高中数学人教A版1第三章导数及其应用单元测试 高质作品

选修1-1第三章3.一、选择题1．函数y＝2x3－3x2－12x＋5在[－2,1]上的最大值、最小值分别是eq\x(导学号92600712)()A．12；－8 B．1；－8C．12；－15 D．5；－16[答案]A[解析]y′＝6x2－6x－12，由y′＝0⇒x＝－1或x＝2(舍去)．x＝－2时y＝1，x＝－1时y＝12，x＝1时y＝－8.∴ymax＝12，ymin＝－8.故选A．2．函数f(x)＝x3－3x(|x|<1)eq\x(导学号92600713)()A．有最大值，但无最小值 B．有最大值，也有最小值C．无最大值，但有最小值 D．既无最大值，也无最小值[答案]D[解析]f′(x)＝3x2－3＝3(x＋1)(x－1)，∵x∈(－1,1)，∴f′(x)<0，即函数在(－1,1)上是减少的，∴既无最大值，也无最小值．3．函数f(x)＝3x－x3(－eq\r(3)≤x≤3)的最大值为eq\x(导学号92600714)()A．18 B．2C．0 D．－18[答案]B[解析]f′(x)＝3－3x2，令f′(x)＝0，得x＝±1，－eq\r(3)≤x<－1时，f′(x)<0，－1<x<1时，f′(x)>0,1<x≤3时，f′(x)<0，故函数在x＝－1处取极小值，在x＝1处取极大值．∵f(1)＝2，f(－1)＝－2，又f(－eq\r(3))＝0，f(3)＝－18，∴[f(x)]max＝2，[f(x)]min＝－18.4．若函数f(x)＝x3－3x－a在区间[0,3]上的最大值、最小值分别为M、N，则M－N的值为eq\x(导学号92600715)()A．2 B．4C．18 D．20[答案]D[解析]f′(x)＝3x2－3＝3(x＋1)(x－1)，令f′(x)＝0，得x1＝－1，x2＝1.f(0)＝－a,f(1)＝－2－a,f(3)＝18－a，∴f(x)max＝18－a，f(x)min＝－2－a，∴18－a－(－2－a)＝20.5．下列说法正确的是eq\x(导学号92600716)()A．函数的极大值就是函数的最大值B．函数的极小值就是函数的最小值C．函数的最值一定是极值D．在闭区间上的连续函数一定存在最值[答案]D[解析]根据最大值、最小值的概念可知选项D正确．6．函数f(x)＝lnx－x在区间[0，e]上的最大值为eq\x(导学号92600717)()A．－1 B．1－eC．－e D．0[答案]A[解析]f′(x)＝eq\f(1,x)－1＝eq\f(1－x,x)，令f′(x)>0，得0<x<1，令f′(x)<0，得1<x<e，∴f(x)在(0,1)上递增，在(1，e)上递减，∴当x＝1时，f(x)取极大值，这个极大值也是最大值．∴f(x)max＝f(1)＝－1.二、填空题7．当x∈[－1,1]时，函数f(x)＝eq\f(x2,ex)的值域是\x(导学号92600718)[答案][0，e][解析]f′(x)＝eq\f(2x·ex－x2·ex,ex2)＝eq\f(2x－x2,ex)，令f′(x)＝0得x1＝0，x2＝2.f(－1)＝e,f(0)＝0,f(1)＝eq\f(1,e)，∴f(x)max＝e,f(x)min＝0，故函数f(x)的值域为[0，e]．8．若函数f(x)＝3x－x3＋a，－eq\r(3)≤x≤3的最小值为8，则a的值是________.eq\x(导学号92600719)[答案]26[解析]f′(x)＝3－3x2，令f′(x)＝0，得x＝±1.f(1)＝2＋a，f(－1)＝－2＋a.又f(－eq\r(3))＝a，f(3)＝－18＋a.∴f(x)min＝－18＋a.由－18＋a＝8.得a＝26.三、解答题9．(2023·福建宁德市高二检测)已知函数f(x)＝x3－2ax2＋3ax在x＝1时取得极值.eq\x(导学号92600720)(1)求a的值；(2)若关于x的不等式f(x)－k≤0在区间[0,4]上恒成立，求实数k的取值范围．[解析](1)f′(x)＝3x2－4ax＋3a由题意得f′(1)＝3－4a＋3a＝0，∴经检验可知，当a＝3时f(x)在x＝1时取得极值．(2)由(1)知，f(x)＝x3－6x2＋9x，∵f(x)－k≤0在区间[0,4]上恒成立，∴k≥f(x)max即可．f′(x)＝3x2－12x＋9＝3(x2－4x＋3)＝3(x－1)(x－3)，令f′(x)>0，得3<x<4或0<x<1，令f′(x)<0，得1<x<3.∴f(x)在(0,1)上递增，(1,3)上递减，(3,4)上递增，∴当x＝1时，f(x)取极大值f(1)＝4，当x＝3时，f(x)取极小值f(3)＝0.又f(0)＝0，f(4)＝4，∴f(x)max＝4，∴k≥4.一、选择题1．函数f(x)＝x(1－x2)在[0,1]上的最大值为eq\x(导学号92600721)()A．eq\f(2\r(3),9) B．eq\f(2\r(2),9)C．eq\f(3\r(2),9) D．eq\f(3,8)[答案]A[解析]f′(x)＝1－3x2＝0，得x＝eq\f(\r(3),3)∈[0,1]，∵feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),3)))＝eq\f(2\r(3),9)，f(0)＝f(1)＝0.∴f(x)max＝eq\f(2\r(3),9).2．已知函数f(x)，g(x)均为[a，b]上的可导函数，在[a，b]上图象连续不断且f′(x)<g′(x)，则f(x)－g(x)的最大值为eq\x(导学号92600722)()A．f(a)－g(a) B．f(b)－g(b)C．f(a)－g(b) D．f(b)－g(a)[答案]A[解析]令u(x)＝f(x)－g(x)，则u′(x)＝f′(x)－g′(x)<0，∴u(x)在[a，b]上为单调减少的，∴u(x)的最大值为u(a)＝f(a)－g(a)．3．设在区间[a，b]上函数y＝f(x)的图象是一条连续不断的曲线，且在区间[a，b]上存在导数，有下列三个命题：①若f(x)在[a，b]上有最大值，则这个最大值必是[a，b]上的极大值；②若f(x)在[a，b]上有最小值，则这个最小值必是[a，b]上的极小值；③若f(x)在[a，b]上有最值，则最值必在x＝a或x＝b处取得．其中正确的命题个数是eq\x(导学号92600723)()A．0 B．1C．2 D．3[答案]A[解析]由于函数的最值可能在区间[a，b]的端点处取得，也可能在区间[a，b]内取得，而当最值在区间端点处取得时，其最值必不是极值，因此3个命题都是假命题．4．当x∈[0,5]时，函数f(x)＝3x2－4x＋c的值域为eq\x(导学号92600724)()A．[f(0)，f(5)] B．[f(0)，f(eq\f(2,3))]C．[f(eq\f(2,3))，f(5)] D．[c，f(5)][答案]C[解析]f′(x)＝6x－4，令f′(x)＝0，则x＝eq\f(2,3)，0<x<eq\f(2,3)时，f′(x)<0，x>eq\f(2,3)时，f′(x)>0，得f(eq\f(2,3))为极小值，再比较f(0)和f(5)与f(eq\f(2,3))的大小即可．二、填空题5．函数f(x)＝2x3－3x2－12x＋5在[0,3]上的最大值和最小值的和是\x(导学号92600725)[答案]－10[解析]f′(x)＝6x2－6x－12，令f′(x)＝0，解得x＝－1或x＝2.但x∈[0,3]，∴x＝－1舍去，∴x＝2.当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：x0(0,2)2(2,3)3f′(x)－12－0＋24f(x)5↘－15↗－4由上表，知f(x)max＝5，f(x)min＝－15，所以f(x)max＋f(x)min＝－10.6．函数f(x)＝ax4－4ax3＋b(a>0)，x∈[1,4]，f(x)的最大值为3，最小值为－6，则a＋b＝\x(导学号92600726)[答案]eq\f(10,3)[解析]f′(x)＝4ax3－12ax2.令f′(x)＝0，得x＝0(舍去)，或x＝3.1<x<3时，f′(x)<0,3<x<4时，f′(x)>0，故x＝3为极小值点．∵f(3)＝b－27a，f(1)＝b－3a，f(4)＝∴f(x)的最小值为f(3)＝b－27a，最大值为f(4)＝b∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(b＝3，,b－27a＝－6，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝\f(1,3)，,b＝3，))∴a＋b＝eq\f(10,3).三、解答题7．已知函数f(x)＝x3＋ax2＋bx＋5，曲线y＝f(x)在点P(1，f(1))处的切线方程为y＝3x＋\x(导学号92600727)(1)求a、b的值；(2)求y＝f(x)在[－3,1]上的最大值．[解析](1)依题意可知点P(1，f(1))为切点，代入切线方程y＝3x＋1可得，f(1)＝3×1＋1＝4，∴f(1)＝1＋a＋b＋5＝4，即a＋b＝－2，又由f(x)＝x3＋ax2＋bx＋5得，f′(x)＝3x2＋2ax＋b，而由切线方程y＝3x＋1的斜率可知f′(1)＝3，∴3＋2a＋b＝3，即2a＋由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＋b＝－2,2a＋b＝0))，解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝2,b＝－4)).∴a＝2，b＝－4.(2)由(1)知f(x)＝x3＋2x2－4x＋5，f′(x)＝3x2＋4x－4＝(3x－2)(x＋2)，令f′(x)＝0，得x＝eq\f(2,3)或x＝－2.当x变化时，f(x)、f′(x)的变化情况如下表：x－3(－3，－2)－2(－2，eq\f(2,3))eq\f(2,3)(eq\f(2,3)，1)1f′(x)＋0－0＋f(x)8↗极大值↘极小值↗4∴f(x)的极大值为f(－2)＝13，极小值为f(eq\f(2,3))＝eq\f(95,27)，又f(－3)＝8，f(1)＝4，∴f(x)在[－3,1]上的最大值为13.8．设f(x)＝x3－eq\f(1,2)x2－2x＋\x(导学号92600728)(1)求函数f(x)的单调递增、递减区间；(2)当x∈[－1,2]时，f(x)<m恒成立，求实数m的取值范围．[解析](1)f′(x)＝3x2－x－2.令f′(x)＝0，即3x2－x－2＝0⇒x＝1或x＝－eq\f(2,3).所以当x∈(－∞，－eq\f(2,3))时f′(x)>0,f(x)为增函数；当x∈(－eq\f(2,3)，1)时，f′(x)<0,f(x)为减函数．当x∈(1，＋∞)时，f′(x)>0,f(x)