高中数学人教A版1第一章常用逻辑用语命题及其关系 模块综合测评b

模块综合测评(B)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．6名同学安排到3个社区A，B，C参加志愿者服务，每个社区安排两名同学，其中甲同学必须到A社区，乙和丙同学均不能到C社区，则不同的安排方法种数为()A．12 B．9C．6 D．5解析：从甲、乙、丙以外的3人中选2人到C社区，共Ceq\o\al(2,3)种，剩余的4人中除去甲后任选一人到A社区共Ceq\o\al(1,3)种，剩余2人到B社区，共有Ceq\o\al(2,3)·Ceq\o\al(1,3)＝9种．答案：B2．在一段时间内，甲去某地的概率是eq\f(1,4)，乙去此地的概率是eq\f(1,5)，假定两人的行动相互之间没有影响，那么在这段时间内至少有1人去此地的概率是()\f(2,5) \f(1,5)\f(3,20) \f(9,20)解析：甲不去某地的概率是eq\f(3,4)，乙不去此地的概率是eq\f(4,5)，则在这段时间内至少有1人去此地的概率是1－eq\f(3,4)×eq\f(4,5)＝eq\f(2,5).答案：A3．方程：3Ceq\o\al(x－7,x－3)＝5Aeq\o\al(2,x－4)的根为()A．8 B．9C．10 D．11解析：原方程可化为eq\f(3x－3！,x－7！4！)＝eq\f(5x－4！,x－6！)，整理得x2－9x－22＝0，所以x1＝11，x2＝－2.经检验，x＝11是方程的根，x＝－2是方程的增根．所以原方程的解是x＝11.答案：D4．(1＋x)7的展开式中x2的系数是()A．42 B．35C．28 D．21解析：利用二项展开式的通项求解．∵Tr＋1＝Ceq\o\al(r,7)·17－r·xr＝Ceq\o\al(r,7)·xr，令r＝2，则T3＝Ceq\o\al(2,7)x2，即展开式中x2的系数为Ceq\o\al(2,7)＝21.答案：D5．下表提供了某厂节能降耗技术改造后，在生产A产品过程中记录的产量x(吨)与相应的生产能耗y(吨)的几组对应数据：x3456yt4根据上表提供的数据，求出y关于x的线性回归方程为eq\o(y,\s\up6(∧))＝＋，那么表中t的值为()A．3 B．C． D．解析：eq\x\to(x)＝eq\f(3＋4＋5＋6,4)＝eq\f(9,2)，eq\x\to(y)＝eq\f＋t＋4＋,4)＝eq\f(11＋t,4)，又∵样本点中点(eq\x\to(x)，eq\x\to(y))在回归方程上，∴eq\f(11＋t,4)＝×eq\f(9,2)＋，解得t＝3.答案：A6．抛掷一枚质地均匀的骰子，所得点数的样本空间为S＝{1,2,3,4,5,6}．令事件A＝{2,3,5}，事件B＝{1,2,4,5,6}，则P(A|B)的值为()\f(3,5) \f(1,2)\f(2,5) \f(1,5)解析：P(A|B)＝eq\f(nAB,nB)＝eq\f(2,5).答案：C7．已知两个随机变量X，Y，且X＋Y＝8，若X～B(10,，则E(X)和D(Y)分别为()A．2和 B．6和C．2和 D．6和解析：由X～B(10,，易得E(X)＝np＝6，D(X)＝np(1－p)＝.又X＋Y＝8，则Y＝8－X，所以D(Y)＝D(8－X)＝D(X)＝.答案：B8．方程ay＝b2x2＋c中的a，b，c∈{－3，－2,0,1,2,3}，且a，b，c互不相同，在所有这些方程所表示的曲线中，不同的抛物线共有()A．60条 B．62条C．71条 D．80条解析：利用计数原理结合分类讨论思想求解．当a＝1时，若c＝0，则b2有4,9两个取值，共2条抛物线；若c≠0，则c有4种取值，b2有两种，共有2×4＝8(条)抛物线；当a＝2时，若c＝0，b2取1,4,9三种取值，共有3条抛物线；若c≠0，c取1时，b2有2个取值，共有2条抛物线，c取－2时，b2有2个取值，共有2条抛物线，c取3时，b2有3个取值，共有3条抛物线，c取－3时，b2有3个取值，共有3条抛物线，∴共有3＋2＋2＋3＋3＝13(条)抛物线．同理，a＝－2，－3,3时，共有抛物线3×13＝39(条)．由分类加法计数原理知，共有抛物线39＋13＋8＋2＝62(条)．答案：B9．为了调查西瓜爆炸与使用膨大剂的关系，调查人员得到了如下表的数据使用膨大剂未使用膨大剂合计爆炸瓜3598133没爆炸瓜71203274合计106301407根据以上数据，则()A．西瓜爆炸与是否使用膨大剂有关B．西瓜爆炸与是否使用膨大剂无关C．西瓜是否使用膨大剂决定是否爆炸D．以上都是错误的解析：依题中数据计算得k＝eq\f(407×35×203－98×712,133×274×106×301)≈，因为k＝＜，所以西瓜爆炸与是否使用膨大剂无关．答案：B10．袋中有4只红球，3只黑球，从袋中任取4只球，取到1只红球得1分，取到1只黑球得3分，设得分为随机变量X，则P(X≤7)的值为()\f(11,30) \f(13,35)\f(16,35) \f(7,26)解析：4只球中黑球个数可能为0,1,2,3，相应得分依次为4,6,8,(X≤7)＝P(X＝4)＋P(X＝6)＝eq\f(C\o\al(4,4),C\o\al(4,7))＋eq\f(C\o\al(3,4)C\o\al(1,3),C\o\al(4,7))＝eq\f(1,35)＋eq\f(12,35)＝eq\f(13,35).答案：B11.某次我市高二教学质量检测中，甲、乙、丙三科考试成绩的直方图如图所示(由于人数众多，成绩分布的直方图可视为正态分布)，则由如图曲线可得下列说法中正确的是()A．甲科总体的标准差最小B．丙科总体的平均数最小C．乙科总体的标准差及平均数都居中D．甲、乙、丙的总体的平均数不相同解析：由图形可知μ甲＝μ乙＝μ丙，可知甲、乙、丙的总体的平均数相同；由σ甲＜σ乙＜σ丙可知甲科总体的标准差最小．答案：A12．设(1－2x)10＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a10x10，则a1＋eq\f(a2,2)＋eq\f(a3,22)＋…＋eq\f(a10,29)的值为()A．2 B．2046C．2043 D．－2解析：令x＝0得a0＝1；令x＝eq\f(1,2)得a0＋eq\f(a1,2)＋eq\f(a2,22)＋…＋eq\f(a10,210)＝0，所以a1＋eq\f(a2,2)＋eq\f(a3,22)＋…＋eq\f(a10,29)＝－2a0＝－2.答案：D二、填空题(本大题共4小题，每小题4分，共16分．请把正确的答案填在题中的横线上)13．乒乓球队的10名队员中有3名主力队员，要派5名队员参加比赛，其中3名主力队员安排在第一、第三、第五位置，其余7名队员选2名安排在第二、第四位置，那么不同的出场安排共有________种．(用数字作答)解析：3名主力队员安排在第一、第三、第五位置，有Aeq\o\al(3,3)种排法，其余7名队员选2名安排在第二、第四位置，有Aeq\o\al(2,7)种排法．那么不同的排法共有Aeq\o\al(3,3)Aeq\o\al(2,7)＝252种．答案：25214．(a＋x)4的展开式中x3的系数等于8，则实数a＝________.解析：(a＋x)4的展开式中的通项Tr＋1＝Ceq\o\al(r,4)a4－rxr，当r＝3时，有Ceq\o\al(3,4)·a＝8，所以a＝2.答案：215．某一部件由三个电子元件按如图所示方式连接而成，元件1或元件2正常工作，且元件3正常工作，则部件正常工作．设三个电子元件的使用寿命(单位：小时)均服从正态分布N(1000,502)，且各个元件能否正常工作相互独立，那么该部件的使用寿命超过1000小时的概率为________．解析：利用独立事件和对立事件的概率公式求解．设元件1,2,3的使用寿命超过1000小时的事件分别记为A，B，C，显然P(A)＝P(B)＝P(C)＝eq\f(1,2)，∴该部件的使用寿命超过1000小时的事件为(Aeq\x\to(B)＋eq\x\to(A)B＋AB)C，∴该部件的使用寿命超过1000小时的概率P＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)×\f(1,2)＋\f(1,2)×\f(1,2)＋\f(1,2)×\f(1,2)))×eq\f(1,2)＝eq\f(3,8).答案：eq\f(3,8)16．下列说法：①将一组数据中的每个数据都加上或减去同一个常数后，方差恒不变；②设有一个回归方程eq\o(y,\s\up6(∧))＝3－5x，变量x增加一个单位时，y平均增加5个单位；③线性回归方程eq\o(y,\s\up6(∧))＝eq\o(b,\s\up6(∧))x＋eq\o(a,\s\up6(∧))必过(eq\x\to(x)，eq\x\to(y))；④曲线上的点与该点的坐标之间具有相关关系；⑤在一个2×2列联表中，由计算得K2＝，则其两个变量之间有关系的可能性是90%.其中错误的是________．解析：由方差的性质知①正确；由线性回归方程的特点知③正确；②④⑤均错误．答案：②④⑤三、解答题(本大题共6个小题，共74分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17．(本小题满分12分)已知eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x2－\f(1,x)))n展开式中的二项式系数的和比(3a＋2b)7展开式的二项式系数的和大128，求eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x2－\f(1,x)))n展开式中的系数最大的项和系数最小的项．解析：由题意知2n－27＝128，所以n＝8，eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x2－\f(1,x)))8的通项Tr＋1＝Ceq\o\al(r,8)(x2)8－req\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,x)))r＝(－1)rCeq\o\al(r,8)x16－3r.当r＝4时，展开式中的项的系数最大，即T5＝70x4.当r＝3或5时，展开式中的项的系数最小，即T4＝－56x7，T6＝－56x.18．(本小题满分12分)为了考察某种新药的副作用，给50位患者服用此新药，另外50位患者服用安慰剂(一种和新药外形完全相同，但无任何药效的东西)，得到如下观测数据：副作用药物有无总计新药153550安慰剂44650总计1981100由以上数据，你认为服用新药会产生副作用吗？解析：由表中数据得K2的观测值k＝eq\f(100×15×46－35×42,50×50×19×81)≈.因为＞，所以在犯错的概率不超过的前提下认为新药会产生副作用．19．(本小题满分12分)甲、乙两人轮流投篮，每人每次投一球．约定甲先投且先投中者获胜，一直到有人获胜或每人都已投球3次时投篮结束．设甲每次投篮投中的概率为eq\f(1,3)，乙每次投篮投中的概率为eq\f(1,2)，且各次投篮互不影响．(1)求乙获胜的概率；(2)求投篮结束时乙只投了2个球的概率．解析：设Ak，Bk分别表示甲、乙在第k次投篮投中，则P(Ak)＝eq\f(1,3)，P(Bk)＝eq\f(1,2)(k＝1,2,3)．(1)记“乙获胜”为事件C，由互斥事件有一个发生的概率与相互独立事件同时发生的概率计算公式知P(C)＝P(eq\x\to(A1)B1)＋P(eq\x\to(A1)eq\x\to(B1)eq\x\to(A2)B2)＋P(eq\x\to(A1)eq\x\to(B1)eq\x\to(A2)eq\x\to(B2)eq\x\to(A3)B3)＝P(eq\x\to(A1))P(B1)＋P(eq\x\to(A1))P(eq\x\to(B1))P(eq\x\to(A2))P(B2)＋P(eq\x\to(A1))P(eq\x\to(B1))P(eq\x\to(A2))P(eq\x\to(B2))P(eq\x\to(A3))P(B3)＝eq\f(2,3)×eq\f(1,2)＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)))2×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))2＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)))3×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))3＝eq\f(13,27).(2)记“投篮结束时乙只投了2个球”为事件D，则由互斥事件有一个发生的概率与相互独立事件同时发生的概率计算公式知P(D)＝P(eq\x\to(A1)eq\x\to(B1)eq\x\to(A2)B2)＋P(eq\x\to(A1)eq\x\to(B1)eq\x\to(A2)eq\x\to(B2)A3)＝P(eq\x\to(A1))P(eq\x\to(B1))P(eq\x\to(A2))P(B2)＋P(eq\x\to(A1))P(eq\x\to(B1))P(eq\x\to(A2))P(eq\x\to(B2))P(A3)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)))2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))2＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)))2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))2×eq\f(1,3)＝eq\f(4,27).20．(本小题满分12分)有一台机床可以按各种不同的速度运转，其加工的零件有一些是二级品，每小时生产的二级品零件的数量随机床运转的速度而变化．下面是试验的结果：机床运转速度(转/秒)每小时生产二级品数量(个)851281491611(1)作出散点图；(2)求出机床运转的速度x与每小时生产二级品数量y的回归直线方程；(3)若实际生产中所允许的二级品不超过10个，那么机床的运转速度不得超过多少转/秒？解析：(1)散点图如下图所示：(2)易求得eq\x\to(x)＝，eq\x\to(y)＝，∴eq\o(b,\s\up6(∧))＝eq\f(\i\su(i＝1,4,x)iyi－4\x\to(x)\x\to(y),\i\su(i＝1,4,x)\o\al(2,i)－4\x\to(x)2)≈6，eq\o(a,\s\up6(∧))＝eq\x\to(y)－eq\o(b,\s\up6(∧))eq\x\to(x)＝－5，即所求回归直线的方程为：eq\o(y,\s\up6(∧))＝6x－5.(3)根据公式，要使eq\o(y,\s\up6(∧))≤10，只要6x－5≤10，解得x≤9，即机床的运转速度不能超过9转/秒．21．(本小题满分13分)某银行柜台设有一个服务窗口，假设顾客办理业务所需的时间互相独立，且都是整数分钟，对以往顾客办理业务所需的时间统计结果如下：办理业务所需的时间(分)12345频率从第一个顾客开始办理业务时计时．(1)估计第三个顾客恰好等待4分钟开始办理业务的概率；(2)X表示至第2分钟末已办理完业务的顾客人数，求X的分布列及数学期望．解析：设Y表示顾客办理业务所需的时间，用频率估计概率，得Y的分布列如下：Y12345P(1)A表示事件“第三个顾客恰好等待4分钟开始办理业务”，则事件A对应三种情形：①第一个顾客办理业务所需的时间为1分钟，且第二个顾客办理业务所需的时间为3分钟；②第一个顾客办理业务所需的时间为3分钟，且第二个顾客办理业务所需的时间为1分钟；③第一个、第二个顾客办理业务所需的时间均为2分钟．所以P(A)＝P(Y＝1)P(Y＝3)＋P(Y＝3)P(Y＝1)＋P(Y＝2)P(Y＝2)＝×＋×＋×＝.(2)方法一：X所有可能的取值为0,1,2.X＝0对应第一个顾客办理业务所需的时间超过2分钟．所以P(X＝0)＝P(Y＞2)＝；X＝1对应第一个顾客办理业务所需的时间为1分钟且第二个顾客办理业务所需的时间超过1分钟，或第一个顾客办理业务所需的时间为2分钟，所以P(X＝1)＝P(Y＝1)P(Y＞1)＋P(Y＝2)＝×＋＝；X＝2对应两个顾客办理业务所需的时间均为1分钟，所以P(X＝2)＝P(Y＝1)P(Y＝1)＝×＝.所以X的分布列为：X012PE(X)＝0×＋1×＋2×＝.方法二：X所有可能的取值为0,1,2.X＝0对应第一个顾客办理业务所需的时间超过2分钟，所以P(X＝0)＝P(Y＞2)＝；X＝2对应两个顾客办理业务所需的时间均为1分钟，所以P(X＝2)＝P(Y＝1)P(Y＝1)＝×＝；P(X＝1)＝1－P(X＝0)－P(X＝2)＝.所以X的分布列为：X012PE(X)＝0×＋1×＋2×＝.22．(本小题满分13分)(2023·福建卷)某工厂有25周岁以上(含25周岁)工人300名，25周岁以下工人200名．为研究工人的日平均生产量是否与年龄有关，现采用分层抽样的方法，从中抽取了100名工人，先统计了他们某月的日平均生产件数，然后按工人年龄在“25周岁以上(含25周岁)”和“25周岁以下”分为两组，再将两组工人的日平均生产件数分成5组：[50,60)，[60,70)，[70,80)，[80,90)，[90,100]分别加以统计，得到如图所示的频率分布直方图．(1)从样本中日平均生产件数不足60件的工人中随机抽取2人，求至少抽到1