高中数学人教A版第三章直线与方程 学业分层测评20

学业分层测评（二十）(建议用时：45分钟)[达标必做]一、选择题1．点P在x轴上，且到直线3x－4y＋6＝0的距离为6，则点P的坐标为()A．(8,0) B．(－12,0)C．(8,0)或(－12,0) D．(－8,0)或(12,0)【解析】设点P的坐标为(x,0)，则根据点到直线的距离公式可得eq\f(|3x－4×0＋6|,\r(32＋－42))＝6，解得x＝8或x＝－12.所以点P的坐标为(8,0)或(－12,0)．【答案】C2．两条平行线l1：3x＋4y－2＝0，l2：9x＋12y－10＝0间的距离等于()\f(7,5) \f(7,15)\f(4,15) \f(2,3)【解析】l1的方程可化为9x＋12y－6＝0，由平行线间的距离公式得d＝eq\f(|－6＋10|,\r(92＋122))＝eq\f(4,15).【答案】C3．到直线3x－4y－11＝0的距离为2的直线方程为()A．3x－4y－1＝0B．3x－4y－1＝0或3x－4y－21＝0C．3x－4y＋1＝0D．3x－4y－21＝0【解析】设所求的直线方程为3x－4y＋c＝0.由题意eq\f(|c－－11|,\r(32＋－42))＝2，解得c＝－1或c＝－21.故选B.【答案】B4．已知两点A(3,2)和B(－1,4)到直线mx＋y＋3＝0的距离相等，则m的值为()A．0或－eq\f(1,2) \f(1,2)或－6C．－eq\f(1,2)或eq\f(1,2) D．0或eq\f(1,2)【解析】由题意知直线mx＋y＋3＝0与AB平行或过AB的中点，则有－m＝eq\f(4－2,－1－3)或m×eq\f(3－1,2)＋eq\f(2＋4,2)＋3＝0，∴m＝eq\f(1,2)或m＝－6.【答案】B5．抛物线y＝－x2上的点到直线4x＋3y－8＝0距离的最小值是()\f(4,3) \f(7,5)\f(8,5) \f(20,3)【解析】设P(x0，－xeq\o\al(2,0))为y＝－x2上任意一点，则由题意得P到直线4x＋3y－8＝0的距离d＝eq\f(|4x0－3x\o\al(2,0)－8|,5)＝eq\f(\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(－3\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x0－\f(2,3)))2－\f(20,3))),5)，∴当x0＝eq\f(2,3)时，dmin＝eq\f(\f(20,3),5)＝eq\f(4,3).【答案】A二、填空题6．若点P在直线x＋y－4＝0上，O为原点，则|OP|的最小值是________.【导学号：09960122】【解析】|OP|的最小值，即为点O到直线x＋y－4＝0的距离，d＝eq\f(|0＋0－4|,\r(1＋1))＝2eq\r(2).【答案】2eq\r(2)7．已知x＋y－3＝0，则eq\r(x－22＋y＋12)的最小值为________．【解析】设P(x，y)，A(2，－1)，则点P在直线x＋y－3＝0上，且eq\r(x－22＋y＋12)＝|PA|.|PA|的最小值为点A(2，－1)到直线x＋y－3＝0的距离d＝eq\f(|2＋－1－3|,\r(12＋12))＝eq\r(2).【答案】eq\r(2)三、解答题8．已知直线l1和l2的方程分别为7x＋8y＋9＝0,7x＋8y－3＝0，直线l平行于l1，直线l与l1的距离为d1，与l2的距离为d2，且eq\f(d1,d2)＝eq\f(1,2)，求直线l的方程．【解】由题意知l1∥l2，故l1∥l2∥l.设l的方程为7x＋8y＋c＝0，则2·eq\f(|c－9|,\r(72＋82))＝eq\f(|c－－3|,72＋82)，解得c＝21或c＝5.∴直线l的方程为7x＋8y＋21＝0或7x＋8y＋5＝0.9．已知正方形的中心为直线x－y＋1＝0和2x＋y＋2＝0的交点，正方形一边所在直线方程为x＋3y－2＝0，求其他三边所在直线的方程．【解】∵由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x－y＋1＝0，,2x＋y＋2＝0，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝－1，,y＝0，))∴中心坐标为(－1,0)．∴中心到已知边的距离为eq\f(|－1－2|,\r(12＋32))＝eq\f(3,\r(10)).设正方形相邻两边方程为x＋3y＋m＝0和3x－y＋n＝0.∵正方形中心到各边距离相等，∴eq\f(|－1＋m|,\r(10))＝eq\f(3,\r(10))和eq\f(|－3＋n|,\r(10))＝eq\f(3,\r(10)).∴m＝4或m＝－2(舍去)，n＝6或n＝0.∴其他三边所在直线的方程为x＋3y＋4＝0,3x－y＝0,3x－y＋6＝0.[自我挑战]10．在坐标平面内，与点A(1,2)距离为1，且与点B(3,1)距离为2的直线共有()A．1条 B．2条C．3条 D．4条【解析】由题可知所求直线显然不与y轴平行，∴可设直线为y＝kx＋b，即kx－y＋b＝0.∴d1＝eq\f(|k－2＋b|,\r(k2＋1))＝1，d2＝eq\f(|3k－1＋b|,\r(k2＋1))＝2，两式联立，解得b1＝3，b2＝eq\f(5,3)，∴k1＝0，k2＝－eq\f(4,3).故所求直线共有两条．【答案】B11．如图3­3­3，已知直线l1：x＋y－1＝0，现将直线l1向上平移到直线l2的位置，若l2，l1和坐标轴围成的梯形面积为4，求l2的方程．图3­3­3【解】设l2的方程为y＝－x＋b(b>0)，则题图中A(1,0)，D(0,1)，B(b,0)，C(0，b)．所以AD＝eq\r(2)，BC＝eq\r(2)b.梯形的高h就是A点到直线l2的距离，故h＝eq\f(|1＋0－b|,\r(2))＝e