8.4空间点、直线、平面之间的位置关系-【新教材】人教A版高中数学必修第二册同步讲义

8.4空间点、线、平之间的置关系知梳、平面的概念（1平面的定义几何里所说的“平面”是从课桌面、黑板面、海洋这样一些物体中抽象出来的．但是，几何里平面是无限延展的．平面的两个特点：①平；②无限延展性．点评：（2平面的画法．①水平放置的平面通常画成一个平行四边形；②它的锐角通常画成45°；③横边长等于其邻边长的．如果一个平面被另一个平面遮住，为增强立体感，把挡住的部分用虚线画出如图所示．（3平面的表示．下图所示的平面可表示为：①平面ABCD②平面AC③平面、空间点、直线、平面的位置关系及三种语言的转化文字语言表达点在线l上点在线l外

数学符号语言A∈lAl

图形表示

点A在面内

A∈点A在面外

Aα直线l在面α内

lα直线l在面α外

lα直线l，相于点A

＝A平面，β相于直线l

∩＝l、平面的基本性质公理公理公理

内容如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面

图形

符号A∈l∈，B∈lαA，C三点不共线存唯一的平面α，AB，C∈公理

如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线

Pα且Pβα∩＝l∈l

111111111、空111111111①从否有公共点的角度来分：②从否共面的角度来分：、异面直线（1定义：不同在任何一个平面内的两条直线叫做异面直线．（2画法：图形表示为如图所(通常用一个或两个平面)．、平行公理公理4)文字表述：平行于同一条直线的两条直线互相平行．这一性质叫做空间平行的传递性．符号表述：、等角定理

∥b∥

∥c空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补．如图，∥A，∥B，于∠BC两个角的方向相同，这两个角相等；对于∠C两个角的方向不同，这两个角互补，即＋∠B＝、直线和平面的位置关系位置关系

直线a在平面

直线在平面α外直线a与面交直与面行公共点符号

有无数个公共点a⊂

有且只有一个公共点∩

无公共点aα

表示图形表示、两个平面的位置关系位置关系两平面平行两平面相交

图示

表示法αβαβ

公共点个数有无数个(在一条直线上)知识典例题型一平面例

如图，四棱锥PABCD，AC

，M是的点，直线AM交面PBD于N，下列结论正确的是（）A

,N,

四点不共面

B．

M,

四点共面C．

ONM

三点共线

D．

,,O

三点共线【答案】D【分析】根据公理一、二、三逐一排除即可．【详解】直线AC与直线交于点，所以平面PCA与面PBD交点，所以必相交于直线，直线AM平面PAC内，点NAM故NPAC，，NPM

四点共面，所以A错．点

若与N共，则直线BD在面PAC内与题目矛盾，故B错．

M

为中点，所以

OM/

，

ONPA

，故

ONOM

，故C．故选．巩练下列说法正确的______.①平面的厚度是

；②经过一条直线和一个点确定一个平面；③两两相交且不共点的三条直线确定一个平面；④经过三点确定一个平面.【答案】③【分析】根据欧式几何四个公理，对四个说法逐一判断是否正.【详解】对于①，由于平面是可以无限延伸的，故①说法错.于②，这个必须在直线外，故②判断错对于③，由于三个交点各不相同，根据公理2可，③说法正.对于④，这三个点必须不在同一条直线上，故④断错.故本小题答案为：题型二异面线例

若a，b是异面直线b，c是异面直线，则ac的置关系为()A相交、平行或异面C．面

B．交或平行D．行异面【答案】A【分析】ac【详解】因为a，

b

是异面直线，

b

，是面直线，则，位置关如下图所示，满足题意的条件，图①中a，c相，图②中a，c行，图③中a，c是面直线.

故选：A巩练在正方体

BD中BD与C是）11A相交直线C．面直线

B．行直线D．交垂直的直线【答案】C【分析】根据异面直线的概念可判断出与B异面直.1【详解】由图形可知，故选：C.

与C1

不同在任何一个平面，这两条直线为异面直.题型三三点线例3

如下图E，，G，H分是空间四边形ABCD的边AB，，DA上点，且直线EH与线FG于点.求证：B，，O三共线．

证明要证三点共线，只需确定点在另两点确定的直线上即可．∵E∈，H∈AD，∴E∈平面ABD，∈平面，∴平面，∵EH∩FGO∴O∈平面同理O平面，即∈平面ABD平面BCD.又∵平∩面＝BD∴O，即B，D，O三共线．巩练在四面体

ABCD

中EH分是线段AD的中点F

分别是线段

CD

上的点

CFCGBFDG

证：（1）四边形

是梯形；（2），EF，GH三直线相交于同一点．【答案】（1）见证明；（2）证明【分析】（1）连结BD推导出∥且EH

，由此能证明四边形

EFGH

是梯形．（2）设

HGK

，则，KACD，由平面ABC

平面ACDAC，KAC，此能证明AC，EF，条直线相交于同一点．【详解】证明：（1）连结BD，∵E，H分是边AB，的点，

∴EH∥BD，且EHBD，CFCG1又∵，CBCD3∴∥BD且

BD

，因此EH且EHFG

，故四边形

是梯形．（2）由（），HG相交，设EFHGK

，∵KEF

，EF平面

，∴K

，同理K

ACD

，又平面

平面

ACDAC

，∴

K

，故EF和的点在直线上所以EF，GH三直线相交于同一点．题型四点线位置关系例

已知直线l，与面α，，，mβ，下列命题中正确的是（

）A若l∥，则必有∥C．l⊥β，则必有α⊥

B．l⊥，必有α⊥D．⊥，必有⊥【答案】C【分析】对各选项举出反例或者根据判定定理进行判断即可【详解】解：对于选项A，面α和面还可能相交，以选项A错；对于选项B，平面α和面β还可能相交或平行，所以选项错误；

对于选项，为lα，l⊥，合面面垂直的判定定理，所以⊥，以选项确；对于选项D，直线m可和平面α不直，所以选项D错误．故选：．巩练下列四个命题中正确的是（）①如一条直线不在某个平面内，那么这条直线就与这个平面平行；②过线外一点有无数个平面与这条直线平行；③过面外一点有无数条直线与这个平面平行；④过间一点必存在某个平面与两条异面直线都平行．A①④

B②③

C．②③

D．②④【答案】B【分析】①可由空间中直线与平面的位置关系判断；②③由直线与平面平行的性质判断；④可用排查法判断．【详解】空间中直线与平面的位置关系有相交，平行与直线在平面内①错误，直线还可能与平面相交②正确③正确因为平面外一点有无条直线与这个平面平行，且这无数条直线都在与这个平面平行的平面内．④不一定正确,当点在其中一条线上时，不存在平面与两条异面直线都平.故选B.巩提1、已知，是个相交平面，其中l，则（）Aβ内定能找到与lB．内一定能找到与l

平行的直线垂直的直线C．β有一条直线与l

平行，则该直线与α平行

D．β内有无数条直线与l【答案】B【分析】

垂直，则β与垂当l

与β的线交时内能找到与l

平行的直线由直线与平面的位关系知β内定能找到与l

垂直的直线；β内一条直线与l

平行，则该直线与α平或该直在α内；内有无数条直线与l

垂直，则β与α不定垂.【详解】由α，是个交平面，其中l，知：在，当l

与α，的线相交时，内能找到与l

平行的直线，故错；在，由直线与平面的位置关系知β内定能找到与l

垂直的直线，故正；在C中，内一条直线与l

平行，则该直线与α平或该直在内故错误；在中，有无数条直线与l

垂直，则β与α不定垂直，故D错．故选：B．2、下列说法中正确的是()A过一点有且只有一条直线与已知直线平行B过一点有且只有一条直线与已知直线垂直C．平面外一点有且只有一条直线与该平面平行D．平外一点有且只有一个平面与该平面平行【答案】D【分析】根据空间点、线、面间的位置关系进行判断，即可得出结【详解】解：对于A，当点在已知直线上时，不存在过该点的直线与已知直线平行，故A错对于，于垂直包括相交垂直和异面垂直，因而过一点与已知直线垂直的直线有无数条故B错；对于C，过面外一点与已知平面平行的直线有无数条，如过正方体的上底面的中心任意作一条直线（此直线在上底面内），此直线均与下底面平行，故C错对于，平面外一点与已知平面平行的平面有且只有一个，故D对故选：3、若直线不平行于平面且，下列结论成立的是)A平面内所有直线与a异B平面内存在与行的直线C．面内在唯一的直线与平D．面内直线与a都交

【答案】B【分析】由题意知直线与平面相，依次判断选项即.【详解】解由件知直线与面相，则平面内直线与a可相交，也可能异.故选:

不可能平行4、如图在三棱柱

ABC1

中，下列直线与成异面直线的是（）1A

1

BCC

C．

B1

D．【答案】C【分析】根据空间中直线与直线的位置关系判断出各选项中的直线与直线AA的位置关系，可得出结1【详解】由在三棱柱

AB中，，CC//AA，C与AA异面，11111

AB

故选：C.5、经过平面外一点和平面一点与平面垂的平面(A1个

B．2个

C．数个

D．个或无数个【答案】D【分析】讨论平面外点和平面内点连线，与平面垂和不垂直两种情【详解】（1设平面

ABCD

为平面，A为面外点，点

为平面内点，

a,a,此时，直线

1

垂直底面，过直线

1

的平面有无数多个与底面垂直；（2设平面

为平面，B为平面外一点，点为平面内点，此时，直线AB与底面不垂直，过直线的平面，只有平面1点与平面垂的平面有1个无数个，故选D.

11

垂直底.综上，过平面外一和平面内6、若平面和线a，b满

A，b，与b的位置关系一定是（）A相交

B平行

C．面

D．交异面【答案】D【分析】当

Ab

时与

b

相交，当

Ab

时a与

b

异面【详解】当时与相，当A时与b异.故答案为D7、下列说法正确的是（）A不共面的四点中，其中任意三点不共线B若点，B，CD共，点，BC，面，则A，B，，E共C．直线

，

b

共面，直线

，c共面，则直线

b

，c共D．次尾相接的四条线段必共面【答案】A【分析】利用反证法可知A正确线直线

异面时A,B,,

不共面除C中,可异面直线除C中条线段可构成空间四边形，排除D.【详解】A选项：若任意三点共线，则由该线与第四个点可构成一个平面，则与四点不共面矛盾，则任三点不共线，A确；选：若

BC

三点共线，直线直线异，此时

B,,E

不共面，B错；

选项：

a,b

共面，共面，此时

b,c

可为异面直线，

错误；

选：依次首尾相接的四条线段可构成空间四边形，D误本题正确选项：8、已知m是两不同的直线，是两个不同的平面，则下列命题中正确的()A若αβ,m

α,n

β，mn

B．⊥，

α,则⊥βC．⊥则m

D．α∥，，则mβ【答案】D【分析】Amn与nD

//

【详解】mA

/

m与A

与

mnn

D

/

m

/

DD9、设，是两条不同的线，，是两个不同的平面，给出下列四个命题：①如果//b//，那么/b

；②如果

/

a，，那么/b

；③如果a，么//

；④如果，a，么其中正确命题的序号是（）A①

B②

C．

D．【答案】C【分析】根据空间线面位置关系的定义、性质进行判.【详解】①如果//b//，则,b可相交、平行或异面，故错误；

②如果

/，

，则

a,b

没有公共点，所以

a,b

可以平行或异面，故错误；③如果a，/

，故正确；④如果，不妨

，