高中数学苏教版第三章概率 省一等奖

章末综合测评(三)(时间120分钟，满分160分)一、填空题(本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案填在横线上)1．把红、蓝、黑、白4张纸牌随机分给甲、乙、丙、丁四人，每人分得一张，那么事件“甲分得红牌”与事件“乙分得红牌”是________．(填序号)①对立事件；②互斥但不对立事件；③必然事件；④不可能事件．【解析】“甲分得红牌”与“乙分得红牌”不能同时发生，故它们是互斥事件，又甲、乙可能都得不到红牌，故它们不是对立事件．【答案】②2．利用简单随机抽样从含有6个个体的总体中抽取一个容量为3的样本，则总体中每个个体被抽到的概率是________．【解析】总体个数为N，样本容量为M，则每一个个体被抽得的概率为P＝eq\f(M,N)＝eq\f(3,6)＝eq\f(1,2).【答案】eq\f(1,2)3．一个口袋内装有大小相同的10个白球，5个黑球，5个红球，从中任取一球是白球或黑球的概率为________．【解析】记“任取一球为白球”为事件A，“任取一球为黑球”为事件B，则P(A＋B)＝P(A)＋P(B)＝eq\f(10,20)＋eq\f(5,20)＝eq\f(3,4).【答案】eq\f(3,4)4．在一次教师联欢会上，到会的女教师比男教师多12人，从这些教师中随机挑选一人表演节目，若选到男教师的概率为eq\f(9,20)，则参加联欢会的教师共有________人．【解析】设男教师为n人，则女教师为(n＋12)人，∴eq\f(n,2n＋12)＝eq\f(9,20).∴n＝54.∴参加联欢会的教师共有120人．【答案】1205．如图1，矩形长为5、宽为2，在矩形内随机地撒300颗黄豆，数得落在阴影部分的黄豆数为138颗，则我们可以估计出阴影部分的面积为________．图1【解析】利用几何概型的概率计算公式，得阴影部分的面积约为eq\f(138,300)×(5×2)＝eq\f(23,5).【答案】eq\f(23,5)6．袋中有形状、大小都相同的4只球，其中1只白球，1只红球，2只黄球，从中一次随机摸出2只球，则这2只球颜色不同的概率为________．【解析】从袋中随机摸出2只球有(白，红)，(白，黄1)，(白，黄2)(红，黄1)(红，黄2)，(黄1，黄2)共6种取法，其中颜色不同的有5种，由古典概型概率公式得所求概率为eq\f(5,6).【答案】eq\f(5,6)7．向图2中所示正方形内随机地投掷飞镖，则飞镖落在阴影部分的概率为________．图2【解析】直线6x－3y－4＝0与直线x＝1交于点eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，\f(2,3)))，与直线y＝－1交于点eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,6)，－1))，易知阴影部分面积为eq\f(1,2)×eq\f(5,6)×eq\f(5,3)＝eq\f(25,36).所以P＝eq\f(S阴影,S正方形)＝eq\f(\f(25,36),4)＝eq\f(25,144).【答案】eq\f(25,144)8．在抛掷一颗骰子的试验中，事件A表示“不大于4的偶数点出现”，事件B表示“小于5的点数出现”，则事件A＋eq\x\to(B)发生的概率为________．(eq\x\to(B)表示B的对立事件)【导学号：11032076】【解析】事件A包含的基本事件为“出现2点”或“出现4点”；eq\x\to(B)表示“大于等于5的点数出现”，包含的基本事件为“出现5点”或“出现6点”．显然A与eq\x\to(B)是互斥的，故P(A＋eq\x\to(B))＝P(A)＋P(eq\x\to(B))＝eq\f(1,3)＋eq\f(1,3)＝eq\f(2,3).【答案】eq\f(2,3)9．小波通过做游戏的方式来确定周末活动，他随机地往单位圆内投掷一点．若此点到圆心的距离大于eq\f(1,2)，则周末去看电影；若此点到圆心的距离小于eq\f(1,4)，则去打篮球；否则，在家看书，则小波周末不在家看书的概率为________．【解析】∵去看电影的概率P1＝eq\f(π×12－π×\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))\s\up12(2),π×12)＝eq\f(3,4).去打篮球的概率P2＝eq\f(π×\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,4)))\s\up12(2),π×12)＝eq\f(1,16).∴不在家看书的概率为P＝eq\f(3,4)＋eq\f(1,16)＝eq\f(13,16).【答案】eq\f(13,16)10．口袋中装有100个大小相同的红球、白球、黑球，其中红球45个，从口袋中摸出1个球，摸出白球的概率是，则摸出黑球的概率是________．【解析】∵摸出白球的概率是，∴口袋中白球的个数为×100＝23个，∴袋中黑球共100－45－23＝32个．∴从袋中摸出1个球，摸出黑球的概率为eq\f(32,100)＝.【答案】11．如图3，在一个棱长为2的正方体鱼缸内放入一个倒置的无底圆锥形容器，圆锥的上底圆周与鱼缸的底面正方形相切，圆锥的顶点在鱼缸的缸底上，现在向鱼缸内随机地投入一粒鱼食，则“鱼食能被鱼缸内在圆锥外面的鱼吃到”的概率是________．图3【解析】鱼缸的体积为23＝8，圆锥的体积为eq\f(1,3)π×12×2＝eq\f(2π,3)，故所求概率为P＝eq\f(8－\f(2π,3),8)＝1－eq\f(π,12).【答案】1－eq\f(π,12)12．在5件产品中，有3件一等品和2件二等品，从中任取2件，以eq\f(7,10)为概率的事件是________．(填序号)①恰有1件一等品；②至少有一件一等品；③至多有一件一等品；④都不是一等品．【解析】将3件一等品编号为1,2,3,2件二等品编号为4,5，从中任取2件有10种取法：(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(3,4)，(3,5)，(4,5)．其中恰含有1件一等品的取法有：(1,4)，(1,5)，(2,4)，(2,5)，(3,4)，(3,5)，恰有1件一等品的概率为P1＝eq\f(3,5)，恰有2件一等品的取法有：(1,2)，(1,3)，(2,3)．故恰有2件一等品的概率为P2＝eq\f(3,10)，其对立事件是“至多有一件一等品”，概率为P3＝1－P2＝1－eq\f(3,10)＝eq\f(7,10)，至少有一件一等品的概率为P4＝eq\f(3,5)＋eq\f(3,10)＝eq\f(9,10)，都不是一等品的概率为P5＝1－eq\f(9,10)＝eq\f(1,10).【答案】③13．随机掷两枚质地均匀的骰子，他们向上的点数之和不超过5的概率为p1，点数之和大于5的概率为p2，点数之和为偶数的概率为p3，则p1，p2，p3的大小顺序是________．【解析】随机掷两枚质地均匀的骰子，所有可能的结果共有36种．事件“向上的点数之和不超过5”包含的基本事件有(1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(3,1)，(3,2)，(4,1)共10种，其概率p1＝eq\f(10,36)＝eq\f(5,18).事件“向上的点数之和大于5”与“向上的点数之和不超过5”是对立事件，所以“向上的点数之和大于5”的概率p2＝eq\f(13,18).因为朝上的点数之和不是奇数就是偶数，所以“点数之和为偶数”的概率p3＝eq\f(1,2).故p1＜p3＜p2.【答案】p1＜p3＜p214．在区间[0,5]上随机地选择一个数p，则方程x2＋2px＋3p－2＝0有两个负根的概率为________．【解析】因为方程x2＋2px＋3p－2＝0有两个负根，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(Δ＝4p2－43p－2≥0，,x1＋x2＝－2p<0，,x1x2＝3p－2>0，))解得eq\f(2,3)<p≤1或p≥2.由几何概型概率公式得所求概率为eq\f(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(2,3)))＋5－2,5－0)＝eq\f(2,3).【答案】eq\f(2,3)二、解答题(本大题共6个小题，共90分)15．(本小题满分14分)袋子中装有大小和形状相同的小球，其中红球与黑球各1个，白球n个．从袋子中随机取出1个小球，取到白球的概率是eq\f(1,2).(1)求n的值；(2)记从袋中随机取出一个小球为白球得2分，为黑球得1分，为红球不得分．现从袋子中取出2个小球，求总得分为2分的概率．【解】(1)由题意可得eq\f(n,1＋1＋n)＝eq\f(1,2)，解得n＝2.(2)设红球为a，黑球为b，白球为c1，c2，从袋子中取出2个小球的所有基本等可能事件为：(a，b)，(a，c1)，(a，c2)，(b，c1)，(b，c2)，(c1，c2)，共有6个，其中得2分的基本事件有(a，c1)，(a，c2)，所以总得分为2分的概率为eq\f(2,6)＝eq\f(1,3).16．(本小题满分14分)如图4，矩形ABCD中，点A在x轴上，点B的坐标为(1,0)且点C与点D在函数f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋1，x≥0，,－\f(1,2)x＋1，x<0))的图象上．图4(1)求点A，点C，点D的坐标；(2)若在矩形ABCD内随机取一点，求此点取自阴影部分的概率．【解】(1)由ABCD为矩形，点B的坐标为(1,0)知点C的横坐标与点B的横坐标相同，即xC＝1，又因为点C在函数f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋1，x≥0，,－\f(1,2)x＋1，x<0))的图象上，故yC＝xC＋1＝1＋1＝2，所以点C的坐标为(1,2)，因为CD∥AB所以yD＝yC＝2.令－eq\f(1,2)x＋1＝2得x＝－2所以点D的坐标为(－2,2)，A点坐标为(－2,0)，综上所述，A(－2,0)，C(1,2)，D(－2,2)．(2)因为S矩形ABCD＝3×2＝6，S阴影＝eq\f(1,2)×3×1＝eq\f(3,2)，所以由几何概型的概率公式得所求的概率P＝eq\f(\f(3,2),6)＝eq\f(1,4).17．(本小题满分14分)甲乙两人玩一种游戏，每次由甲、乙各出1到5根手指，若和为偶数算甲赢，否则算乙赢．(1)若以A表示和为6的事件，求P(A)；(2)现连玩三次，若以B表示甲至少赢一次的事件，C表示乙至少赢两次的事件，试问B与C是否为互斥事件？为什么？(3)这种游戏规则公平吗？试说明理由．【解】(1)甲、乙出手指都有5种可能，因此基本事件的总数为5×5＝25，事件A包括甲、乙出的手指的情况有(1,5)，(5,1)，(2,4)，(4,2)，(3,3)共5种情况，所以P(A)＝eq\f(5,25)＝eq\f(1,5).(2)B与C不是互斥事件．因为事件B与C可以同时发生，如甲赢一次，乙赢两次的事件即符合题意．(3)这种游戏规则不公平．由(1)知和为偶数的基本事件数为13个，即(1,1)，(1,3)，(1,5)，(2,2)，(2,4)，(3,1)，(3,3)，(3,5)，(4,2)，(4,4)，(5,1)，(5,3)，(5,5)．所以甲赢的概率为eq\f(13,25)，乙赢的概率为eq\f(12,25).所以这种游戏规则不公平．18．(本小题满分16分)先后2次抛掷一枚骰子，将得到的点数分别记为a，b.(1)求直线ax＋by＋5＝0与圆x2＋y2＝1相切的概率；(2)将a，b,5的值分别作为三条线段的长，求这三条线段能围成等腰三角形的概率．【解】先后2次抛掷一枚骰子，将得到的点数分别记为a，b，包含的基本事件有：(1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(1,6)，(2,1)，…，(6,5)，(6,6)，共36个．(1)∵直线ax＋by＋5＝0与圆x2＋y2＝1相切，∴eq\f(5,\r(a2＋b2))＝1，整理得a2＋b2＝25.由于a，b∈{1,2,3,4,5,6}，∴满足条件的情况只有a＝3，b＝4或a＝4，b＝3两种情况．∴直线ax＋by＋5＝0与圆x2＋y2＝1相切的概率是eq\f(2,36)＝eq\f(1,18).(2)∵三角形的一边长为5，三条线段围成等腰三角形，∴当a＝1时，b＝5，共1个基本事件；当a＝2时，b＝5，共1个基本事件；当a＝3时，b＝3,5，共2个基本事件；当a＝4时，b＝4,5，共2个基本事件；当a＝5时，b＝1,2,3,4,5,6，共6个基本事件；当a＝6时，b＝5,6，共2个基本事件．∴满足条件的基本事件共有1＋1＋2＋2＋6＋2＝14个．∴三条线段能围成等腰三角形的概率为eq\f(14,36)＝eq\f(7,18).19．(本小题满分16分)某公务员去外地开会，他乘火车、轮船、汽车、飞机去的概率分别是,,，，求：(1)他乘火车或乘飞机去的概率；(2)他不乘轮船去的概率．【解】设乘火车去开会为事件A，乘轮船去开会为事件B，乘汽车去开会为事件C，乘飞机去开会为事件D，则A，B，C，D彼此互斥且P(A)＝，P(B)＝，P(C)＝，P(D)＝.(1)P(A＋D)＝P(A)＋P(D)＝＋＝.(2)法一：设不乘轮船去开会为事件E，则P(E)＝P(A＋C＋D)＝P(A)＋P(C)＋P(D)＝＋＋＝.法二：E与B是对立事件，则P(E)＝1－P(B