2021年1月浙江省普通高中学业水平考试数学试题及答案

绝密★用前2021年1月江省普高中学水平考数学试注意事：1、答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2请将答案正确填写在答题卡上一、单选题1．已知集合

A

，则

A

B

（）A．C．

{4,6}

B．D．

{5}答案B【分析】根据题意，找两个集合的公共元素，即可得

A

B

.解：因为故选：

A，以

2．函数

f()

x

x

的定义域是（）A．C．

[[

(

B．D．

([答案C【分析】根据函数解析式，列不等式组

xx0

求解即可.解：根据题意可得，以x0

x

.故选：log3．33A．1

（）B．

C．

D．4答案B【分析】利用对数的运算性质计算即可得答.解：

log2log33

3

log3

.故选：4．以

为直径端点的圆方程是（）

A．

x

y

2

B．

y

2

20C．

2

D．

x2答案D【分析】由中点坐标公式求圆心坐标

，再求半径即可得答.解：解：根据题意得中点即为圆心坐标，为

，半径为r

5，所以以

为直径端点的圆方程是

x2

y

2

.故选：5．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（）A．

B．4

C．

D．

答案A【分析】根据三视图知该几何体为三棱柱，由三视图得几何元素的长度，由三棱柱的体积公式求出几何体的体积.解：如图，由三视图可知该几何体是一个平放的三棱柱，底面三角形的底边长

，高为

，几何体的高为2

，所以三棱柱的体积为

VSh

.故选：6．不等式2x(A．

的解集是（）

B．

(

xyxyxyC．xyxyxy

(3,1)

D．

((1,答案A【分析】根据题意得

，再解绝对值不等式即可得答.解：解：由指数函数y2在R

上单调递增，2

所以

，进而得

，即

x3

.故选：7．若实数满不等式组

xyx1,，yx1,

的最大值是（）A答案C

B．4C．6【分析实数满的约束条件画出可行域

xy

化为

y

，平移直线

，由直线在y轴的截距最大时，目标函数取得最大值求.解：由实数满约束条件

xyx1,x1,

，画出可行域如图所示阴影部分：将

xy

，转化为

y

，平移直线

，当直线经过点

时，直线在y轴的截距最大，此时目标函数取得最大值，最大值是，故选：8．直线（）

l:40与l:3a)2

平行，则l与l间距离是1

A．

15

B．

C．

D．

答案C【分析】根据l与l平行，列式求解得1

，利用平行线间的距离公式代入求解即解因为l与l平行以12

得所

l:3xy所以l与2l2

间的距离为

d

2

2

35

.故选：9中

BC

所对的边分别为

bc

A

3则

）A．

B．

或6

C．

D．

2或答案D【分析】根据A

3，用正弦理得到2sinB3A求.解：因为在ABC中，b

3，所以sinA

3因为

，所以sin

32

，因为则

,B

或3故选：10．知平面直线l，下列说正确的是（）A．若

l

,l//

，则/

B．若

l//l则/

C．若

l则

D．若

ll则答案C【分析】根据线面位置关系依次讨论各选项即可得答.解：解：对于A选，若

l

,l

，则//

或相交，故A选不正确；对于B选，若

ll则/

或相交，故B选不正确；对于C选，若

l为面面垂直的判定定理，故C选项正确；

2222对于D选，若2222

ll则/

，故D选不正确故选：11．

ab，则

”是“a

”的（）A．充分不必要条件C．充要条件答案A

B．必要不充分条件D．既不充分也不必要条件【分析】结合

ab

，

2ab和分，必要条件的念求解即.解：解：当

，由于

ab，a

2

2

，故充分性成立；当

ab，不设b，

2

2

成立，

不成立，故必要性不成立故“

”是“

”的充分不必要条件故选：12．数

fx)

sinxln

的图象大致是（）A．B．C．D．答案A【分析据件分析出

f

的奇偶性取殊值计算函值分析得到

f

的大致图象解：因为

x2+2

，且

f

的定义域为R

关于原点对称，所以

f

是奇函数，所以排除BC，

34510033451003又因为当

且x较时，可取

，所以

f

sin

，所以排除D，故选：点评：本题考查根据函数解析式辨别函数图象，难度一.辨别函数图象的常用方法：分析函数的奇偶性、单调性，计算特殊值的大小.13．知数列

n

项为

，且满足

a1

n

1an

,

*

，则（）A．

40

100

B．

40

100C．

40

D．

40答案D【分析】首先通过列举数列的项，得到数n

列利用周期判断选.解：

2

311113，a，124

，……所以数列

n

为周期的周期数列，前项和

3

，a40

1

所以a1100

，4040

，

，所以

40

.故选：点评：关键点点睛：本题的关键是根据递推公式，列举数列周期数列

n

判数列是14．图，正方体

BCD1

中，

,分为棱,A11

的中点，则异面直线DE与AF所角的余弦值是（）

0,0,A．

B．

C．

31010

D．

答案A【分析】取

的中点N，接,FN,可四边形为平行四边形，所以/DE

，则

（或其补角）为异面直线DE与所角，在

中由余弦定理可求.解：取

的中点

，接EN,FN,AN由N分为CD,A11

的中点，则

EN//且D111在正方体中

/A且ADA111

,所

//且AD所以四边形为平行四边形，所以

/DE则FAN

（或其补角）为异面直线DE与所成.设正方体的棱长为2，则在中

12

DB211

,5所以

FAN

AF

AN2542AF5故选：点评：思路点睛：平移线段法是求异面直线所成角的常用方法，其基本思路是通过平移直线，把异面直线的问题化归为共面直线问题来解决，具体步骤如下：（1）平移：平移异面直线中的条或两条，作出异面直线所成的角；（2）认定：证明作出的角就是求异面直线所成的角；（3）计算：求该角的值，常利解三角形；（4）取舍：由异面直线所成的的取值范围

，当所作的角为钝角时，应取它的补角作为两条异面直线所成的角．15．简谐运动的图象如图所示若A,两经过x秒分别运动到图象上EF两，则下列结论不一定成立的是（）

假设0FFx220000，0000BF,cosx200EF假设0FFx220000，0000BF,cosx200EFcos00000A．ABC．BF答案B

B．ABEFD．AB【分析】简谐运动的图象求出三角函数的表达式，设出的坐标表示逐一验证四个选项即可得正确答.

,F

两点的坐标，利用数量积解：设

f

x

，由图知A

2

，解得

2

，所以

f

，E

2

0

，AB

EF

2

，

，AEx2对于选项AAB，

2

sin2

，所以ABEF，选项成立对于选项B：AB，EFcosx2

2

cosx

显然EF最大为，AB不立，故选项B不立；对于选项C：x0

，BF0

，所以BF，选项C成立对于选项D：

ABcos

x0

xBFcos

x0

00F20000F200tfx所以

ABBF2

2

cosx2

，因为

sin

x

，所以

x

，即AB，所以AB，故选项成，故选：点评关点点睛本题的关键点是求出三角函数的表达式

f

x

根点与点时间隔相差1秒，若设,sin

2

0

这是解题的关键点16已知函数

fx

1lnx,xxx

则函数

f

的零点个数

）A．2

B．

C．

D．

答案D【分析】令

tf

，利用代数式法结合零点存在定理得出函数

的零点tt3

，然后作出函数

tf1

、t

、

t的图象，观察三条直线

t1

、

、

t

与函数

tf

x

的图象的交点个数，由此可得出结论.解：令

lnx

.①当

t

时，

f

1t

，则函数

上单调递增，由于

f

12

，由零点存在定理可知，存在

t1

；②当

t

时，

f

t，f

t，解得t23

.作出函数

tf1

、

、t的图象如下图所示：

由图象可知，直线

t1

与函数

tf

的图象有两个交点；直线

t

与函数

tf

的图象有两个交点；直线

t

与函数

tf

的图象有且只有一个交点.综上所述，函数

f

的零点个数为.故选：点评：思路点睛：求解复合函数的零点个数，步骤如下：（1）确定内层函数与外层函数（2）求出外层函数的零点

i

n

；（3）定直线

i

n

与内层函数的交点个数

i

，由此可得到原函数的零点个数为

a13

a

n

.17如图圆

yaa2

的右焦点为

FA

分别为椭圆的上下点P是椭圆上一点，

AP/BF,|

，记椭圆的离心率为

e

，则e

）

2aa22a222b32aa22a222b3aA．

22

B．

C．

D．

158答案B.【分析】首先求直线方程，求点的坐标，根据PBAF于的次方程，再求2

，整理为关解：

BF

c

，所以直线

bAP:yx

，与椭圆方程联立

2cx

，所以点P的横坐标是

2a2ca

，y

b3a

，即2a2cP,

，

22a2

2

2a

2

理：4c6a2c4，边同时除以a6得44e，

，

，所以4

，

2

178

，或

178

（舍）故选：点评：方法点睛：本题考查求椭圆离心率，求椭圆离心率是常考题型，涉及的方法包含1.根

b

直接求2.根据条件建立关于的齐次方程求解3.据几何关系找到b,c

的等量关系求解.18．图，在三棱锥

D

中，ABBCDA

，

ABCF

分别为棱

BCDAAC

的中点，记直线与面BOD

所成角为，的值围是（）

0,,432,0,,432,A．

B．

C．

D．

答案C【分析】补全底面为正方形ABCG，正方形性质有面

GDB

面

ABCG

，进而可证ECHF

为平行四边形

CHO)

为直线EF与面

所成角eq\o\ac(△,，)eq\o\ac(△,)ABD中由余弦定理知

DAB

，结合棱锥侧面为全等三角形(0,)

，即可求的值范.解：由ABBC，90底补全为方形ABCG，下图示，O为ABCG对角线交点且GB

，又

CDDA

有

DO

，DO

，∴

面

GDB

，而

AC

面

ABCG

，故面

GDB

面

ABCG

，若H为DG的点

,

为棱

BC

的中点FH//AG

且AGFH

，而

//

，

AG

，有平且相等，即

为平行四边形.∴可将平至HC直线EF与面所角为CHO

)

，且Rt

中

90

，令

CD

，OC

2，BD

OC，tan∴△中22ABDABBD2

DAB

，

2∵DCBDCG，(0,2

)

，∴

2

，解得

（

tan

舍去综上有

)4

，故选：点评：关键点点睛：补全几何体，应用正方形、中位线、平行四边形性质，根据线面角的定义确定对应的平面角，结合余弦定理及空间角的范围，求线面角的范.二、填空题19．知平面向量ab满|b则|______.答案【分析】根据|ba，解：因为||b所以|

，由||

a

2

，

，故答案为：320．图，正方形内的图形来自国古代的太极.劳而充满智慧的我国古代劳动人民曾用太极图解释宇宙现.太图由正方形的内切圆简称大圆)和两个互相外切且半径相等的圆简小圆)的圆弧组成，两个小圆与大圆均内.若正方形的边长为，则以两个小圆的圆心图两个黑白点视为小圆的圆)焦点方形对角线所在直线为渐近线的双曲线实轴长_______.答案2

x2【分析得曲线的渐近线方程为x2

y

c

a

得a

，故实轴为.解：解：以两焦点所在直线为轴，两焦点所在线段的中垂线为轴立直角坐标系，设双曲线的焦距为2c，由题意得双曲线的渐近线方程为a,所以.，进而得

y

，

4

，故双曲线的实轴长为：22.故答案为：2点评本解题的关键在于根据立适当坐标系而根据题意得该双曲线的渐近线为y

，

4

，进而求解，考查数学建模能力与运算求解能力，是中档.21．知

aR,

，若存在实数x，使得

bx|

bax

2

成立，则的值范围是_______.答案【分析】不等式两边同除以b，将题意转化为

x

在x上解，即xtxxt12

在x上有解，设

xf()，g()，x，xx2即

tfx)且tg(x)min

max

，再求出函数对应最值即得结.解：解：因为b，不等式两边同除以b，得

x

，b

，即

x22不等式x22

x2在上有解去绝对值即得tx

2x，即

xtx即xt12

在x

上有解，设

f()

x，()xx2

，

x

，即

tfx)

min

且t()

max

即可，由

f()

x

在x[0,1)上[1,2)

，

1f

，故

t()min

；由

)

xx2

x

x

，利用基本不等式

x

2

，当且仅当

x

2x

即x

时等号成立，故(x)

22

，即(x)

，故t2

，综上：的值范围是

b，即的值范围是b

.故答案为：点评：方法点睛：由不等式恒成立（或能成立）求参数（或范围）时的常用方法：（1）对不等式变形，分离参数根据分离参数后的结果，构造函数，求出函数的最值，进而可求出结果；（2）根据不等式，直接构成函，利用分类讨论求函数的最值，即可得出结.三、双空题22．等比数列____.答案421

q，前项和为.若aan

，则，【分析】首先根据

aq3a

得到q再计算S即可3

ff解：因为

3

1

，所以

q

.S3

11

.故答案为：4四、解答题

；2123．知函数(x)

x6

，

.（1）求

的值；（2）求函数

fx)

的最小正周期；（3）当

x0,3

时，求函数

fx)

的值域答案（））

）

[0,1]

.【分析）本题将

x

代入

f(x)

中进行计算即可得出结果；（2）本题首先可通过两角和的弦公式将函数

f(x)

转化为

f()x

，然后通过周期计算公式即可得出结果；（3题先可根据出值域

x0,3

得出x然后通过正弦函数性质即可求3解）f

1sin2

，即

f

.（2）f(x

1cosxxx63

，故

fx)

的最小正周期

.（3）因为

x

，所以,，3当

x

3

即x

3

时，

f()sinmin

；

当

x

，即

x

时，

f(x)

，故

fx)

在

20,

上的值域为[0,1].24．图，直线l与E:

2y2

相切于点，抛物线

C:

2

4

相交于不同的两点

A,

，与轴交于点

t)(t

.（1）若是抛物线C的焦点，求直线l的程；（2）若

|2PA

，求t的.答案（）3）

.【分析）由

t)(t

为抛物线焦点，即可设直线

l

的方程为

y

，根据直线

l

与圆相切可求k值，出直线方.（2）直线l的方程为

ykx，y00

y1

，由直线上两点距离公式可知

|PA|

2

00

，根据直线

l

与圆相切、|

求，切线性质：直

l

与PE互相垂直及

tkx即可求t的0值解）因为

(0,)(t

是抛物线

Cx

2

4

的焦点，所以t即T(0,1)，设直线

l

的方程为

ykx

，由直线

l

与圆

相切，得

，即k3，所以，直线l方程为3x.（2）设直线l的程为

y，Py00

11

，由

yx24y

，得

t

，

x，2

，∴

||

2

x11

2

x2

222222

2

xx102

0

00

.由直线

l

与圆E

相切，得

|t12

，即

122

.由

TE

，

|

|

，得

2

0

.所以

2y

，又

x0

，解得

y

.由直线l与PE互相垂直，得

10

，ty00i

xx2yy0000yyy00

.点评：关键点点睛：（1）由过抛物线焦点的直线与相切求斜率，写出直线方.（2）由直线与抛物线、圆的位关系，结合弦长公式、点线距离公式、两直线垂直的性质求参数.25．

a

f(x)

4x2

,xR

.（1）若

fx)

是奇函数，求

的值；（2）当时，明：

fx)

a2