高中数学人教B版5第二章柯西不等式与排序不等式及其应用 第2章排序不等式

排序不等式1.了解排序不等式的数学思想和背景.2.理解排序不等式的结构与基本原理，会用排序不等式解决简单的不等式问题.[基础·初探]教材整理1顺序和、乱序和、反序和的概念设a1≤a2≤…≤an，b1≤b2≤…≤bn为两组实数，c1，c2，…，cn为b1，b2，…，bn的任一排列，称a1b1＋a2b2＋…＋anbn为这两个实数组的顺序和；称a1bn＋a2bn－1＋…＋anb1为这两个实数组的反序和；称a1c1＋a2c2＋…＋ancn为这两个实数组的乱序和.教材整理2定理(排序原理，又称为排序不等式)设a1≤a2≤…≤an，b1≤b2≤…≤bn为两组实数，c1，c2，…，cn为b1，b2，…，bn的任一排列，则有a1bn＋a2bn－1＋…＋anb1≤a1c1＋a2c2＋…＋ancn≤a1b1＋a2b2＋…＋anbn，等号成立(反序和等于顺序和)⇔a1＝a2＝…＝an或b1＝b2＝…＝bn，可简记作：反序和≤乱序和≤顺序和.已知x≥y，M＝x4＋y4，N＝x3y＋y3x，则M与N的大小关系是()>N ≥N<N ≤N【解析】由排序不等式，知M≥N.【答案】B[质疑·手记]预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流：疑问1：解惑：疑问2：解惑：疑问3：解惑：[小组合作型]用排序不等式证明不等式(字母大小已定)已知a，b，c为正数，a≥b≥c，求证：(1)eq\f(1,bc)≥eq\f(1,ca)≥eq\f(1,ab)；(2)eq\f(a2,b2c2)＋eq\f(b2,c2a2)＋eq\f(c2,a2b2)≥eq\f(1,a2)＋eq\f(1,b2)＋eq\f(1,c2).【精彩点拨】由于题目条件中已明确a≥b≥c，故可以直接构造两个数组.【自主解答】(1)∵a≥b>0，于是eq\f(1,a)≤eq\f(1,b)，又c>0，∴eq\f(1,c)>0，从而eq\f(1,bc)≥eq\f(1,ca).同理，∵b≥c>0，于是eq\f(1,b)≤eq\f(1,c)，∴a>0，∴eq\f(1,a)>0，于是得eq\f(1,ca)≥eq\f(1,ab)，从而eq\f(1,bc)≥eq\f(1,ca)≥eq\f(1,ab).(2)由(1)知eq\f(1,bc)≥eq\f(1,ca)≥eq\f(1,ab)>0且a≥b≥c>0，∴eq\f(1,b2c2)≥eq\f(1,c2a2)≥eq\f(1,a2b2)，a2≥b2≥c2.由排序不等式，顺序和≥乱序和得eq\f(a2,b2c2)＋eq\f(b2,c2a2)＋eq\f(c2,a2b2)≥eq\f(b2,b2c2)＋eq\f(c2,c2a2)＋eq\f(a2,a2b2)＝eq\f(1,c2)＋eq\f(1,a2)＋eq\f(1,b2)＝eq\f(1,a2)＋eq\f(1,b2)＋eq\f(1,c2)，故eq\f(a2,b2c2)＋eq\f(b2,c2a2)＋eq\f(c2,a2b2)≥eq\f(1,a2)＋eq\f(1,b2)＋eq\f(1,c2).利用排序不等式证明不等式的技巧在于仔细观察、分析所要证明的式子的结构，从而正确地构造出不等式中所需要的带有大小顺序的两个数组.[再练一题]1.已知0<a1≤a2≤…≤an，求证：eq\f(a\o\al(2,1),a2)＋eq\f(a\o\al(2,2),a3)＋…＋eq\f(a\o\al(2,n－1),an)＋eq\f(a\o\al(2,n),a1)≥a1＋a2＋…＋an.【导学号：38000035】【证明】∵0<a1≤a2≤…≤an，∴aeq\o\al(2,1)≤aeq\o\al(2,2)≤…≤aeq\o\al(2,n)，eq\f(1,a1)≥eq\f(1,a2)≥…≥eq\f(1,an)，由排序不等式知，乱序和不小于反序和，得eq\f(a\o\al(2,1),a2)＋eq\f(a\o\al(2,2),a3)＋…＋eq\f(a\o\al(2,n－1),an)＋eq\f(a\o\al(2,n),a1)≥aeq\o\al(2,1)·eq\f(1,a1)＋aeq\o\al(2,2)·eq\f(1,a2)＋…＋aeq\o\al(2,n)·eq\f(1,an).因此eq\f(a\o\al(2,1),a2)＋eq\f(a\o\al(2,2),a3)＋…＋eq\f(a\o\al(2,n－1),an)＋eq\f(a\o\al(2,n),a1)≥a1＋a2＋…＋an.字母大小顺序不定的不等式证明设a，b，c为正数，求证：eq\f(a2＋b2,2c)＋eq\f(b2＋c2,2a)＋eq\f(c2＋a2,2b)≤eq\f(a3,bc)＋eq\f(b3,ca)＋eq\f(c3,ab).【精彩点拨】(1)题目涉及到与排序有关的不等式；(2)题目中没有给出a，b，c的大小顺序.解答本题时不妨先设定a≤b≤c，再利用排序不等式加以证明.【自主解答】不妨设0<a≤b≤c，则a3≤b3≤c3，0<eq\f(1,bc)≤eq\f(1,ca)≤eq\f(1,ab)，由排序原理：乱序和≤顺序和，得a3·eq\f(1,ca)＋b3·eq\f(1,ab)＋c3·eq\f(1,bc)≤a3·eq\f(1,bc)＋b3·eq\f(1,ca)＋c3·eq\f(1,ab)，a3·eq\f(1,ab)＋b3·eq\f(1,bc)＋c3·eq\f(1,ca)≤a3·eq\f(1,bc)＋b3·eq\f(1,ca)＋c3·eq\f(1,ab).将上面两式相加得eq\f(a2＋b2,c)＋eq\f(b2＋c2,a)＋eq\f(c2＋a2,b)≤2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a3,bc)＋\f(b3,ca)＋\f(c3,ab)))，将不等式两边除以2，得eq\f(a2＋b2,2c)＋eq\f(b2＋c2,2a)＋eq\f(c2＋a2,2b)≤eq\f(a3,bc)＋eq\f(b3,ca)＋eq\f(c3,ab).在排序不等式的条件中需要限定各数值的大小关系，对于没有给出大小关系的情况：(1)要根据各字母在不等式中地位的对称性，限定一种大小关系.(2)若给出的字母不具有对称性，一定不能直接限定字母的大小顺序，而要根据具体情境分类讨论.[再练一题]2.本例的条件不变，试证明：eq\f(a2＋b2,2c)＋eq\f(b2＋c2,2a)＋eq\f(c2＋a2,2b)≥a＋b＋c.【证明】不妨设a≥b≥c>0，则a2≥b2≥c2，eq\f(1,c)≥eq\f(1,b)≥eq\f(1,a)，则a2·eq\f(1,c)＋b2·eq\f(1,a)＋c2·eq\f(1,b)(乱序和)≥a2·eq\f(1,a)＋b2·eq\f(1,b)＋c2·eq\f(1,c)(反序和)，同理，b2·eq\f(1,c)＋c2·eq\f(1,a)＋a2·eq\f(1,b)(乱序和)≥a2·eq\f(1,a)＋b2·eq\f(1,b)＋c2·eq\f(1,c)(反序和).两式相加再除以2，可得a＋b＋c≤eq\f(a2＋b2,2c)＋eq\f(b2＋c2,2a)＋eq\f(c2＋a2,2b).利用排序不等式求最值设a，b，c为任意正数，求eq\f(a,b＋c)＋eq\f(b,c＋a)＋eq\f(c,a＋b)的最小值.【精彩点拨】由对称性，不妨设a≥b≥c>0，注意到eq\f(b,b＋c)＋eq\f(c,b＋c)＝1，设法构造数组，利用排序不等式求解.【自主解答】不妨设a≥b≥c，则a＋b≥a＋c≥b＋c，eq\f(1,b＋c)≥eq\f(1,c＋a)≥eq\f(1,a＋b)，由排序不等式得，eq\f(a,b＋c)＋eq\f(b,c＋a)＋eq\f(c,a＋b)≥eq\f(b,b＋c)＋eq\f(c,c＋a)＋eq\f(a,a＋b)，eq\f(a,b＋c)＋eq\f(b,c＋a)＋eq\f(c,a＋b)≥eq\f(c,b＋c)＋eq\f(a,c＋a)＋eq\f(b,a＋b)，上两式相加，则2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a,b＋c)＋\f(b,c＋a)＋\f(c,a＋b)))≥3，即eq\f(a,b＋c)＋eq\f(b,c＋a)＋eq\f(c,a＋b)≥eq\f(3,2).当且仅当a＝b＝c时，eq\f(a,b＋c)＋eq\f(b,c＋a)＋eq\f(c,a＋b)取最小值eq\f(3,2).1.分析待求函数的结构特征，构造两个有序数组.2.运用排序原理求最值时，一定验证等号是否成立，若等号不成立，则取不到最值.[再练一题]3.已知x，y，z是正数，且x＋y＋z＝1，求t＝eq\f(x2,y)＋eq\f(y2,z)＋eq\f(z2,x)的最小值.【导学号：38000036】【解】不妨设x≥y≥z>0，则x2≥y2≥z2，eq\f(1,z)≥eq\f(1,y)≥eq\f(1,x).由排序不等式，乱序和≥反序和.eq\f(x2,y)＋eq\f(y2,z)＋eq\f(z2,x)≥x2·eq\f(1,x)＋y2·eq\f(1,y)＋z2·eq\f(1,z)＝x＋y＋z.又x＋y＋z＝1，eq\f(x2,y)＋eq\f(y2,z)＋eq\f(z2,x)≥1，当且仅当x＝y＝z＝eq\f(1,3)时，等号成立.故t＝eq\f(x2,y)＋eq\f(y2,z)＋eq\f(z2,x)的最小值为1.[探究共研型]排序不等式的特点探究1排序不等式的本质含义是什么？【提示】排序不等式的本质含义是两实数序列同方向单调(同时增或同时减)时所得两两乘积之和最大；反方向单调(一增一减)时所得两两乘积之和最小.注意等号成立的条件是其中一个序列为常数序列.探究2排序原理的思想是什么？【提示】在解答数学问题时，常常涉及一些可以比较大小的量，它们之间并没有预先规定大小顺序，那么在解答问题时，我们可以利用排序原理的思想方法，将它们按一定顺序排列起来，继而利用不等关系来解题.因此，对于排序原理，我们要记住的是处理问题的这种思想及方法，同时要学会善于利用这种比较经典的结论来处理实际问题.若某网吧的3台电脑同时出现了故障，对其维修分别需要45min,25min和30min，每台电脑耽误1min，网吧就会损失元.在只能逐台维修的条件下，按怎样的顺序维修，才能使经济损失降到最小？【精彩点拨】这是一个实际问题，需要转化为数学问题.要使经济损失降到最小，即三台电脑维修的时间与等候的总时间之和最小，又知道若维修第一台所用时间t1min时，三台电脑等候维修的总时间为3t1min，依此类推，等候的总时间为3t1＋2t2＋t3min，求其最小值即可.【自主解答】设t1，t2，t3为25,30,45的任一排列，由排序原理知3t1＋2t2＋t3≥3×25＋2×30＋45＝180(min)，所以按照维修时间由小到大的顺序维修，可使经济损失降到最小.1.首先，理解题意，实际问题数学化，建立恰当模型.2.三台电脑的维修时间3t1＋2t2＋t3就是问题的数学模型，从而转化为求最小值(运用排序原理).[再练一题]4.有5个人各拿一只水桶到水龙头接水，如果水龙头注满这5个人的水桶需要时间分别是4分钟，8分钟，6分钟，10分钟，5分钟，那么如何安排这5个人接水的顺序，才能使他们等待的总时间最少？【解】根据排序不等式的反序和最小，可得最少时间为4×5＋5×4＋6×3＋8×2＋10×1＝84(分钟).即按注满时间为4分钟，5分钟，6分钟，8分钟，10分钟依次等水，等待的总时间最少.1.设a1，a2，a3为正数，且a1，a2，a3的任一排列为a′1，a′2，a′3，则eq\f(a1,a′1)＋eq\f(a2,a′2)＋eq\f(a3,a′3)的最小值为() 【解析】由题意，不妨设a1≥a2≥a3>0，则eq\f(1,a3)≥eq\f(1,a2)≥eq\f(1,a1)>0，∴eq\f(a1,a′1)＋eq\f(a2,a′2)＋eq\f(a3,a′3)≥eq\f(a1,a1)＋eq\f(a2,a2)＋eq\f(a3,a3)＝3，当且仅当a1＝a2＝a3时等号成立.【答案】A2.设a，b，c为正数，P＝a3＋b3＋c3，Q＝a2b＋b2c＋c2a，则P与Q的大小关系是()>Q ≥Q<Q ≤Q【解析】不妨设a≥b≥c>0，则a2≥b2≥c2>0.由排序不等式得a2a＋b2b＋c2c≥a2b＋b2c＋c2a.∴P≥Q.【答案】B3.锐角三角形中，设P＝eq\f(a＋b＋c,2)，Q＝acosC＋bcosB＋ccosA，则P，Q的关系为()≥Q ＝Q≤Q D.不能确定【解析】不妨设A≥B≥C，则a≥b≥c，cosA≤cosB≤cosC，则由排序不等式有Q＝acosC＋bcosB＋ccosA≥acosB＋bcosC＋ccosA＝R(2sinAcosB＋2sinBcosC＋2sinCcosA)＝R[sin(A＋B)＋sin(B＋C)＋sin(A＋C)]＝R(sinC＋sinA＋sinB)＝eq\f(a＋b＋c,2)＝P.【答案】C4.若c1，c2，c3是4,5,6的一个排列，则c1＋2c2＋3c3的最大值是________，最小值是________.【解析】由排序不等式，顺序和最大，反序和最小.∴最大值为1×4＋2×5＋3×6＝32，最小值为1×6＋2×5＋3×4＝28.【答案】32285.已知a，b，c为正数，a≥b≥c，求证：eq\f(a5,b3c3)＋eq\f(b5,c3a3)＋eq\f(c5,a3b3)≥e