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文档简介
三角恒等变换综合测试题(时间:120分钟满分:150分)学号:______班级:______姓名:______得分:______一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.函数y=1-2sin2(x-)是()A.最小正周期为的偶函数 B.最小正周期为的奇函数C.最小正周期为的偶函数 D.最小正周期为的奇函数2.cos75°-cos15°等于()\f(\r(6),2)B.-eq\f(\r(6),2)C.eq\f(\r(2),2)D.-eq\f(\r(2),2)3.化简()A.B.C.D.4.已知函数f(x)=cos2x-4sinx则函数f(x)的最大值是()A.4B.3C.5D.5.在eq\r(3)sinx+cosx=2a-3中,a的取值范围是()\f(1,2)≤a≤eq\f(5,2) B.a≤eq\f(1,2)C.a>eq\f(5,2) D.-eq\f(5,2)≤a≤-eq\f(1,2)6.化简的结果是()A.B.C.D.7.已知tanα,tanβ是方程x2+3eq\r(3)x+4=0的两根,且α,β∈(-eq\f(π,2),eq\f(π,2)),则α+β等于()A.-eq\f(2,3)π B.-eq\f(2,3)π或eq\f(π,3)C.-eq\f(π,3)或eq\f(2,3)π D.eq\f(π,3)8.已知cosα=eq\f(4,5),cosβ=eq\f(3,5),β∈(eq\f(3π,2),2π),且0<α<π,则sin(α+β)的值为()B.-1C.-eq\f(7,25) D.-1或-eq\f(7,25)9.在△ABC中,tanA+tanB+eq\r(3)=eq\r(3)tanAtanB,且sinA·cosA=eq\f(\r(3),4),则此三角形为()A.等腰三角形 B.直角三角形C.等腰直角三角形 D.等边三角形10.已知,那么sin2x=()A.
B. C.
D.11.已知函数,,则下列结论中正确的是()A.函数y=f(x)·g(x)的最小正周期为B.函数y=f(x)·g(x)的最大值为1C.将函数y=f(x)的图象向右平移单位后得g(x)的图象D.将函数y=f(x)的图象向左平移单位后得g(x)的图象 12.已知角的顶点与原点重合,始边与x轴正半轴重合,终边在直线y=2x上,则sin(2+)的值为()B.D.二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分.把答案填在题中的横线上)13.函数y=2sin(x+eq\f(π,2))+cos(eq\f(π,2)-x)的最大值为_________.14.已知sin-cos=-,则sin2=.15.在△ABC中,∠C=120°,tanA+tanB=eq\f(2,3)eq\r(3),则tanAtanB的值为______.16.=_________.三、解答题(本大题共6小题,共70分.解答题应写出文字说明,证明过程或演算步骤)17.(10分)已知函数f(x)=sin2x-2sin2x,求⑴函数f(x)的最小正周期;⑵函数f(x)的最大值及f(x)取最大值时x的集合.18.(12分)已知tan,tan是一元二次方程3x2+5x-2=0的两根,且∈(0,),∈(,),求cos(+)的值;(2)+的值.19.(12分)已知sin-2cos=0.求(1)tanx的值;(2)的值.20.(12分)已知函数⑴求的值;⑵设求的值.21.(12分)设函数f(x)=cos(2x+eq\f(π,3))+sin2x.(1)求函数f(x)的最大值和最小正周期;(2)设∠A,∠B,∠C为△ABC的三个内角,若cosB=eq\f(1,3),f(eq\f(C,2))=-eq\f(1,4),且∠C为锐角,求sinA.22.(12分)设函数f(x)=cosx+sinx+1,(1)求函数f(x)的值域和函数的单调递增区间;(2)当f()=,且时,求sin(2+)的值.参考答案一、选择题2.D3.B6.B7.A8.C提示:1.y=1-2sin2(x-)=cos2(x-)=cos(-2x)=sin2x,故是最小正周期为的奇函数,选B.2.cos75°-cos15°=cos(45°+30°)-cos(45°-30°)=-2sin45°sin30°=-eq\f(\r(2),2).3.===2.4.,当时函数f(x)取得最大值3,所以选B.5.由于eq\r(3)sinx+cosx=2sin(x+eq\f(π,6))=2a-3,则|sin(x+eq\f(π,6))|=|a-eq\f(3,2)|≤1.即eq\f(1,2)≤a≤eq\f(5,2).故选A.6.==1,选B.7.由tanα+tanβ=-3eq\r(3)<0,tanαtanβ=4>0,知α,β∈(-eq\f(π,2),0),α+β∈(-π,0),tan(α+β)=eq\f(tanα+tanβ,1-tanα·tanβ)=eq\r(3),所以α+β=-eq\f(2π,3).答案:A8.先由cosα=eq\f(4,5),α∈(0,π),得sinα=eq\f(3,5),由cosβ=eq\f(3,5),β∈(eq\f(3,2)π,2π),得sinβ=-eq\f(4,5).所以sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβ=eq\f(3,5)×eq\f(3,5)+eq\f(4,5)×(-eq\f(4,5))=-eq\f(7,25).9.因为tanA+tanB=-eq\r(3)(1-tanAtanB),所以tan(A+B)=-eq\r(3),所以A+B=120°.又因为sinA·cosA=eq\f(\r(3),4),所以sin2A=eq\f(\r(3),2),所以A=60°,B=60°,C=60°,所以△ABC是等边三角形.10.因为,所以,即,故选C.11.因为,所以其最小正周期为,最大值为,故A,B错误;又因为,,所以将函数y=f(x)的图象向右平移单位后得g(x)的图象,排除D,故选C.12.由三角函数的定义得tan=2,cos=±,所以tan2==-,cos2=2cos2-1=-,所以sin2=cos2tan2=,所以sin(2+)=(sin2+cos2)=×(-)=,故选D.填空题提示:13.14.15.16.813.y=2sin(x+eq\f(π,2))+cos(eq\f(π,2)-x)=2cosx+sinx=cos(x-),故其最大值为.14.将sin-cos=-两边平方,得sin2+cos2-2sincos=,即1-=2sincos,所以sin2=.15.1-tanAtanB==,所以tanAtanB=1-=.16.========8.三、解答题17.解:(1)因为f(x)=sin2x-(1-cos2x)=sin(2x+)-1,
所以函数f(x)的最小正周期为T==π;
(2)由(1)知,当2x+=2kπ+,即x=kπ+(k∈Z)时,f(x)取最大值−1,
因此函数f(x)取最大值时x的集合为{x|x=kπ+,k∈Z}.18.解:(1)方程的两根为-2和,∈(0,),∈(,),所以tan=-2,tan=,所以tan()==7,-∈(-,-),所以cos(-)=-.(2),因为+∈(,),所以+=.19.解:(1)因为sin-2cos=0,则cos≠0,所以tan=2,所以.(2)原式.20.解:⑴;⑵因为,所以,因为所以,又所以,,所以.21.解:(1)f(x)=cos(2x+eq\f(π,3))+sin2x=cos2x·coseq\f(π,3)-sin2x·sineq\f(π,3)+eq\f(1-cos2x,2)=eq\f(1,2)cos2x-eq\f(\r(3),2)sin2x-eq\f(1,2)cos2x+eq\f(1,2)=eq\f(1,2)-eq\f(\r(3),2)sin2x,所以当2x=-eq\f(π,2)+2kπ即x=kπ-eq\f(π,4)(k∈Z)时,f(x)max=eq\f(1+\r(3),2).T=eq\f(2π,2)=π.故f(x)的最大值为eq\f(1+\r(3),2),最小正周期为π.(2)由f(eq\f(C,2))=-eq\f(1,4),即eq\f(1,2)-eq\f(\r(3),2)sinC=-eq\f(1,4),解得sinC=eq\f(\r(3),2).又∠C为锐角,所以∠C=eq\f(π,3).由cosB=eq\f(1,3),得sinB=eq\f(2\r(2),3).所以sinA=sin[π-(B+C)]=sin(B+C)=sinB·cosC+cosB·sinC=eq\f(2\r(2),3)×eq\f(1,2)+eq\f(1,3)×eq\f(\r(3),2)=eq\f(2\r(2)+\r(3),6).22.解:(1)依题意f(x)=cosx+sinx+1=sin(x+)+1,
因为-1≤sin(x+)≤1,则因为
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