高中数学苏教版1第3章导数及其应用3．3导数在研究函数中的应用第3章333

最大值与最小值1．能够区分极值与最值两个不同的概念．2．掌握用导数求函数的极值与最值的步骤，会求闭区间上函数的最大值与最小值．(重点、难点)[基础·初探]教材整理函数的最大值与最小值阅读教材P90例1以上部分，完成下列问题．1．函数的最大值与最小值如果在函数定义域I内存在x0，使得对任意的x∈I，总有f(x)≤f(x0)(f(x)≥f(x0))，则f(x0)为函数f(x)在定义域上的最大值(最小值)．2．求函数y＝f(x)在区间[a，b]上的最值的步骤第一步，求f(x)在区间(a，b)上的极值；第二步，将第一步中求得的极值与f(a)，f(b)比较，得到f(x)在区间[a，b]上的最大值与最小值．1．判断正误：(1)函数的最大值一定是函数的极大值．()(2)开区间上的单调连续函数无最值．()(3)函数f(x)在区间[a，b]上的最大值和最小值一定在两个端点处取得．()【解析】(1)×.反例：f(x)＝eq\f(1,3)x3－eq\f(3,2)x2＋2x＋1在[0,10]的最大值是f(10)，而不是其极大值f(1)．(2)√.因为函数是单调函数，故无极值，又因为是开区间，所以最值不可能在区间端点上取到，故正确．(3)×.反例：f(x)＝－x2在[－1,1]上的最大值为f(0)＝0，不在区间端点取得．【答案】(1)×(2)√(3)×2．已知函数y＝x3－x2－x，该函数在区间[0,3]上的最大值是________．【解析】y′＝3x2－2x－1，由y′＝0得3x2－2x－1＝0，得x1＝－eq\f(1,3)，x2＝1.∵f(0)＝0，f(1)＝－1，f(3)＝27－9－3＝15，∴该函数在[0,3]上的最大值为15.【答案】15[质疑·手记]预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流：疑问1：解惑：疑问2：解惑：疑问3：解惑：[小组合作型]求函数的最值求函数f(x)＝2x3－12x(x∈[－1,3])的最值．【精彩点拨】求f′(x)，研究f(x)在[－1,3]上的极值，并与f(－1)，f(3)比较确定最值．【自主解答】f′(x)＝6x2－12＝6(x2－2)＝6(x＋eq\r(2))(x－eq\r(2))．由f′(x)＝0得x＝－eq\r(2)或x＝eq\r(2).当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：x－1(－1，eq\r(2))eq\r(2)(eq\r(2)，3)3f′(x)－0＋f(x)10－8eq\r(2)18由上表知函数f(x)的最小值是－8eq\r(2)，最大值是18.求一个函数在闭区间上的最值，只需先求出函数在闭区间上的极值，然后比较极值与区间端点处的函数值的大小，其中最大的就是函数的最大值，最小的就是函数的最小值.[再练一题]1．求函数f(x)＝x(1－x2)，x∈[0,1]的最值．【导学号：24830088】【解】易知f′(x)＝1－3x2.令f′(x)＝1－3x2＝0，则x＝±eq\f(\r(3),3).当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：x0eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(\r(3),3)))eq\f(\r(3),3)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),3)，1))1f′(x)＋0－f(x)0↗eq\f(2,9)eq\r(3)↘0由上表知f(x)的最大值为eq\f(2\r(3),9)，最小值为0.含参数的函数最值问题a为常数，求函数f(x)＝－x3＋3ax(0≤x≤1)的最大值．【精彩点拨】此题是求函数在闭区间上的最值问题，要注意对参数a进行分类讨论．【自主解答】f′(x)＝－3x2＋3a＝－3(x2－a)．若a≤0，则f′(x)≤0，函数f(x)单调递减，所以当x＝0时，有最大值f(0)＝0.若a＞0，则令f′(x)＝0，解得x＝±eq\r(a).因为x∈[0,1]，所以只需考虑x＝eq\r(a)的情况．(1)0＜eq\r(a)＜1，即0＜a＜1时，当x＝eq\r(a)时，f(x)有最大值f(eq\r(a))＝2aeq\r(a).(如下表所示)x(0，eq\r(a))eq\r(a)(eq\r(a)，1)f′(x)＋0－f(x)↗2aeq\r(a)↙(2)eq\r(a)≥1时，即a≥1时，f′(x)≥0，函数f(x)在[0,1]上单调递增，当x＝1时，f(x)有最大值，f(1)＝3a－1.综上可知，当a≤0时，x＝0时，f(x)有最大值0.当0＜a＜1时，x＝eq\r(a)时，f(x)有最大值2aeq\r(a).当a≥1时，x＝1时，f(x)有最大值3a－1.求函数在闭区间上的最值时，如果含有参数，则应进行分类讨论，由于函数的最值只能在极值点或端点处取得，所以只需比较极值点和端点处的函数值的大小即可，最后再将讨论的情况进行合并整理.[再练一题]2．已知a∈R，函数f(x)＝eq\f(a,x)＋lnx－1，求f(x)在区间(0，e]上的最小值．【解】因为f(x)＝eq\f(a,x)＋lnx－1，所以f′(x)＝－eq\f(a,x2)＋eq\f(1,x)＝eq\f(x－a,x2)，x∈(0，＋∞)．令f′(x)＝0，得x＝a.①若a≤0，则f′(x)>0，f(x)在区间(0，e]上单调递增，此时函数f(x)无最小值．②若0<a<e，当x∈(0，a)时，f′(x)<0，函数f(x)在区间(0，a)上单调递减，当x∈(a，e]时，f′(x)>0，函数f(x)在区间(a，e]上单调递增，所以当x＝a时，函数f(x)取得最小值lna.③若a≥e，则当x∈(0，e]时，f′(x)≤0，函数f(x)在区间(0，e]上单调递减，所以当x＝e时，函数f(x)取得最小值eq\f(a,e).综上可知，当a≤0时，函数f(x)在区间(0，e]上无最小值；当0<a<e时，函数f(x)在区间(0，e]上的最小值为lna；当a≥e时，函数f(x)在区间(0，e]上的最小值为eq\f(a,e).[探究共研型]由函数的最值求参数的值(范围)探究1(1)若对任意的x∈[1,2]，都有a≥x成立，则实数a的取值范围是什么？(2)若对任意的x∈[1,2]，都有a≤x成立，则实数a的取值范围是什么？【提示】(1)a≥2(2)a≤1.探究2(1)若存在x∈[1,2]，使a≥x成立，实数a的取值范围是什么？(2)若存在x∈[1,2]，使a≤x成立，实数a的取值范围是什么？【提示】(1)a≥1(2)a≤2.探究3已知函数y＝f(x)，x∈[m，n]的最大值为ymax，最小值为ymin，(1)若对任意的x∈[m，n]，都有a≥f(x)成立，实数a的取值范围是什么？(2)若对任意的x∈[m，n]，都有a≤f(x)成立，实数a的取值范围是什么？【提示】(1)a≥ymax(2)a≤ymin探究4已知函数y＝f(x)，x∈[m，n]的最大值为ymax，最小值为ymin，(1)若存在x∈[m，n]，使a≥f(x)成立，实数a的取值范围是什么？(2)若存在x∈[m，n]，使a≤f(x)成立，实数a的取值范围是什么？【提示】(1)a≥ymin(2)a≤ymax已知f(x)＝xlnx，g(x)＝－x2＋ax－3，对一切x∈(0，＋∞)，2f(x)≥g(x)恒成立，求实数a的取值范围；【精彩点拨】把a分离出来，转化为求函数的最值问题．【自主解答】由题意知2xlnx≥－x2＋ax－3对一切x∈(0，＋∞)上恒成立，则a≤2lnx＋x＋eq\f(3,x)，设h(x)＝2lnx＋x＋eq\f(3,x)(x＞0)，则h′(x)＝x2＋2x－3.当x∈(0,1)时，h′(x)<0，h(x)单调递减，当x∈(1，＋∞)时，h′(x)＞0，h(x)单调递增，所以h(x)min＝h(1)＝4，对一切x∈(0，＋∞)，2f(x)≥g(x)恒成立，所以a≤h(x)min＝4.即实数a的取值范围是(－∞，4]1．“恒成立”问题向最值问题转化是一种常见的题型，一般地，可采用分离参数法进行转化．λ≥f(x)恒成立⇔λ≥[f(x)]max；λ≤f(x)恒成立⇔λ≤[f(x)]min.对于不能分离参数的恒成立问题，直接求含参函数的最值即可．2．此类问题特别要小心“最值能否取得到”和“不等式中是否含等号”的情况，以此来确定参数的范围能否取得“＝”．[再练一题]3．已知f(x)＝lnx－x＋a＋1，若存在x∈(0，＋∞)使得f(x)≥0成立，求a的取值范围．【解】原题即为存在x>0使得lnx－x＋a＋1≥0，∴a≥－lnx＋x－1，令g(x)＝－lnx＋x－1，则g′(x)＝－eq\f(1,x)＋1＝eq\f(x－1,x).令g′(x)＝0，解得x＝1.∵当0＜x＜1时，g′(x)＜0，g(x)为减函数，当x＞1时，g′(x)＞0，g(x)为增函数，∴g(x)min＝g(1)＝0，a≥g(1)＝0，故a的取值范围是[0，＋∞)．[构建·体系]1．函数f(x)＝x3－12x＋8(－3≤x≤3)的值域是________．【解析】令f′(x)＝3x2－12＝0，得x＝±2，而f(3)＝－1，f(－3)＝17，f(2)＝－8，f(－2)＝24，则f(x)max＝24，f(x)min＝－8.【答案】[－8,24]2．设函数g(x)＝x(x2－1)，则g(x)在区间[0,1]上的最小值为________．【解析】g(x)＝x3－x，由g′(x)＝3x2－1＝0，解得x1＝eq\f(\r(3),3)，x2＝－eq\f(\r(3),3)(舍去)．当x变化时，g′(x)与g(x)的变化情况如下表：x0eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(\r(3),3)))eq\f(\r(3),3)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),3)，1))1g′(x)－0＋g(x)0单调递减极小值单调递增0所以当x＝eq\f(\r(3),3)时，g(x)有最小值geq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),3)))＝－eq\f(6\r(3),9).【答案】－eq\f(6\r(3),9)3．函数y＝eq\f(lnx,x)(x＞0)的最大值为________．【解析】y′＝eq\f(lnx′x－lnx·x′,x2)＝eq\f(1－lnx,x2)＝0，x＝e，当x＞e时，y′＜0；当0＜x＜e时，y′＞0，y极大值＝f(e)＝eq\f(1,e)，在定义域内只有一个极值，所以ymax＝eq\f(1,e).【答案】eq\f(1,e)4．函数f(x)＝x3－x2－x＋a在区间[0,2]上的最大值是3，则a的值为________.【导学号：24830089】【解析】f′(x)＝3x2－2x－1，令f′(x)＝0，解得x＝－eq\f(1,3)(舍去)或x＝1，又f(0)＝a，f(1)＝a－1，f(2)＝a＋2，则f(2)最大，即a＋2＝3，所以a＝1.【答案】15．已知函数f(x)＝lnx－x＋a，x∈(0，e]，若f(x)≤0恒成立，求实数a的取值范围．【解析】由f(x)＝lnx－x＋a得f′(x)＝eq\f(1,x)－1＝eq\f(1－x,x).当x∈(0,1)时，f′(x)＞0，f(x)递增；当x∈(1，e]时，f′(x)＜0，f(x)递减．∴当x＝1时，函数取得最大值f(1)＝－1＋a，据题意可得－1＋a≤0，所以a≤1，即实数a的取值范围是(－∞，