画法几何土木工程制图第二章直线

1画法几何及土木工程制图第二章直线（第五版）2目录§2-1直线的投影

§2-2直线上的点

§2-3直线的倾角和直线段的实长

§2-4各种位置直线的投影

§2-5两直线的相对位置

§2-6一边平行于投影面的直角的投影

§2-7直线的辅助投影3§2-1直线的投影

确定一直线只需要两个点，故画一直线的投影，只需知道直线上两点的投影，即可连成直线的投影。

直线的投影一般情形下仍为直线。点击2次4§2-2直线上的点

一、直线上的点

从属性：直线上的点其投影必在直线的同面投影上。定比性：直线线段上一点把线段分成两段，其长度之比，等于这两段在同一投影面上的投影长度之比。

ac∶cb=a'c'∶c'b'=a"c"∶c"b"=AC∶CB

点击2次5§2-2直线上的点

例2-1

已知线段EF的两投影，试在其上取一点K,使EK∶KF=3∶4。

解：

动画6§2-2直线上的点

二、直线的迹点

直线与投影面的交点称为直线的迹点。直线与H面的交点叫水平迹点，记作M;它与V面的交点叫正面迹点，记作N;它与W面的交点叫侧面迹点，记作S。根据直线与投影面的倾斜状态的不同，它可能有一个、两个、三个迹点。7§2-2直线上的点

迹点投影的两个特征：

（1）迹点在所属投影面上的投影就是迹点本身；（2）迹点的其他投影必在直线的相应投影与投影轴的相交处。

直线经过迹点到了投影面的另一侧，进到了另一分角或卦角。点击1次8§2-2直线上的点

直线在其两相邻迹点之间的部分，必处在同一分角或卦角内，这部分直线段上所有点的同名坐标值的正、负号相同。9§2-3直线的倾角和直线段的实长

一、倾角和实长

空间直线与某投影面的夹角，称为直线对该投影面的倾角，分别用α

、β、γ表示

。

直线段的真实长度称为实长，标为TL

。

直线的各投影与投影轴的夹角一般都不反映直线的倾角，各投影也不反映线段的实长。点击2次10§2-3直线的倾角和直线段的实长

二、直角三角形法

求任意倾斜直线段的实长和倾角的基本方法是直角三角形法。下图表示它的原理和作图过程。点击2次11§2-3直线的倾角和直线段的实长

例2-2

已知直线CD

的正面投影c'd'和点C

的水平投影c，且知直线CD

对H面的倾角α=30°，求作线段CD

的H

面投影。

解：

点击后自动演播12§2-4各种位置直线的投影

一、直线与投影面的相对位置

这里的“位置”是指直线在投影面体系中对于投影面的放置状态，并非指直线对投影面的远近、高低等线性度量关系。投影面平行线

投影面垂直线

一般位置直线（任意倾斜直线）铅垂线正垂线侧垂线

水平线正平线侧平线

点击3次13

投影面垂直线和投影平行线，统称为特殊位置直线。

§2-4各种位置直线的投影

投影面垂直线的投影特征:

在所垂直的投影面上积聚成一点，其他两个投影垂直于相应的投影轴，并且反映线段的实长。

二、各种类型直线的投影特征14

α=90°

M

有倾角

β=0°

迹点

N

无

γ=0°

S

无§2-4各种位置直线的投影铅垂线（⊥H）点击1次15

§2-4各种位置直线的投影正垂线（⊥V）

α=0°M

无倾角

β=90°迹点

N

有

γ=0°S

无点击1次16§2-4各种位置直线的投影

α=0°M

无倾角

β=0°迹点

N

无

γ=90°S

有侧垂线（⊥W）点击1次17§2-4各种位置直线的投影

在所平行的投影面上反映实长，并且反映与其他两个投影面的真实倾角，其他两个投影平行于相应的投影轴（同时垂直于第三条投影轴）。投影面平行线的投影特征：点击2次18

§2-4各种位置直线的投影a'b'∥OX轴，长度缩短ab倾斜，反映实长、β和γ角a"b"∥OYW轴，长度缩短投影特征水平线

（∥H）

α=0°M

无倾角

β有迹点

N

有

γ有

S

有点击1次19

投影特征

α有

M

有倾角

β=0°

迹点

N

无

γ有

S

有正平线

（∥V）a'b'

倾斜，反映实长、α和γ角ab

∥OX轴，长度缩短a"b"∥OZ轴，长度缩短§2-4各种位置直线的投影点击1次20§2-4各种位置直线的投影a'b'∥OZ轴，长度缩短ab∥OYH轴，长度缩短a"b"

倾斜，反映实长、α和β角投影特征侧平线

（∥W）

α有

M

有倾角

β=0°

迹点

N

有

γ有

S

无点击1次21§2-4各种位置直线的投影

三个投影都是缩短了的倾斜线段。任意倾斜直线的投影特征：22§2-5两直线的相对位置

直线的相对位置关系有三种情况：平行、相交、交错（交叉）。

点击3次平行相交交错23§2-5两直线的相对位置

空间平行的两直线，其所有的同面投影都各自保持平行关系。

反之，若三面体系中两直线的所有同面投影都各自保持平行关系，则空间两直线平行。

一、两直线平行点击1次24§2-5两直线的相对位置

只要有一组同面投影不平行，空间两直线就不平行。

注意：一般情况下，只要检查两组同面投影就能判断出两直线是否平行。对于平行于同一投影面的两直线，则需要求出它们在该投影面上的投影，或根据两直线共面、定比等关系才能进行判断。一对水平线必须有水平投影参与检查一对侧平线必须有侧面投影参与检查25§2-5两直线的相对位置

两直线相交，有一个共有点，即交点。所以各投影应相交，且交点是同一点的投影,故应符合点的投影规律。二、两直线相交

各投影都相交，投影的交点符合点的投影规律，所以AB与CD相交。虽然投影也相交，但投影的交点不符合点的投影规律，故EF和GH不相交。点击2次26§2-5两直线的相对位置例2-3

试判断两直线AB和CD是否相交。解：

各投影的交点不符合点的投影规律，所以两直线不相交。点击1次27§2-5两直线的相对位置

例2-4

已知平行两直线AB、CD，试作一直线KL与AB、CD都相交，且该直线距H面为10。

解：

点击后自动演播28§2-5两直线的相对位置

若两直线既不平行也不相交，那必然是交错两直线，也称交叉两直线，即异面直线。下面这些都是交错直线。

交错直线同面投影的交点是两直线上一对重影点的投影，对此重影需进行可见性判断。三、两直线交错29§2-5两直线的相对位置

例2-5

试判断交错两直线AB、CD之重影的可见性。

解：

已知点击后自动演播yⅡ＞yⅠ，所以2'可见，1'不可见。zⅣ>zⅢ，所以4可见，3不可见。30§2-6一边平行于投影面的直角的投影

当相交两直线平行于同一投影面时，则它们在该投影面上的投影，反映两直线夹角的真实大小。而当它们都是任意倾斜状态时，两直线间的夹角通常情况下不能在其投影上如实反映出来。

31§2-6一边平行于投影面的直角的投影

对于互相垂直的二直线，只要其中之一平行于某个投影面，那么，它们在那个投影面上的投影就反映垂直关系。逆定理也成立。

直角投影法则:点击1次32§2-6一边平行于投影面的直角的投影证明：AB∥H，∴

AB⊥Bb

又

AB⊥BC，∴

AB⊥BbcC又

ab∥AB，∴ab⊥BbcC,∴ab⊥bc即

∠abc=90°33§2-6一边平行于投影面的直角的投影

直角投影法则不仅适用于相交垂直的两直线，也适用于交错垂直的两直线。下面都是符合直角投影法则的投影图。34§2-6一边平行于投影面的直角的投影

例2-6

试补全矩形ABCD的两面投影图。

解：动画已知求解过程看动画35§2-6一边平行于投影面的直角的投影

例2-7

已知点A和水平线BC的投影，试求点A至直线BC的距离。

解：动画ΔΔ36§2-7直线的辅助投影

作辅助投影的目的：辅助投影或者它能表明形体的真实形状、大小，或者它能简化某些空间几何问题的求解。

为求直线的辅助投影，只需求出直线上两个点的辅助投影，将它们连接起来就得到了直线的辅助投影。

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在第一章里已经解决了点的辅助投影的求法，本章需要解决的问题是如何设置辅助投影面。设置辅助投影面的原则是：辅助投影面一定要垂直于原有两面体系中的一个投影面，且使辅助投影有利于解决预定的问题。辅助投影面的设置在投影图上表现为如何选择辅助投影轴。如何选择辅助投影轴才能使辅助投影满足解决问题的需要？下面就围绕这个目标举出一些例子。§2-7直线的辅助投影38§2-7

直线的辅助投影

例2-8

求任意倾斜线段AB

的实长及水平倾角α。

解：AB平行于V时其正面投影才能反映线段的实长和对H投影面的倾角，所以需要建立V1辅助投影面垂直于H并平行于AB，于是在投影图上就应为O1X1与ab平行。点击后自动演播TL39§2-7直线的辅助投影

例2-9

求点C到正平线AB的距离。

解：当AB的投影积聚成一点时，C到AB的距离可在投影图上直接量出。为此，应建立H1投影面使垂直于V和AB，投影图上就表现为作O1X1垂直于a'b'