高中数学人教B版第三章基本初等函数 高质作品学业分层测评22

学业分层测评(二十二)指数函数与对数函数的关系(建议用时：45分钟)[学业达标]一、选择题1.设f(x)＝3x＋9，则f－1(x)的定义域是()A.(0，＋∞) B.(9，＋∞)C.(10，＋∞) D.(－∞，＋∞)【解析】∵f(x)＝3x＋9>9，∴反函数的定义域为(9，＋∞)，故选B.【答案】B2.设a＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)))x，b＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)))x－1，c＝logeq\f(2,3)x，若x>1，则a，b，c的大小关系为()<b<c <c<a<a<b <a<c【解析】∵x>1，∴a＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)))x<eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)))1＝eq\f(2,3)，b＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)))x－1>eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)))0＝1，∴0<a<b，而y＝logeq\f(2,3)x是减函数，∴logeq\f(2,3)x<logeq\f(2,3)1＝0.∴c<a<b.故选C.【答案】C3.已知函数y＝ex的图象与函数y＝f(x)的图象关于直线y＝x对称，则()(2x)＝e2x(x∈R)(2x)＝ln2·lnx(x>0)(2x)＝2ex(x∈R)(2x)＝lnx＋ln2(x>0)【解析】由y＝ex得f(x)＝lnx，∴f(2x)＝ln2x＝ln2＋lnx(x>0).【答案】D4.函数y＝x＋2(x∈R)的反函数为()＝2－y ＝y－2＝2－x(x∈R) ＝x－2(x∈R)【解析】由y＝x＋2(x∈R)，得x＝y－2(x∈R).互换x，y，得y＝x－2(x∈R).【答案】D5.已知函数y＝log3(3－x)(0≤x<3)，则它的反函数是()＝3－3x(x≥0) ＝3＋3x(x≤1)＝3＋3x(x≥0) ＝3－3x(x≤1)【解析】由y＝log3(3－x)，得3－x＝3y，∴x＝3－3y，∴有f－1(x)＝3－3x，排除B、C，∵原函数中0≤x<3，∴0<3－x≤3，∴y＝log3(3－x)≤1，所以f－1(x)的定义域为x≤1，故选D.【答案】D二、填空题6.若函数f(x)的反函数为f－1(x)＝x2(x>0)，则f(4)＝________.【导学号：60210091】【解析】设f(4)＝b，则4＝f－1(b)＝b2且b>0，∴b＝2.【答案】27.已知函数y＝ax＋b的图象过点(1,4)，其反函数的图象过点(2,0)，则a＝________，b＝________.【解析】由函数y＝ax＋b的图象过点(1,4)，得a＋b＝4.由反函数的图象过点(2,0)，则原函数图象必过点(0,2)，得a0＋b＝2，因此a＝3，b＝1.【答案】318.设函数g(x)的图象与f(x)＝eq\f(2x＋1,4x＋3)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x∈R，且x≠－\f(3,4)))的图象关于直线y＝x对称，则g(2)的值等于________.【解析】∵g(x)的图象与f(x)＝eq\f(2x＋1,4x＋3)的图象关于直线y＝x对称，∴g(x)与f(x)互为反函数，由eq\f(2x＋1,4x＋3)＝2，解得x＝－eq\f(5,6)，∴g(2)＝－eq\f(5,6).【答案】－eq\f(5,6)三、解答题9.求函数y＝2x＋1(x<0)的反函数.【解】因为y＝2x＋1,0<2x<1，所以1<2x＋1<2.所以1<y<2.由2x＝y－1，得x＝log2(y－1).所以f－1(x)＝log2(x－1)(1<x<2).10.已知f(x)＝loga(ax－1)(a>0，且a≠1).(1)求f(x)的定义域；(2)讨论f(x)的单调性；(3)解方程f(2x)＝f－1(x).【解】(1)要使函数有意义，必须ax－1>0，当a>1时，x>0；当0<a<1时，x<0.∴当a>1时，f(x)的定义域为(0，＋∞)；当0<a<1时，f(x)的定义域为(－∞，0).(2)当a>1时，设0<x1<x2，则1<ax1<ax2，故0<ax1－1<ax2－1，∴loga(ax1－1)<loga(ax2－1)，∴f(x1)<f(x2).故当a>1时，f(x)在(0，＋∞)上是增函数；类似地，当0<a<1时，f(x)在(－∞，0)上为增函数.(3)令y＝loga(ax－1)，则ay＝ax－1，∴x＝loga(ay＋1).∴f－1(x)＝loga(ax＋1).由f(2x)＝f－1(x)，得loga(a2x－1)＝loga(ax＋1)，∴a2x－1＝ax＋1，解得ax＝2或ax＝－1(舍去)，∴x＝loga2.[能力提升]1.设a＝log32，b＝ln2，c＝5－eq\f(1,2)，则()＜b＜c ＜c＜a＜a＜b ＜b＜a【解析】a＝log32＝eq\f(1,log23)，b＝ln2＝eq\f(1,log2e)，而log23＞log2e＞1，所以a＜b.又c＝5－eq\f(1,2)＝eq\f(1,\r(5))，而eq\r(5)＞2＝log24＞log23，所以c＜a.综上知c＜a＜b.【答案】C2.设函数f(x)＝loga(x＋b)(a>0，且a≠1)的图象过点(2,1)，其反函数的图象过点(2,8)，则a＋b等于() 【解析】f(x)＝loga(x＋b)的反函数为f－1(x)＝ax－b，又f(x)过点(2,1)，∴f－1(x)过点(1,2)，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a－b＝2，,a2－b＝8，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(b＝1，,a＝3))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(b＝－4，,a＝－2，))又a>0，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝1，,b＝3，))∴a＋b＝4.【答案】B3.函数y＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋1，x<0，,ex，x≥0))的反函数是________.【导学号：60210092】【解析】当x<0时，y＝x＋1的反函数是y＝x－1，x<1；当x≥0时，y＝ex的反函数是y＝lnx，x≥1.故原函数的反函数为y＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x－1，x<1，,lnx，x≥1.))【答案】y＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x－1，x<1，,lnx，x≥1))4.设a>0，且a≠1，函数y＝ax2－2x＋3有最大值，求函数f(x)＝loga(3－2x)的单调区间.【解】设t＝x2－2x＋3＝(x－1)2＋2.当x∈R时，t有最小值，为2.∵y＝ax2－2x＋3有最大值，∴0<a<1.由f(x)＝loga(3－2x)，得其定义域为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－∞，\f(3,2))).设u(x)＝3－2x，x∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－∞，\f(3,2)))，则f(x)＝logau(x).∵u(x)＝3－2x在eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\a