高中物理教科版第三章万有引力定律 第3章万有引力定律的应用

3．万有引力定律的应用学习目标知识脉络1.掌握解决天体运动问题的基本思路．(重点)2．会灵活计算天体的质量和密度．(重点)3．了解万有引力定律在天文学上的重要应用.万有引力定律对天文学的作用[先填空]1．预言彗星回归1743年，克雷洛预言哈雷彗星于1759年4月份经过近日点得到了证实，1986年此彗星又一次临近地球，下一次来访将是2062年．2．预言未知星体根据已发现的天体的运行轨道结合万有引力定律推算出未知星体的轨道，如海王星、冥王星就是这样发现的．[再判断]1．海王星、冥王星的发现表明了万有引力理论在太阳系内的正确性．(√)2．天王星是人们依据万有引力定律计算的轨道发现的．(×)3．科学家在观测双星系统时，同样可以用万有引力定律来分析．(√)[后思考]航天员翟志刚走出“神舟七号”飞船进行舱外活动时，要分析其运动状态，牛顿定律还适用吗？【提示】适用．牛顿将牛顿定律与万有引力定律综合，成功分析了天体运动问题．牛顿定律对物体在地面上的运动以及天体的运动都是适用的．[合作探讨]1846年9月23日晚，德国的伽勒发现了海王星．探讨：你知道海王星是如何发现的吗？【提示】根据天王星的“出轨”现象，法国的勒维耶和英国的亚当斯根据万有引力定律经过计算，预言了新行星的存在，伽勒在他们预言的位置发现了这颗新行星——海王星．[核心点击]万有引力定律对天文学的发展起到了非常大的推动作用，根据万有引力定律可以计算天体的轨道、周期、质量和位置等，万有引力定律的发现，给天文学的研究开辟了一条新的道路．1．下列说法正确的是()A．海王星是人们直接应用万有引力定律计算出轨道而发现的B．天王星是人们依据万有引力定律计算出轨道而发现的C．海王星是人们经过长期的太空观测而发现的D．天王星的运行轨道与由万有引力定律计算的轨道存在偏差，其原因是天王星受到轨道外的行星的引力作用，由此人们发现了海王星【解析】由行星的发现历史可知，天王星并不是根据万有引力定律计算出轨道而发现的；海王星不是通过观测发现，也不是直接由万有引力定律计算出轨道而发现的，而是人们发现天王星的实际轨道与理论轨道存在偏差，然后运用万有引力定律计算出“新”星的轨道，从而发现了海王星．由此可知，A、B、C错误，D正确．【答案】D2．科学家们推测，太阳系内除八大行星之外还有另一颗行星就在地球的轨道上，从地球上看，它永远在太阳的背面，人类一直未能发现它，可以说是“隐居”着的地球的“孪生兄弟”．由以上信息可以确定()A．这颗行星的公转周期与地球相等B．这颗行星的半径等于地球的半径C．这颗行星的密度等于地球的密度D．这颗行星上同样存在着生命【解析】因只知道这颗行星的轨道半径，所以只能判断出其公转周期与地球的公转周期相等．由Geq\f(Mm,r2)＝meq\f(v2,r)可知，行星的质量在方程两边可以消去，因此无法知道其密度．【答案】A计算天体质量[先填空]1．地球质量的计算利用地球表面的物体：若不考虑地球自转，质量为m的物体的重力等于地球对物体的万有引力，即mg＝Geq\f(Mm,R2)，则M＝eq\f(gR2,G)，只要知道g、R的值，就可计算出地球的质量．2．太阳质量的计算利用某一行星：质量为m的行星绕太阳做匀速圆周运动，行星与太阳间的万有引力充当向心力，即Geq\f(Msm,r2)＝eq\f(4π2mr,T2)，由此可得太阳质量Ms＝eq\f(4π2r3,GT2)，由此式可知只要测出行星绕太阳运动的公转周期T和距离r就可以计算出太阳的质量．[再判断]1．地球表面的物体，重力就是物体所受的万有引力．(×)2．绕行星匀速转动的卫星，万有引力提供向心力．(√)3．利用地球绕太阳转动，可求地球的质量．(×)[后思考]若已知月球绕地球转动的周期T和半径r，由此可以求出地球的质量吗？能否求出月球的质量呢？图3­3­1【提示】能求出地球的质量．利用Geq\f(Mm,r2)＝meq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2π,T)))2r，求出的质量M＝eq\f(4π2r3,GT2)为中心天体的质量．做圆周运动的月球的质量m在等式中已消掉，所以根据月球的周期T、公转半径r，无法计算月球的质量．[合作探讨]1969年7月21日，美国宇航员阿姆斯特朗在月球上烙下了人类第一只脚印(如图3­3­2所示)，迈出了人类征服宇宙的一大步．图3­3­2探讨1：宇航员在月球上用弹簧秤测出质量为m的物体重力为F.怎样利用这个条件估测月球的质量？【提示】设月球质量为M，半径为R，则F＝Geq\f(Mm,R2)，故M＝eq\f(FR2,Gm).探讨2：宇航员驾驶指令舱绕月球表面飞行一周的时间为T，怎样利用这个条件估测月球质量？【提示】设月球质量为M，半径为R，由万有引力提供向心力，Geq\f(Mm,R2)＝meq\f(4π2,T2)R，M＝eq\f(4π2R3,GT2).[核心点击]1．计算地球质量的两种方法(1)若已知地球的半径R和地球表面的重力加速度g，根据物体的重力近似等于地球对物体的引力，得mg＝Geq\f(M地m,R2)解得地球质量为M地＝eq\f(R2g,G).(2)若已知月球绕地球做匀速圆周运动的周期为T，半径为r，根据万有引力等于向心力，即eq\f(GM地m月,r2)＝m月eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2π,T)))2r可求得地球质量M地＝eq\f(4π2r3,GT2).2．计算天体的密度若天体的半径为R，则天体的密度ρ＝eq\f(M,\f(4,3)πR3)将M＝eq\f(4π2r3,GT2)代入上式得ρ＝eq\f(3πr3,GT2R3).特别地，当卫星环绕天体表面运动时，其轨道半径r等于天体半径R，则ρ＝eq\f(3π,GT2).3．据报道，最近在太阳系外发现了首颗“宜居”行星，其质量约为地球质量的倍，一个在地球表面重量为600N的人在这个行星表面的重量将变为960N．由此可推知，该行星的半径与地球半径之比约为()A． B．2C． D．4【解析】在忽略地球自转的情况下，万有引力等于物体的重力．即G地＝Geq\f(M地m,R\o\al(2,地))，同样在行星表面有G行＝Geq\f(M行m,R\o\al(2,行))，以上二式相比可得eq\f(G地,G行)＝eq\f(M地,R\o\al(2,地))×eq\f(R\o\al(2,行),M行)＝eq\f(1,×eq\f(R\o\al(2,行),R\o\al(2,地))，eq\f(R行,R地)＝eq\r(\f×600,1×960))＝2.故该行星的半径与地球的半径之比约为2故选B.【答案】B4．若有一艘宇宙飞船在某一行星表面做匀速圆周运动，设其周期为T，引力常量为G，那么该行星的平均密度为()【导学号：67120239】\f(GT2,3π) B．eq\f(3π,GT2)\r(\f(GT2,4π)) D．eq\r(\f(4π,GT2))【解析】设飞船的质量为m，它做圆周运动的半径为行星半径R，则Geq\f(Mm,R2)＝m(eq\f(2π,T))2R，所以行星的质量为M＝eq\f(4π2R3,GT2)，行星的平均密度ρ＝eq\f(M,\f(4,3)πR3)＝eq\f(\f(4π2R3,GT2),\f(4,3)πR3)＝eq\f(3π,GT2)，B项正确．【答案】B5．火星绕太阳的运动可看作匀速圆周运动，火星与太阳间的引力提供火星运动的向心力，已知火星运行的轨道半径为r，运行周期为T，引力常量为G，试写出太阳质量的表达式．【解析】设太阳质量为M，火星的质量为m火星与太阳间的引力提供向心力，则有eq\f(GMm,r2)＝eq\f(mv2,r)，v＝eq\f(2πr,T).两式联立得M＝eq\f(4π2r3,GT2).【答案】eq\f(4π2r3,GT2)1．计算天体质量的方法不仅适用于地球，也适用于其他任何星体．注意方法的拓展应用．明确计算出的是中心天体的质量．2．要注意R、r的区分．R指中心天体的半径，r指行星或卫星的轨道半径．以地球为例，若绕近地轨道运行，则有R＝r.学业分层测评(九)(建议用时：45分钟)[学业达标]1．一卫星绕某一行星表面附近做匀速圆周运动，其线速度大小为v.假设宇航员在该行星表面上用弹簧测力计测量一质量为m的物体重力，物体静止时，弹簧测力计的示数为N.已知引力常量为G，则这颗行星的质量为()\f(mv2,GN) B．eq\f(mv4,GN)C．eq\f(Nv2,Gm) D．eq\f(Nv4,Gm)【解析】由物体静止时的平衡条件N＝mg得g＝eq\f(N,m)，根据Geq\f(Mm,R2)＝mg和Geq\f(Mm,R2)＝meq\f(v2,R)得M＝eq\f(mv4,GN)，故选B.【答案】B2．“嫦娥二号”是我国月球探测第二期工程的先导星．若测得“嫦娥二号”在月球(可视为密度均匀的球体)表面附近圆形轨道运行的周期T，已知引力常量为G，半径为R的球体体积公式V＝eq\f(4,3)πR3，则可估算月球的()A．密度 B．质量C．半径 D．自转周期【解析】由万有引力提供向心力有Geq\f(Mm,r2)＝meq\f(4π2,T2)r，由于在月球表面轨道有r＝R，由球体体积公式V＝eq\f(4,3)πR3，联立解得月球的密度ρ＝eq\f(3π,GT2)，故选A.【答案】A3．(2023·石家庄高一检测)设土星绕太阳的运动为匀速圆周运动，若测得土星到太阳的距离为R，土星绕太阳运动的周期为T，万有引力常量G已知，根据这些数据，不能求出的量有()A．土星线速度的大小B．土星加速度的大小C．土星的质量D．太阳的质量【解析】根据已知数据可求：土星的线速度大小v＝eq\f(2πR,T)、土星的加速度a＝eq\f(4π2,T2)R、太阳的质量M＝eq\f(4π2R3,GT2)，无法求土星的质量，所以选C.【答案】C4．(多选)一行星绕恒星做圆周运动．由天文观测可得，其运行周期为T，速度为v，引力常量为G，则()【导学号：67120230】A．恒星的质量为eq\f(v3T,2πG)B．行星的质量为eq\f(4π2v3,GT2)C．行星运动的轨道半径为eq\f(vT,2π)D．行星运动的加速度为eq\f(2πv,T)【解析】行星绕恒星转动一圈时，运行的距离等于周长即v·T＝2πr得r＝eq\f(vT,2π)，C选项正确；由万有引力公式及牛顿第二定律知eq\f(GMm,r2)＝mreq\f(4π2,T2)得M＝eq\f(4π2r3,GT2)＝eq\f(4π2,GT2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(vT,2π)))3＝eq\f(v3T,2πG)，A选项正确；由a＝eq\f(v2,r)＝eq\f(2πv,T)，D选项正确．行星绕恒星的运动与其自身质量无关，行星的质量由已知条件无法求出，故B选项错误．【答案】ACD5．月球与地球质量之比约为1∶80，有研究者认为月球和地球可视为一个由两质点构成的双星系统，它们都围绕地月连线上某点O做匀速圆周运动．据此观点，可知月球与地球绕O点运动线速度大小之比约为()图3­3­3A．1∶6400 B．1∶80C．80∶1 D．6400∶1【解析】月球和地球绕O点做匀速圆周运动，它们之间的万有引力提供各自的向心力，则地球和月球的向心力相等．且月球和地球与O点始终共线，说明月球和地球有相同的角速度和周期．因此有mω2r＝Mω2R，所以eq\f(v,v′)＝eq\f(r,R)＝eq\f(M,m)，线速度和质量成反比，正确答案为C.【答案】C6．假设地球是一半径为R、质量分布均匀的球体．一矿井深度为d.已知质量分布均匀的球壳对壳内物体的引力为零．矿井底部和地面处的重力加速度大小之比为()A．1－eq\f(d,R) B．1＋eq\f(d,R)\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(R－d,R)))2 D．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(R,R－d)))2【解析】如图所示，根据题意“质量分布均匀的球壳对壳内物体的引力为零”，可知：地面处的球壳对地面与矿井底部之间的环形部分的引力为零，设地面处的重力加速度为g，地球质量为M，由地球表面的物体m1，受到的重力近似等于万有引力，故m1g＝Geq\f(Mm1,R2)，再将矿井底部所在的球体抽取出来，设矿井底部处的重力加速度为g′，该球体质量为M′，半径r＝R－d，同理可得矿井底部处的物体m2受到的重力m2g′＝Geq\f(M′m2,r2)，且由M＝ρV＝ρ·eq\f(4,3)πR3，M′＝ρV′＝ρ·eq\f(4,3)π(R－d)3，联立解得eq\f(g′,g)＝1－eq\f(d,R)，A对．【答案】A7．“嫦娥一号”是我国首次发射的探月卫星，它在距月球表面高度为200km的圆形轨道上运行，运行周期为127分钟．已知引力常量G＝×10－11N·m2/kg2，月球半径约为×103A．×10B．×10C．×10D．×10【解析】天体做圆周运动时都是万有引力提供向心力．“嫦娥一号”绕月球做匀速圆周运动，由牛顿第二定律知：eq\f(GMm,r2)＝eq\f(4π2mr,T2)，得M＝eq\f(4π2r3,GT2)，其中r＝R＋h，代入数据解得M＝×1022kg，选项D正确．【答案】D8．(2023·西城区高一检测)地球绕太阳公转的轨道半径为×1011m，公转的周期是×10【解析】根据牛顿第二定律得：F向＝ma向＝m(eq\f(2π,T))2r①又因为F向是由万有引力提供的，所以F向＝F万＝Geq\f(Mm,r2)②由①②式联立可得：M＝eq\f(4π2r3,GT2)＝eq\f(4×××10113,×10－11××1072)kg＝×1030kg.【答案】×1030kg[能力提升]9．一物体从某行星表面某高度处自由下落．从物体开始下落计时，得到物体离行星表面高度h随时间t变化的图象如图3­3­4所示，不计阻力．则根据h­t图象可以计算出()图3­3­4A．行星的质量B．行星的半径C．行星表面重力加速度的大小D．物体受到行星引力的大小【解析】根据图象可得物体下落25m，用的总时间为s，根据自由落体公式可求得行星表面的重力加速度，C项正确；根据行星表面的万有引力约等于重力，只能求出行星质量与行星半径平方的比值，不能求出行星的质量和半径，A项和B项错误；因为物体质量未知，不能确定物体受到行星的引力大小，D项错误．【答案】C10．如图3­3­5所示，极地卫星的运行轨道平面通过地球的南北两极(轨道可视为圆轨道)．若已知一个极地卫星从北纬30°的正上方，按图示方向第一次运行至南纬60°正上方时所用时间为t，地球半径为R(地球可看做球体)，地球表面的重力加速度为g，引力常量为G.由以上条件可以求出()【导学号：67120231】图3­3­5A．卫星运行的周期B．卫星距地面的高度C．卫星的质量D．地球的质量【解析】根据t时间内转过的圆心角可求出周期T；由Geq\f(mM,R＋h2)＝meq\f(4π2,T2)(R＋h)，可求出卫星距地面的高度h；由GM＝gR2可求出地球质量M，故A、B、D正确．【答案】ABD11．宇宙中两颗相距较近的天体称为“双星”，它们以两者连线上的某一点为圆心做匀速圆周运动，而不至于因万有引力的作用吸引到一起．设二者的质量分别为m1和m2，二者相距为L，求：(1)双星的轨道半径之比；(2)双星的线速度