高中数学人教B版2第三章数系的扩充与复数复数的运算 第3章

复数的运算3．复数的加法与减法1．掌握复数的加减法运算法则，能熟练地进行复数的加减运算．(重点)2．理解复数加减法运算的几何意义，能解决相关的问题．(难点、易混点)[基础·初探]教材整理1复数代数形式的加减法阅读教材P91例1以上部分．1．运算法则设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)，则z1＋z2＝(a＋c)＋(b＋d)i，z1－z2＝(a－c)＋(b－d)i.2．加法运算律设z1，z2，z3∈C，有z1＋z2＝z2＋z1，(z1＋z2)＋z3＝z1＋(z2＋z3)．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)复数与向量一一对应．()(2)复数与复数相加减后结果只能是实数．()(3)因为虚数不能比较大小，所以虚数的模也不能比较大小．()【答案】(1)×(2)×(3)×教材整理2复数加减法的几何意义阅读教材P92练习A以上部分，完成下列问题．若复数z1，z2对应的向量分别为eq\o(OZ1,\s\up10(→))，eq\o(OZ2,\s\up10(→)).复数加法的几何意义复数z1＋z2是以eq\o(OZ1,\s\up10(→))，eq\o(OZ2,\s\up10(→))为邻边的平行四边形的对角线eq\o(OZ,\s\up10(→))所对应的复数复数减法的几何意义复数z1－z2是从向量eq\o(OZ2,\s\up10(→))的终点指向向量eq\o(OZ1,\s\up10(→))的终点的向量eq\o(Z2Z1,\s\up10(→))所对应的复数已知向量Oeq\o(Z,\s\up10(→))1对应的复数为2－3i，向量Oeq\o(Z,\s\up10(→))2对应的复数为3－4i，则向量eq\o(Z1Z2,\s\up10(→))对应的复数为__________．【解析】eq\o(Z1Z2,\s\up10(→))＝Oeq\o(Z,\s\up10(→))2－Oeq\o(Z,\s\up10(→))1＝(3－4i)－(2－3i)＝1－i.【答案】1－i[质疑·手记]预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流：疑问1：解惑：疑问2：解惑：疑问3：解惑：[小组合作型]复数的加减法运算(1)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)＋\f(1,2)i))＋(2－i)－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4,3)－\f(3,2)i))＝________.(2)已知复数z满足z＋1－3i＝5－2i，求z.(3)已知复数z满足|z|＋z＝1＋3i，求z.【自主解答】(1)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)＋\f(1,2)i))＋(2－i)－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4,3)－\f(3,2)i))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)＋2－\f(4,3)))＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)－1＋\f(3,2)))i＝1＋i.【答案】1＋i(2)法一：设z＝x＋yi(x，y∈R)，因为z＋1－3i＝5－2i，所以x＋yi＋(1－3i)＝5－2i，即x＋1＝5且y－3＝－2，解得x＝4，y＝1，所以z＝4＋i.法二：因为z＋1－3i＝5－2i，所以z＝(5－2i)－(1－3i)＝4＋i.(3)设z＝x＋yi(x，y∈R)，则|z|＝eq\r(x2＋y2)，又|z|＋z＝1＋3i，所以eq\r(x2＋y2)＋x＋yi＝1＋3i，由复数相等得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\r(x2＋y2)＋x＝1，,y＝3，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝－4，,y＝3，))所以z＝－4＋3i.1．复数加减运算法则的记忆(1)复数的实部与实部相加减，虚部与虚部相加减．(2)把i看作一个字母，类比多项式加减运算中的合并同类项．2．当一个等式中同时含有|z|与z时，一般要用待定系数法，设z＝a＋bi(a，b∈R)．[再练一题]1．复数(1－i)－(2＋i)＋3i等于()【导学号：05410068】A．－1＋i B．1－iC．i D．－i【解析】(1－i)－(2＋i)＋3i＝(1－2)＋(－i－i＋3i)＝－1＋i.故选A.【答案】A复数加减法的几何意义(1)在复平面内，平行四边形ABCD(顶点顺序为ABCD)的三个顶点A，B，C对应的复数分别是1＋3i，－i,2＋i，则点D对应的复数为__________．(2)已知z1，z2∈C，|z1|＝|z2|＝1，|z1＋z2|＝eq\r(3)，求|z1－z2|.【精彩点拨】(1)先写出点A，B，C的坐标，利用向量eq\o(AB,\s\up6(→))＝Deq\o(C,\s\up6(→))列方程求解．(2)由复数的几何意义，画出图形，利用平行四边形解决．【自主解答】(1)设D(x，y)，类比向量的运算知Aeq\o(B,\s\up6(→))＝Deq\o(C,\s\up6(→))，所以有复数－i－(1＋3i)＝2＋i－(x＋yi)，得x＝3，y＝5，所以D对应的复数为3＋5i.【答案】3＋5i(2)设复数z1，z2，z1＋z2在复平面上对应的点分别为Z1，Z2，Z，由|z1|＝|z2|＝1知，以OZ1，OZ2为邻边的平行四边形是菱形，在△OZ1Z中，由余弦定理，得cos∠OZ1Z＝eq\f(|z1|2＋|z2|2－|z1＋z2|2,2|z1||z2|)＝－eq\f(1,2)，所以∠OZ1Z＝120°，所以∠Z1OZ2＝60°，因此△OZ1Z2是正三角形，所以|z1－z2|＝|Z2Z1|＝1.利用复数加减运算的几何意义解题的技巧及常见结论1．技巧(1)形转化为数：利用几何意义可以把几何图形的变换转化成复数运算去处理．(2)数转化为形：对于一些复数运算也可以给予几何解释，使复数作为工具运用于几何之中．2．常见结论在复平面内，z1，z2对应的点分别为A，B，z1＋z2对应的点为C，O为坐标原点，则四边形OACB：(1)为平行四边形；(2)若|z1＋z2|＝|z1－z2|，则四边形OACB为矩形；(3)若|z1|＝|z2|，则四边形OACB为菱形；(4)若|z1|＝|z2|且|z1＋z2|＝|z1－z2|，则四边形OACB为正方形．[再练一题]2．若把上例(2)中的条件“|z1＋z2|＝eq\r(3)”改为“|z1－z2|＝1”，则|z1＋z2|等于多少？【解】设复数z1，z2在复平面上对应的点分别为Z1，Z2，由|z1|＝|z2|＝1，|z1－z2|＝1知，以OZ1，OZ2为邻边的平行四边形是菱形OZ1ZZ2，OZ为对角线，△OZ1Z2为正三角形，由余弦定理，得|z1＋z2|2＝|z1|2＋|z2|2－2|z1|·|z2|cos∠OZ1Z，因为∠Z1OZ2＝60°，所以∠OZ1Z＝120°，所以|z1＋z2|＝eq\r(3).[探究共研型]复数加减法的几何意义的应用探究1在实数范围内a－b＞0⇔a＞b恒成立，在复数范围内是否有z1－z2＞0⇒z1＞z2恒成立呢？【提示】若z1，z2∈R，则z1－z2＞0⇒z1＞z2成立．否则z1－z2＞0⇒z1＞z2.如果z1＝1＋i，z2＝i，虽然z1－z2＝1＞0，但不能说1＋i大于i.探究2复数|z1－z2|的几何意义是什么？【提示】复数|z1－z2|表示复数z1，z2对应两点Z1与Z2间的距离．复平面内点A，B，C对应的复数分别为i,1,4＋2i，由A→B→C→D按逆时针顺序作▱ABCD，求eq\o(|BD,\s\up10(→))|.【精彩点拨】首先由A，C两点坐标求解出AC的中点坐标，然后再由点B的坐标求解出点D的坐标．【自主解答】如图，设D(x，y)，F为▱ABCD的对角线的交点，则点F的坐标为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2，\f(3,2)))，所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋1＝4，,y＋0＝3，))即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝3，,y＝3.))所以点D对应的复数为z＝3＋3i，所以eq\o(BD,\s\up10(→))＝eq\o(OD,\s\up10(→))－eq\o(OB,\s\up10(→))＝3＋3i－1＝2＋3i，所以|eq\o(BD,\s\up10(→))|＝eq\r(13).1．解决此类问题的关键是由题意正确地画出图形，然后根据三角形法则或平行四边形法则借助复数相等即可求解．2．复数的几何意义包括三个方面：复数的表示(点和向量)、复数的模的几何意义及复数运算的几何意义．复数的几何意义充分体现了数形结合这一重要的数学思想方法，即通过几何图形来研究代数问题．[再练一题]3．已知z∈C，且|z＋3－4i|＝1，求|z|的最大值与最小值．【解】由于|z＋3－4i|＝|z－(－3＋4i)|＝1，所以在复平面上，复数z对应的点Z与复数－3＋4i对应的点C之间的距离等于1，故复数z对应的点Z的轨迹是以C(－3,4)为圆心，半径等于1的圆．而|z|表示复数z对应的点Z到原点O的距离，又|OC|＝5，所以点Z到原点O的最大距离为5＋1＝6，最小距离为5－1＝4.即|z|最大值＝6，|z|最小值＝4.[构建·体系]1．设z1＝2＋i，z2＝1－5i，则|z1＋z2|为()\r(5)＋eq\r(26) B．5C．25 \r(37)【解析】|z1＋z2|＝|(2＋i)＋(1－5i)|＝|3－4i|＝eq\r(32＋－42)＝5.【答案】B2．设复数z＝a＋bi对应的点在虚轴右侧，则()A．a>0，b>0 B．a>0，b<0C．b>0，a∈R D．a>0，b∈R【解析】复数对应的点在虚轴右侧，则该复数的实部大于零，虚部可为任意实数．【答案】D3．已知|z|＝3，且z＋3i是纯虚数，则z＝________.【导学号：05410069】【解析】设z＝x＋yi(x，y∈R)，∴eq\r(x2＋y2)＝3①，且z＋3i＝x＋yi＋3i＝x＋(y＋3)i是纯虚数，则eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝0，,y＋3≠0，))由①可得y＝3.∴z＝3i.【答案】3i4．若|z－2|＝|z＋2|，则|z－1|的最小值是________.【解析】由|z－2|＝|z＋2|，知z对应点的轨迹是到(2,0)与到点(－2,0)距离相等的点即虚轴，|z－1|表示z对应的点到点(1,0)的距离，∴|z－1|最小值＝1.【答案】15．集合M＝{z||z－1|≤1，z∈C}，N＝{z||z－1－i|＝|z－2|，z∈C}，集合P＝M∩N.(1)指出集合P在复平面内所表示的图形；(2)求集合P中复数模的最大值和最小值．【解】(1)由|z－1|≤1可知，集合M在复平面内所对应的点集是以点E(1,0)为圆心，以1为半径的圆的内部及边界；由|z－1－i|＝|z－2|可知，集合N在复平面内所对应的点集是以点(1,1)和(2,0)为端点的线段的垂直平分线l，因此，集合P在复平面内所表示的图形是圆面截直线l所得的一条线段AB，如图．(2)由(1)知，圆的方程为x2＋y2－2x＝0，直线l的方程为y＝x－1.解方程组eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x2＋y2－2x＝0，,y＝x－1，))得Aeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2＋\r(2),2)，\f(\r(2),2)))，Beq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2－\r(2),2)，－\f(\r(2),2))).所以|OA|＝eq\r(2＋\r(2))，|OB|＝eq\r(2－\r(2)).因为点O到直线l的距离为eq\f(\r(2),2)，且过点O向l作垂线，垂足在线段BE上，eq\f(\r(2),2)<eq\r(2－\r(2))，所以集合P中复数模的最大值为eq\r(2＋\r(