高中数学人教A版第二章数列等差数列的前n项和 第二章2

学习目标1.进一步熟练掌握等差数列的通项公式和前n项和公式.2.会解等差数列前n项和的最值问题.3.理解an与Sn的关系，能根据Sn求an.知识点一数列中an与Sn的关系思考已知数列{an}的前n项和Sn＝n2，怎样求a1，an?答案a1＝S1＝1；当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝n2－(n－1)2＝2n－1，又n＝1时也适合上式，所以an＝2n－1，n∈N*.梳理对任意数列{an}，Sn与an的关系可以表示为an＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(S1n＝1，,Sn－Sn－1n≥2，n∈N*.))知识点二等差数列前n项和的最值思考我们已经知道当公差d≠0时，等差数列前n项和是关于n的二次函数Sn＝eq\f(d,2)n2＋(a1－eq\f(d,2))n，类比二次函数的最值情况，等差数列的Sn何时有最大值？何时有最小值？答案由二次函数的性质可以得出：当a1＜0，d>0时，Sn先减后增，有最小值；当a1＞0，d<0时，Sn先增后减，有最大值；且n取最接近对称轴的正整数时，Sn取到最值．梳理等差数列前n项和的最值与{Sn}的单调性有关．(1)若a1>0，d<0，则数列的前面若干项为正项(或0)，所以将这些项相加即得{Sn}的最大值．(2)若a1<0，d>0，则数列的前面若干项为负项(或0)，所以将这些项相加即得{Sn}的最小值．(3)若a1>0，d>0，则{Sn}是递增数列，S1是{Sn}的最小值；若a1<0，d<0，则{Sn}是递减数列，S1是{Sn}的最大值．类型一已知数列{an}的前n项和Sn求an例1已知数列{an}的前n项和为Sn＝n2＋eq\f(1,2)n，求这个数列的通项公式．这个数列是等差数列吗？如果是，它的首项与公差分别是什么？解根据Sn＝a1＋a2＋…＋an－1＋an可知Sn－1＝a1＋a2＋…＋an－1(n>1，n∈N*)，当n>1时，an＝Sn－Sn－1＝n2＋eq\f(1,2)n－[(n－1)2＋eq\f(1,2)(n－1)]＝2n－eq\f(1,2)， ①当n＝1时，a1＝S1＝12＋eq\f(1,2)×1＝eq\f(3,2)，也满足①式．∴数列{an}的通项公式为an＝2n－eq\f(1,2).故数列{an}是以eq\f(3,2)为首项，2为公差的等差数列．引申探究例1中前n项和改为Sn＝n2＋eq\f(1,2)n＋1，求通项公式．解当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝(n2＋eq\f(1,2)n＋1)－[(n－1)2＋eq\f(1,2)(n－1)＋1]＝2n－eq\f(1,2). ①当n＝1时，a1＝S1＝12＋eq\f(1,2)＋1＝eq\f(5,2)不符合①式．∴an＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(5,2)，n＝1，,2n－\f(1,2)，n≥2，n∈N*.))反思与感悟已知前n项和Sn求通项an，先由n＝1时，a1＝S1求得a1，再由n≥2时，an＝Sn－Sn－1求得an，最后验证a1是否符合an，若符合则统一用一个解析式表示．跟踪训练1已知数列{an}的前n项和Sn＝3n，求an.解当n＝1时，a1＝S1＝3；当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝3n－3n－1＝2·3n－1.当n＝1时，代入an＝2·3n－1得a1＝2≠3.∴an＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(3，n＝1，,2·3n－1，n≥2，n∈N*.))类型二等差数列前n项和的最值例2已知等差数列5,4eq\f(2,7)，3eq\f(4,7)，…的前n项和为Sn，求使得Sn最大的序号n的值．解方法一由题意知，等差数列5,4eq\f(2,7)，3eq\f(4,7)，…的公差为－eq\f(5,7)，所以Sn＝5n＋eq\f(nn－1,2)(－eq\f(5,7))＝－eq\f(5,14)(n－eq\f(15,2))2＋eq\f(1125,56).于是，当n取与eq\f(15,2)最接近的整数即7或8时，Sn取最大值．方法二an＝a1＋(n－1)d＝5＋(n－1)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(5,7)))＝－eq\f(5,7)n＋eq\f(40,7).令an＝－eq\f(5,7)n＋eq\f(40,7)≤0，解得n≥8，且a8＝0，a9<0.故前n项和是从第9项开始减小又S7＝S8，所以前7项或前8项和最大．反思与感悟在等差数列中，求Sn的最大(小)值，其思路是找出某一项，使这项及它前面的项皆取正(负)值或零，而它后面的各项皆取负(正)值，则从第1项起到该项的各项的和为最大(小)．由于Sn为关于n的二次函数，也可借助二次函数的图象或性质求解．跟踪训练2在等差数列{an}中，an＝2n－14，试用两种方法求该数列前n项和Sn的最小值．解方法一∵an＝2n－14，∴a1＝－12，d＝2.∴a1<a2<…<a6<a7＝0<a8<a9<….∴当n＝6或n＝7时，Sn取到最小值．易求S6＝S7＝－42，∴(Sn)min＝－42.方法二∵an＝2n－14，∴a1＝－12.∴Sn＝eq\f(na1＋an,2)＝n2－13n＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(n－\f(13,2)))2－eq\f(169,4).∴当n＝6或n＝7时，Sn最小，且(Sn)min＝－42.类型三求等差数列前n项的绝对值之和例3若等差数列{an}的首项a1＝13，d＝－4，记Tn＝|a1|＋|a2|＋…＋|an|，求Tn.解∵a1＝13，d＝－4，∴an＝17－4n.当n≤4时，Tn＝|a1|＋|a2|＋…＋|an|＝a1＋a2＋…＋an＝na1＋eq\f(nn－1,2)d＝13n＋eq\f(nn－1,2)×(－4)＝15n－2n2；当n≥5时，Tn＝|a1|＋|a2|＋…＋|an|＝(a1＋a2＋a3＋a4)－(a5＋a6＋…＋an)＝S4－(Sn－S4)＝2S4－Sn＝2×eq\f(13＋1×4,2)－(15n－2n2)＝56＋2n2－15n.∴Tn＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(15n－2n2，n≤4，n∈N*，,2n2－15n＋56，n≥5，n∈N*.))反思与感悟求等差数列{an}前n项的绝对值之和，根据绝对值的意义，应首先分清这个数列的哪些项是负的，哪些项是非负的，然后再分段求出前n项的绝对值之和．跟踪训练3已知数列{an}中，Sn＝－n2＋10n，数列{bn}的每一项都有bn＝|an|，求数列{bn}的前n项和Tn的表达式．解由Sn＝－n2＋10n得an＝Sn－Sn－1＝11－2n(n≥2，n∈N*)．验证a1＝9也符合上式．∴an＝11－2n，n∈N*.∴当n≤5时，an>0，此时Tn＝Sn＝－n2＋10n；当n>5时，an<0，此时Tn＝2S5－Sn＝n2－10n＋50.即Tn＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－n2＋10n，n≤5，n∈N*，,n2－10n＋50，n>5，n∈N*.))1．已知数列{an}的前n项和Sn＝n2＋n，则an等于()A．4n－2 B．n2C．2n＋1 D．2n答案D解析当n＝1时，a1＝S1＝2，当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝2n，又因为a1＝2符合an＝2n，所以an＝2n.2．已知数列{an}为等差数列，它的前n项和为Sn，若Sn＝(n＋1)2＋λ，则λ的值是()A．－2 B．－1C．0 D．1答案B解析等差数列的前n项和Sn的形式为Sn＝an2＋bn，∴λ＝－1.3．首项为正数的等差数列，前n项和为Sn，且S3＝S8，当n＝________时，Sn取到最大值．答案5或6解析∵S3＝S8，∴S8－S3＝a4＋a5＋a6＋a7＋a8＝5a6＝0，∴a6＝0.∵a1＞0，∴a1＞a2＞a3＞a4＞a5＞a6＝0，a7＜0.故当n＝5或6时，Sn最大．4．已知数列{an}的前n项和Sn＝3＋2n，求an.解当n＝1时，a1＝S1＝3＋2＝5.当n≥2时，Sn－1＝3＋2n－1，又Sn＝3＋2n，∴an＝Sn－Sn－1＝2n－2n－1＝2n－1.又当n＝1时，a1＝5≠21－1＝1，∴an＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(5，n＝1，,2n－1，n≥2，n∈N*.))1．因为an＝Sn－Sn－1只有n≥2时才有意义．所以由Sn求通项公式an＝f(n)时，要分n＝1和n≥2两种情况分别计算，然后验证两种情况可否用统一解析式表示，若不能，则用分段函数的形式表示．2．求等差数列前n项和最值的方法：(1)二次函数法：用求二次函数的最值方法来求其前n项和的最值，但要注意n∈N*，结合二次函数图象的对称性来确定n的值，更加直观．(2)通项法：当a1>0，d<0，eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(an≥0，,an＋1≤0))时，Sn取得最大值；当a1<0，d>0，eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(an≤0，,an＋1≥0))时，Sn取得最小值．3．求等差数列{an}前n项的绝对值之和，关键是找到数列{an}的正负项的分界点．40分钟课时作业一、选择题1．若数列{an}的前n项和Sn＝n2－1，则a4等于()A．7B．8C．9D．17答案A解析a4＝S4－S3＝(42－1)－(32－1)＝7.2．在等差数列{an}和{bn}中，a1＝25，b1＝75，a100＋b100＝100，则数列{an＋bn}的前100项的和为()A．10000 B．8000C．9000 D．11000答案A解析由已知得{an＋bn}为等差数列，故其前100项的和为S100＝eq\f(100[a1＋b1＋a100＋b100],2)＝50×(25＋75＋100)＝10000.3．已知数列{an}满足an＝26－2n，则使其前n项和Sn取最大值的n的值为()A．11或12 B．12C．13 D．12或13答案D解析∵an＝26－2n，∴an－an－1＝－2，∴数列{an}为等差数列．又a1＝24，d＝－2，∴Sn＝24n＋eq\f(nn－1,2)×(－2)＝－n2＋25n＝－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(n－\f(25,2)))2＋eq\f(625,4).∵n∈N*，∴当n＝12或13时，Sn最大，故选D.4．一个等差数列的项数为2n，若a1＋a3＋…＋a2n－1＝90，a2＋a4＋…＋a2n＝72，且a1－a2n＝33，则该数列的公差是()A．3 B．－3C．－2 D．－1答案B解析由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a1＋a3＋…＋a2n－1＝na1＋\f(nn－1,2)×2d＝90，,a2＋a4＋…＋a2n＝na2＋\f(nn－1,2)×2d＝72，))得nd＝－18.又a1－a2n＝－(2n－1)d＝33，所以d＝－3.5．已知数列{an}的前n项和Sn＝n2－9n，第k项满足5<ak<8，则k值为()A．9B．8C．7D．6答案B解析由an＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(S1，n＝1，,Sn－Sn－1，n≥2，n∈N*，))得an＝2n－10.由5<2k－10<8得，<k<9，∴k＝8.6．设等差数列{an}的前n项和为Sn，Sm－1＝－2，Sm＝0，Sm＋1＝3，则m等于()A．3B．4C．5D．6答案C解析am＝2，am＋1＝3，故d＝1，因为Sm＝0，故ma1＋eq\f(mm－1,2)d＝0，即a1＝－eq\f(m－1,2)，因为am＋am＋1＝5，故am＋am＋1＝2a1＋(2m－1)d＝－(m－1)＋2m－1＝5，即m＝5.二、填空题7．已知数列{an}的通项公式是an＝2n－48，则Sn取得最小值时，n＝________.答案23或24解析∵a24＝0，d＞0，∴a1，a2，…，a23<0，故S23＝S24最小．8．设Sn为等差数列{an}的前n项和，若a4＝1，S5＝10，则当Sn取得最大值时，n的值为________．答案4或5解析由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a4＝a1＋3d＝1，,S5＝5a1＋\f(5×4,2)d＝10，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a1＝4，,d＝－1，))∴a5＝a1＋4d＝0，∴S4＝S5且同时最大．∴n＝4或5.9．已知数列{an}的前n项和公式为Sn＝2n2－30n，则Sn取最小值时对应的n值为________．答案7或8解析∵Sn＝2n2－30n＝2(n－eq\f(15,2))2－eq\f(225,2)，∴当n＝7或8时，Sn最小．10．若数列{an}是等差数列，首项a1＞0，a2013＋a2014＞0，a2013·a2014＜0，则使前n项和Sn＞0成立的最大自然数n是________．答案4026解析由条件可知数列单调递减，故知a2013＞0，a2014＜0，故S4026＝eq\f(4026a1＋a4026,2)＝2013(a2013＋a2014)＞0，S4027＝eq\f(4027a1＋a4027,2)＝4027×a2014＜0，故使前n项和Sn＞0成立的最大自然数n是4026.三、解答题11．设等差数列{an}满足a3＝5，a10＝－9.(1)求{an}的通项公式；(2)求{an}的前n项和Sn及使得Sn最大的自然数n的值．解(1)由an＝a1＋(n－1)d及a3＝5，a10＝－9，得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a1＋2d＝5，,a1＋9d＝－9，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a1＝9，,d＝－2，))所以数列{an}的通项公式为an＝11－2n，n∈N*.(2)由(1)知，Sn＝na1＋eq\f(nn－1,2)d＝10n－n2.因为Sn＝－(n－5)2＋25，所以当n＝5时，Sn取得最大值．12．数列{an}中，a1＝8，a4＝2，且满足an＋2－2an＋1＋an＝0(n∈N*)．(1)求数列{an}的通项公式；(2)设Sn＝|a1|＋|a2|＋…＋|an|，求Sn.解(1)∵an＋2－2an＋1＋an＝0，∴an＋2－an＋1＝an＋1－an＝…＝a2－a1.∴{an}是等差数列且a1＝