之一。分析是综合的基础，但是分析着眼于系统局部，分析得到的结果是关于系统各部分的信息，而不是关于系统整体的认识。若只分析而忽视综合，就会导致片面性。2/5/2023142.4建立系统模型的常用方法

分析的目的是为了综合，分析结果是综合的出发点。实际上，认识系统的过程就是沿着“分析-综合-再分析-再综合…”不断深化的过程。系统建模时，应先分析后综合，将二者有机地结合起来。2/5/2023152.4建立系统模型的常用方法

分析与综合案例——元素周期表2/5/2023162.4建立系统模型的常用方法2/5/2023172.4建立系统模型的常用方法2.4.2

抽象与概括（abstractionandgeneralization）

抽象（abstraction）是指从某种角度抽取要研究系统的本质属性的思维方法。在数学中，抽象是指从研究对象或问题中抽取出数量关系或空间形式而舍弃其他属性对其进行考察的方法。数学中的概念、关系、定理、方法、符号等都是数学抽象的结果。采用系统建模与仿真技术研究系统时，需要建立系统的数学模型。因此，抽象思维是数学建模的基础之一。2/5/2023182.4建立系统模型的常用方法

概括（generalization）是把抽象出来的若干事物的共同属性归结出来进行考察的思维方法。概括以抽象为基础，它是抽象的发展。抽象度越高，则概括性越强。高度的概括使得对事物的理解更具有一般性，所获得的理论或方法也就更具有普遍的指导性。抽象思维侧重于分析、提炼，概括思维则侧重于归纳、综合。2/5/2023192.4建立系统模型的常用方法

抽象与概括案例——哥尼斯堡七桥问题2/5/2023202.4建立系统模型的常用方法

抽象与概括案例——系统可靠性框图（RBD）2/5/2023212.4建立系统模型的常用方法2.4.3归纳与总结（inductionandsummingup）

归纳是指从个别的事物、现象出发，通过感官观察、经验推理或数学推导等，得出关于此类事物或现象的具有普遍性结论的过程。

归纳的前提是单个事实或特殊的情况，它建立在观察、经验或实验的基础上。归纳的意义在于：在一定条件下，将得出的结论应用于不同的应用对象，或避免犯类似的错误。

2/5/2023222.4建立系统模型的常用方法

归纳与总结案例——哥德巴赫猜想

1742年，德国数学家哥德巴赫（Christian

Goldbach，1690-1764）研究发现：奇数都可以由三个素数相加，如77＝53＋17＋7，461＝449＋7＋5＝257＋199＋5等。于是，他归纳出一个规律：所有大于5的奇数都可以分解为三个素数之和。他写信给数学家欧拉，提出上述猜想。欧拉肯定了他的想法，并补充提出：4以后每个偶数都可以分解为两个素数之和。后来，人们将这两个命题合称为哥德巴赫猜想。2/5/2023232.4建立系统模型的常用方法

归纳与总结案例——开普勒定律自1601年起，德国天文学家开普勒（JohannesKepler，1571-1630）采用数学方法研究行星运动，于1609年归纳出开普勒第一定律和开普勒第二定律。

开普勒第一定律可表述为“各行星分别在大小不同的椭圆轨道上绕太阳运行，太阳位于这些椭圆的一个焦点上”；

开普勒第二定律可表述为“对同一颗行星而言，太阳和行星之间的连线在相等的时间内扫过相等的面积”。2/5/2023242.4建立系统模型的常用方法

归纳与总结案例——开普勒定律为进一步寻求行星运动周期与椭圆轨道尺寸之间的关系，开普勒又经过九年的反复计算和假设，于1618年发现了隐藏在大量观测数据后面的规律，归纳出“行星绕太阳运行周期（T）的平方与它们到它们到太阳的平均距离（椭圆轨道长轴半径a）的立方成正比”的结论，此即开普勒第三定律。2/5/2023252.4建立系统模型的常用方法

归纳与总结案例——开普勒定律

1619年，开普勒在《宇宙的和谐》一书中介绍了第三定律。他在书中写道：“认识到这一真理，超出了我最美好的期望”。

开普勒的三大定律是天文学的又一次革命，它彻底摧毁了托勒密复杂的本轮宇宙体系，完善并简化了哥白尼的日心宇宙体系，对后人确认太阳系结构提供了理论依据，并为牛顿发现万有引力定律奠定了基础。2/5/2023262.4建立系统模型的常用方法2.4.4演绎与推理（deductionandreasoning）

演绎（deduction）是由普遍性前提推导出特殊性结论的思维方法，是由一般到特殊的推理过程。演绎推理是严格的逻辑推理，一般表现为大前提、小前提、

结论的三段论模式，即从两个反映客观世界对象联系和关系的判断中得出新的判断的推理形式。

演绎推理（deductivereasoning）的基本要求是：①大、小前提的判断必须真实；②推理过程必须符合正确的逻辑形式和规则。当推理形式和推理逻辑正确时，在真实的前提下由演绎方法一定能得出正确的结论，不会出现前提真而结论假的情况。2/5/202327按照前提和结论之间的结构关系，可以分为以下几种：三段论假言推理充分条件规则1：肯定前件，就要肯定后件；否定前件，不能否定后件。1.如果谁骄傲自满，那么他就要落后；小张骄傲自满，所以，小张必定要落后。规则2：否定后件，就要否定前件；肯定后件，不能肯定前件。2.如果谁得了肺炎，他就一定要发烧；小李没发烧，所以，小李没患肺炎。

必要条件规则1：否定前件，就要否定后件；肯定前件，不能肯定后件。只有年满十八岁，才有选举权；小周不到十八岁，所以，小周没有选举权。

规则2：肯定后件，就要肯定前件；否定后件，不能否定前件。只有选用优良品种，小麦才能丰收；小麦丰收了，所以，这块麦田选用了优良品种。2/5/202328根据规则，必要条件假言推理的肯定前件式和否定后件式都是无效的。例如：3.只有有作案动机，才会是案犯；某人确有作案动机，所以，某人定是案犯。4.只有学习成绩优良，才能做三好学生；小吴不是三好学生，所以，小吴学习成绩不是优良。

充分必要条件假言推理规则1：肯定前件，就要肯定后件；肯定后件，就要肯定前件。规则2：否定前件，就要否定后件；否定后件，就要否定前件。1.一个数是偶数当且仅当它能被2整除；这个数是偶数，所以，这个数能被2整除。2.一个数是偶数当且仅当它能被2整除；这个数能被2整除，所以，这个数是偶数。3.一个数是偶数当且仅当它能被2整除；这个数不是偶数，所以，这个数不能被2整除。4.一个数是偶数当且仅当它能被2整除；这个数不能被2整除，所以，这个数不是偶数。2/5/202329选言推理相容推理规则1：否定一部分选言支，就要肯定另一部分选言支。规则2：肯定一部分选言支，不能否定另一部分选言支。1.金敏是教师或者是律师，她不是教师，所以，她是律师。（正）2.金敏是教师或者是律师，她是教师，所以，她不是律师。（误）

不相容推理规则1：否定一部分选言支，就要肯定另一部分选言支。规则2：肯定一部分选言支，就要否定另一部分选言支。1.要么小李得冠军，要么小王得冠军；小李没有得冠军，所以，小王得冠军。2.要么去桂林旅游，要么去海南旅游；去桂林旅游，所以，不去海南旅游。2/5/2023302.4建立系统模型的常用方法英国科学家牛顿（IsaacNewton，1642-1727）以微积分方法为工具，应用演绎推理方法，在开普勒三定律和牛顿第二定律的基础上，推导出万有引力定律，从而定量地解释了许多自然现象。由于该演绎推理的前提正确、推理逻辑无误，万有引力被大量的实验数据所证实。爱因斯坦曾说过：“理论研究者的工作可分成两步，首先是发现公理，其次是从公理推出结论”。

爱因斯坦还曾指出：“科学发展早期所采用的方法以归纳为主，随着科学的发展而让逐步位于探索性的演绎法。”2/5/2023312.4建立系统模型的常用方法

恩格斯曾经指出：“正如分析和综合一样，归纳和演绎是必然相互联系着的”。诺贝尔奖得主杨振宁教授也曾说：“中华文化有归纳法，可没有推演法（演绎法），而近代科学是把归纳法和推演法结合起来而发展的，推演法对于近代科学产生的影响无法估量。”2/5/2023322.4建立系统模型的常用方法2.4.5比较与类比（comparisonandanalogy）要判定一个系统性能的优劣，可以采用以下两种方法：①采用实验手段直接测量，得到系统性能的绝对值；

②将待研究对象与类似的已知系统作比较，得到系统性能的相对值。

比较与类比（comparisonandanalogy）是指由两个对象的某些相同或相似的性质，推断它们在其他性质上也有可能相同或相似的一种推理形式。2/5/2023332.4建立系统模型的常用方法一个由质量为m的刚体、阻尼系数为c的阻尼器以及刚度系数为k的弹簧组成的机械系统。在外力F的作用下，根据牛顿定律，对刚体m可建立如下振动微分方程式：

由电感L、电容C、电阻R组成的电路，系统，当输入电压为u1时，电容上的输出电压为uC当输入电压为u1时，根据基尔霍夫定律，u1和uC满足如下微分方程式：2/5/2023342.4建立系统模型的常用方法2.4.6概率统计法（probabilisticmethod）

系统建模和仿真时，模型的输入参数（如待加工零件的比例和到达时间、零件在不同工序的加工时间、设备故障停机时间等）都服从一定分布，系统的性能指标（如机床利用率、零件平均等待时间、车间生产率等）也具有随机性。

要准确地描述模型的输入/输出参数，必须利用概率统计法。概率统计法（probabilitystatisticsmethod）是以概率论为基础，通过观察、采集、处理和分析待研究系统的样本数据，从而推断出系统总体性能指标。2/5/2023352.4.7层次分析法建模一问题的提出例1购物买钢笔，一般要依据质量、颜色、实用性、价格、外形等方面的因素选择某一支钢笔。买饭，则要依据色、香、味、价格等方面的因素选择某种饭菜。

决策是指在面临多种方案时需要依据一定的标准选择某一种方案。2/5/202336

假期旅游，是去风光秀丽的苏州，还是去迷人的北戴河，或者是去山水甲天下的桂林，一般会依据景色、费用、食宿条件、旅途等因素选择去哪个地方。例2旅游例3择业面临毕业，可能有高校、科研单位、企业等单位可以去选择，一般依据工作环境、工资待遇、发展前途、住房条件等因素择业。2/5/202337

由于经费等因素，有时不能同时开展几个课题，一般依据课题的可行性、应用价值、理论价值、被培养人才等因素进行选题。

面临各种各样的方案，要进行比较、判断、评价、最后作出决策。这个过程主观因素占有相当的比重给用数学方法解决问题带来不便。T.L.saaty等人在20世纪七十年代提出了一种能有效处理这类问题的实用方法。例4科研课题的选择2/5/202338

层次分析法（AnalyticHierarchyProcess,AHP)这是一种定性和定量相结合的、系统化的、层次化的分析方法。

过去研究自然和社会现象主要有机理分析法和统计分析法两种方法，前者用经典的数学工具分析现象的因果关系，后者以随机数学为工具，通过大量的观察数据寻求统计规律。近年发展的系统分析是又一种方法，而层次分析法是系统分析的数学工具之一。2/5/202339层次分析法（AnalyticHierarchyProcess，AHP）

层次分析法的基本原理：

测度原理

递阶层次结构原理决策是从一组备选方案中选择理想的方案。它是在一定准则下通过“效用函数”值的最大化来实现的。要实现上述目标，首先要对各种因素进行测度。影响决策的各种因素之间往往存在自上至下、递阶、逐层支配的关系。2/5/202340层次分析法（AnalyticHierarchyProcess，AHP）

排序原理层次分析法将同层次的一组元素，通过两两比较，以确定各因素的相对重要性，最终得到权重矩阵。

综合评价原理以系统化的方法，综合评价各方案的总体性能。2/5/202341§层次分析法的基本原理和步骤

运用层次分析法解决问题，大体可以分为四个步骤：

1.建立问题的递阶层次结构；

2.构造两两比较判断矩阵；

3.由判断矩阵计算被比较元素相对权重；

4.计算各层次元素的组合权重。2/5/202342层次分析法的基本思路：与人们对某一复杂决策问题的思维、判断过程大体一致。选择钢笔质量、颜色、价格、外形、实用钢笔1、钢笔2、钢笔3、钢笔4质量、颜色、价格、外形、实用进行排序将各个钢笔的质量、颜色、价格、外形、实用进行排序经综合分析决定买哪支钢笔2/5/2023431建立层次结构模型

一般分为三层，最上面为目标层，最下面为方案层，中间是准则层或指标层。例1的层次结构模型准则层方案层目标层2/5/202344目标层O(选择旅游地)P2黄山P1桂林P3北戴河准则层方案层C3居住C1景色C2费用C4饮食C5旅途例2.选择旅游地如何在3个目的地中按照景色、费用、居住条件等因素选择.2/5/202345“选择旅游地”思维过程的归纳将决策问题分为3个层次：目标层O，准则层C，方案层P；每层有若干元素，各层元素间的关系用相连的直线表示。通过相互比较确定各准则对目标的权重，及各方案对每一准则的权重。将上述两组权重进行综合，确定各方案对目标的权重。层次分析法将定性分析与定量分析结合起来完成以上步骤，给出决策问题的定量结果。2/5/202346设某层有个因素，2构造成对比较矩阵要比较它们对上一层某一准则（或目标）的影响程度，确定在该层中相对于某一准则所占的比重。（即把个因素对上层某一目标的影响程度排序）用表示第个因素相对于第个因素的比较结果，则则称为成对比较矩阵。上述比较是两两因素之间进行的比较，比较时取1~9尺度。2/5/2023472468比较尺度aij

Saaty等人提出1~9尺度——aij

取值1,2,…,9及其互反数1,1/2,…,1/9尺度13579相同稍强强明显强绝对强aij=1,1/2,,…1/9的重要性与上面相反心理学家认为成对比较的因素不宜超过9个用1~3,1~5,…1~17,…,1p~9p

(p=2,3,4,5),d+0.1~d+0.9(d=1,2,3,4)等27种比较尺度对若干实例构造成对比较阵，算出权向量，与实际对比发现，1~9尺度较优。便于定性到定量的转化：成对比较阵和权向量2/5/202348成对比较阵和权向量元素之间两两对比，对比采用相对尺度设要比较各准则C1,C2,…,Cn对目标O的重要性A~成对比较阵A是正互反阵要由A确定C1,…,Cn对O的权向量选择旅游地2/5/202349成对比较的不一致情况一致比较不一致允许不一致，但要确定不一致的允许范围考察完全一致的情况成对比较阵和权向量2/5/202350成对比较完全一致的情况满足的正互反阵A称一致阵，如

A的秩为1，A的唯一非零特征根为n

A的任一列向量是对应于n的特征向量

A的归一化特征向量可作为权向量一致阵性质成对比较阵和权向量

2/5/202351若成对比较矩阵是一致阵，则我们自然会取对应于最大特征根的归一化特征向量，且定理：阶互反阵的最大特征根，当且仅当时，为一致阵。表示下层第个因素对上层某因素影响程度的权值。若成对比较矩阵不是一致阵，Saaty等人建议用其最大特征根对应的归一化特征向量作为权向量，则（为什么？）这样确定权向量的方法称为特征根法.英雄帖2题目：该定理的证明。分值：2英雄帖1题目：特征根法的原因分值：12/5/202352一致性检验对A确定不一致的允许范围定义一致性指标:CI越大，不一致越严重RI000.580.901.121.241.321.411.451.491.51

n1234567891110为衡量CI的大小，引入随机一致性指标RI——随机模拟得到aij,形成A，计算CI即得RI。定义一致性比率CR=CI/RI当CR<0.1时，通过一致性检验Saaty的结果如下由于连续的依赖于，则比大的越多，的不一致性越严重。用最大特征值对应的特征向量作为被比较因素对上层某因素影响程度的权向量，其不一致程度越大，引起的判断误差越大。因而可以用数值的大小来衡量的不一致程度。2/5/202353“选择旅游地”中准则层对目标的权向量及一致性检验准则层对目标的成对比较阵最大特征根=5.073权向量(特征向量)w=(0.263,0.475,0.055,0.090,0.110)T一致性指标随机一致性指标RI=1.12(查表)一致性比率CR=0.018/1.12=0.016<0.1通过一致性检验2/5/202354组合权向量记第2层（准则）对第1层（目标）的权向量为同样求第3层(方案)对第2层每一元素(准则)的权向量方案层对C1(景色)的成对比较阵方案层对C2(费用)的成对比较阵…Cn…Bn最大特征根1

2

…

n

权向量w1(3)w2(3)…

wn(3)2/5/202355

（2）考虑第3层对第2层由1–9尺度得2/5/202356权向量矩阵2/5/2023574层次总排序及其一致性检验

确定某层所有因素对于总目标相对重要性的排序权值过程，称为层次总排序

从最高层到最低层逐层进行。设：

对总目标Z的排序为的层次单排序为2/5/202358即层第个因素对总目标的权值为：层的层次总排序为：B层的层次总排序AB2/5/202359层次总排序的一致性检验设层对上层(层)中因素的层次单排序一致性指标为，随机一致性指为，则层次总排序的一致性比率为：当时，认为层次总排序通过一致性检验。到此，根据最下层（决策层）的层次总排序做出最后决策。2/5/202360

（3）组合权向量2/5/202361（4）组合一致性检验2/5/202362第3层对第2层的计算结果k10.5950.2770.1293.0050.0030.00100.00503.0020.6820.2360.082230.1420.4290.42933.0090.1750.1930.633430.6680.1660.1665组合权向量RI=0.58(n=3),

CIk

均可通过一致性检验

w(2)

0.2630.4750.0550.0900.110方案P1对目标的组合权重为0.5950.263+…=0.300方案层对目标的组合权向量为(0.300,0.246,0.456)T2/5/202363旅游决策问题计算结果权向量C对U0.2640.4760.0540.0980.109λm(2)CI(2)CR(2)5.0720.0180.016准则C方案PC1C2C3C4C5组合权向量P对U权向量P对CP10.5950.0820.4290.6340.1670.299P20.2760.2360.4290.1920.1670.245P30.1220.6820.1420.1740.6670.455λm(3)3.0063.00233.0093CR(3)CI(3)0.0030.00100.0050RI(3)0.580.580.580.580.580.0032/5/2023642/5/2023652/5/202366四层次分析法的优点和局限性1系统性

层次分析法把研究对象作为一个系统，按照分解、比较判断、综合的思维方式进行决策，成为继机理分析、统计分析之后发展起来的系统分析的重要工具。2实用性层次分析法把定性和定量方法结合起来，能处理许多用传统的最优化技术无法着手的实际问题，应用范围很广，同时，这种方法使得决策者与决策分析者能够相互沟通，决策者甚至可以直接应用它，这就增加了决策的有效性。2/5/2023673简洁性具有中等文化程度的人即可以了解层次分析法的基本原理并掌握该法的基本步骤，计算也非常简便，并且所得结果简单明确，容易被决策者了解和掌握。以上三点体现了层次分析法的优点，该法的局限性主要表现在以下几个方面：第一只能从原有的方案中优选一个出来，没有办法得出更好的新方案。2/5/202368第二该法中的比较、判断以及结果的计算过程都是粗糙的，不适用于精度较高的问题。第三从建立层次结构模型到给出成对比较矩阵，人主观因素对整个过程的影响很大，这就使得结果难以让所有的决策者接受。当然采取专家群体判断的办法是克服这个缺点的一种途径。思考：多名专家的综合决策问题2/5/202369五正互反阵最大特征值和特征向量实用算法用定义计算矩阵的特征值和特征向量相当困难，特别是阶数较高时；成对比较矩阵是通过定性比较得到的比较粗糙的结果，对它的精确计算是没有必要的。寻找简便的近似方法。2/5/202370定理对于正矩阵A

（A的所有元素为正）1）A的最大特征根为正单根；2）对应正特征向量w（w的所有分量为正）；3）其中是对应的归一化特征向量。2/5/2023711幂法步骤如下a)任取n维归一化初始向量b)

计算c)归一化，即令2/5/202372d)

对于预先给定的精度，当下式成立时即为所求的特征向量；否则返回b；e)计算最大特征值这是求特征根对应特征向量的迭代方法，其收敛性由定理的3）保证。2/5/2023732和法步骤如下a)将A的每一列向量归一化得b)

对c)归一化按行求和得d)计算2/5/2023743根法步骤与和法基本相同，只是将步骤b改为对按行求积并开n次方，即三方法中，和法最为简便。看下列例子。e)计算，最大特征值的近似值。2/5/202375列向量归一化求和归一化精确计算，得2/5/202376§范例工作选择：经双方恳谈，已有三个单位表示愿意录用某毕业生。该生根据已有信息建立了一个层次结构模型，如下图所示：2/5/202377经过仔细斟酌，该生对准则层和方案层分别进行了两两比较，所做的两两比较判断矩阵为：2/5/2023782/5/2023792/5/2023802/5/202381对矩阵A和Bj（j=1,…,6）分别进行求最大特征值、一致性判断、求权值等运算，再经过组合权重的计算和组合一致性的判断，最终结果是：该生最满意的工作为工作1。中间的具体计算结果如表1.3.1和表1.3.2所示。2/5/202382表1.3.1各层及组合权值准则研究发展待遇同事地理单位课题前途情况位置名气总排序权值准则层权值0.15070.17920.18860.04720.14640.2879方案层单排序权值工作10.13650.09740.24260.27900.46670.79860.3952工作20.62500.33310.08790.64910.46670.10490.2996工作30.23850.56950.66940.07190.06670.09650.30522/5/202383表1.3.2各层及组合一致性比例准则研究发展待遇同事地理单位课题前途情况位置名气组合一致比例准则层一致比例0.0981方案层一致比例0.01760.02360.00680.06240.00000.00680.11112/5/202384注意：事实上，在准则层的最终组合一致性比例为0.1111，大于0.1。但由于各个单层的一致性都是可以接受的，组合一致性比例比0.1大的很少，考虑到调整两两比较判断矩阵非常麻烦，故在此问题中，我们认可这样的一致性比例。2/5/202385层次分析法在彩票抽奖

方案选择中的应用

2002年全国大学生数学建模竞赛B题：

已知29种彩票抽奖方案，要求综合分析各种奖项出现的可能性、奖项和奖金额的设置以及对彩民的吸引力等因素评价各方案的合理性，设计一种“更好”的方案及相应的算法。

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一、问题的提出

已给的29种方案分为两种类型

1、“传统型”采用“10选6+1”方案：投注者从0~9十个号码中任选6个基本号码（可重复），从0~4中选一个特别号码，构成一注。根据单注号码与中奖号码相符的个数多少及顺序确定中奖等级；

2/5/202387表1：“传统型”中奖办法中奖等级10选6+1（6+1/10）基本号码