高中数学人教A版1本册总复习总复习 一等奖

2023学年福建省三明市A片区高中联盟校高二（上）期末数学试卷（文科）一、选择题：本大题共12小题．每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求．1．已知命题p：∀x∈R，log2x=2023，则￢p为（）A．∀x∉R，log2x=2023B．∀x∈R，log2x≠2023C．∃x0∈R，log2x0=2023D．∃x0∈R，log2x0≠20232．为了检查某超市货架上的奶粉是否含有三聚氰胺，要从编号依次为1到50的袋装奶粉中抽取5袋进行检验，用系统抽样方法确定所选取的5袋奶粉的编号可能是（）A．5，10，15，20，25B．2，4，8，16，32C．5，6，7，8，9D．6，16，26，36，463．如果一个家庭有两个小孩，则两个孩子是一男一女的概率为（）A．B．C．D．4．双曲线的渐近线方程为（）A．x±2y=0B．2x±y=0C．D．5．甲、乙两名学生五次数学测验成绩（百分制）如图所示．①甲同学成绩的中位数大于乙同学成绩的中位数；②甲同学的平均分与乙同学的平均分相等；③甲同学成绩的方差大于乙同学成绩的方差．以上说法正确的是（）A．①②B．②③C．①③D．①②③6．用秦九韶算法求多项式f（x）=4x4+3x3+2x2+x+7的值，则f（2）的值为（）A．98B．105C．112D．1197．运行如图的程序后，输出的结果为（）A．B．C．D．8．已知椭圆过点P（﹣2，1）作弦且弦被P平分，则此弦所在的直线方程为（）A．2x﹣y﹣3=0B．2x﹣y﹣1=0C．x﹣2y﹣4=0D．x﹣2y+4=09．已知g（x）为函数f（x）=2ax3﹣3ax2﹣12ax（a≠0）的导函数，则它们的图象可能是（）A．B．C．D．10．已知倾斜角为45°的直线l过抛物线y2=4x的焦点，且与抛物线交于A，B两点，则△OAB（其中O为坐标原点）的面积为（）A．2B．C．D．811．已知f（x），g（x）都是定义在R上的函数，且满足以下条件：①f（x）=ax•g（x）（a＞0，且a≠1；②g（x）≠0；③f′（x）•g（x）＜f（x）•g′（x）．若+=，则实数a的值为（）A．B．2C．D．2或12．如图，直线x=m与抛物线x2=4y交于点A，与圆（y﹣1）2+x2=4的实线部分（即在抛物线开口内的圆弧）交于点B，F为抛物线的焦点，则△ABF的周长的取值范围是（）A．（2，4）B．（4，6）C．[2，4]D．[4，6]二、填空题：本大题共四小题，每小题5分．13．将十进制数2023（10）化为八进制数为．14．已知变量x与y的取值如下表：x2356y78﹣a9+a12从散点图可以看出y对x呈现线性相关关系，则y与x的线性回归直线方程必经过的定点为．15．已知P为圆M：（x+2）2+y2=4上的动点，N（2，0），线段PN的垂直平分线与直线PM的交点为Q，点Q的轨迹方程为．16．已知函数f（x）=xex，现有下列五种说法：①函数f（x）为奇函数；②函数f（x）的减区间为（﹣∞，1），增区间为（1，+∞）；③函数f（x）的图象在x=0处的切线的斜率为1；④函数f（x）的最小值为．其中说法正确的序号是（请写出所有正确说法的序号）．三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．设命题p：|x﹣2|＞1；命题q：x2﹣（2a+1）x+a（a+1）≤0．若¬p是¬q的必要不充分条件，求实数a的取值范围．18．某校对高二年段的男生进行体检，现将高二男生的体重（kg）数据进行整理后分成6组，并绘制部分频率分布直方图（如图所示）．已知第三组[60，65）的人数为200．根据一般标准，高二男生体重超过65kg属于偏胖，低于55kg属于偏瘦．观察图形的信息，回答下列问题：（1）求体重在[60，65）内的频率，并补全频率分布直方图；（2）用分层抽样的方法从偏胖的学生中抽取6人对日常生活习惯及体育锻炼进行调查，则各组应分别抽取多少人？（3）根据频率分布直方图，估计高二男生的体重的中位数与平均数．19．（1）执行如图所示的程序框图，如果输入的t∈[﹣1，3]，若输出的s的取值范围记为集合A，求集合A；（2）命题p：a∈A，其中集合A为第（1）题中的s的取值范围；命题q：函数有极值；若p∧q为真命题，求实数a的取值范围．20．已知双曲线C：﹣=1（a＞0，b＞0）．（1）有一枚质地均匀的正四面体玩具，玩具的各个面上分别写着数字1，2，3，4．若先后两次投掷玩具，将朝下的面上的数字依次记为a，b，求双曲线C的离心率小于的概率；（2）在区间[1，6]内取两个数依次记为a，b，求双曲线C的离心率小于的概率．21．已知椭圆C：的中心在坐标原点O，对称轴在坐标轴上，椭圆的上顶点与两个焦点构成边长为2的正三角形．（1）求椭圆C的标准方程；（2）若斜率为k的直线l经过点M（4，0），与椭圆C相交于A，B两点，且，求k的取值范围．22．已知函数．（1）当a=1时，求曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；（2）当a＞0时，若函数f（x）在[1，e]上的最小值记为g（a），请写出g（a）的函数表达式．

2023学年福建省三明市A片区高中联盟校高二（上）期末数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题．每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求．1．已知命题p：∀x∈R，log2x=2023，则￢p为（）A．∀x∉R，log2x=2023B．∀x∈R，log2x≠2023C．∃x0∈R，log2x0=2023D．∃x0∈R，log2x0≠2023【分析】根据全称命题的否定是特称命题进行判断即可．【解答】解：命题是全称命题，则命题的否定是特称命题，即∃x0∈R，log2x0≠2023，故选：D．【点评】本题主要考查含有量词的命题的否定，根据全称命题的否定是特称命题是解决本题的关键．2．为了检查某超市货架上的奶粉是否含有三聚氰胺，要从编号依次为1到50的袋装奶粉中抽取5袋进行检验，用系统抽样方法确定所选取的5袋奶粉的编号可能是（）A．5，10，15，20，25B．2，4，8，16，32C．5，6，7，8，9D．6，16，26，36，46【分析】利用系统抽样的性质求解．【解答】解：∵要从编号依次为1到50的袋装奶粉中抽取5袋进行检验，用系统抽样方法确定所选取的5袋奶粉的编号，∴所选取的5袋奶粉的编号应该分别在1～10，11～20，21～30，30～40，41～50中各一袋，且所选取的5袋奶粉的编号间隔相等，由此能排除A、B、C，用系统抽样方法确定所选取的5袋奶粉的编号可能是D．故选：D．【点评】本题考查用系统抽样方法确定所选取样本的编号的求法，是基础题，解题时要注意系统抽样的性质的合理运用．3．如果一个家庭有两个小孩，则两个孩子是一男一女的概率为（）A．B．C．D．【分析】利用列举法求出基本事件空间，由此能求出结果．【解答】解：一个家庭有两个小孩，基本事件为：{男男}，{女女}，{男女}，{女男}，∴两个孩子是一男一女的概率为p=．故选：C．【点评】本题考查概率的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意列举法的合理运用．4．双曲线的渐近线方程为（）A．x±2y=0B．2x±y=0C．D．【分析】由双曲线﹣=1（a，b＞0）的渐近线方程为y=±x，即可得到所求双曲线的渐近线方程．【解答】解：由双曲线﹣=1（a，b＞0）的渐近线方程为y=±x，可得双曲线的渐近线方程为y=±x．故选：D．【点评】本题考查双曲线的渐近线方程，注意运用双曲线的方程和渐近线方程的关系，考查运算能力，属于基础题．5．甲、乙两名学生五次数学测验成绩（百分制）如图所示．①甲同学成绩的中位数大于乙同学成绩的中位数；②甲同学的平均分与乙同学的平均分相等；③甲同学成绩的方差大于乙同学成绩的方差．以上说法正确的是（）A．①②B．②③C．①③D．①②③【分析】根据茎叶图中的数据，求出甲、乙两同学成绩的中位数、平均数与方差即可．【解答】解：根据茎叶图中的数据，得；甲同学成绩的中位数是90，乙同学成绩的中位数是90，中位数相等，①错误；甲同学的平均分是=（87+89+90+91+93）=90，乙同学的平均分是=（88+89+90+91+92）=90，平均分相等，②正确；甲同学成绩的方差是=[（﹣3）2+（﹣1）2+02+12+32]=4，乙同学成绩的方差是=[（﹣2）2+（﹣1）2+02+12+22]=2，＞，③正确；综上，正确的命题是②③．故选：B．【点评】本题考查了利用茎叶图中的数据求中位数、平均数与方差的应用问题，是基础题．6．用秦九韶算法求多项式f（x）=4x4+3x3+2x2+x+7的值，则f（2）的值为（）A．98B．105C．112D．119【分析】f（x）=4x4+3x3+2x2+x+7=（（（4x+3）x+2）x+1）x+7，即可得出．【解答】解：f（x）=4x4+3x3+2x2+x+7=（（（4x+3）x+2）x+1）x+7，∴f（2）=（（（4×2+3）×2+2）×2+1）×2+7=105，故选：B．【点评】本题考查了秦九韶算法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．7．运行如图的程序后，输出的结果为（）A．B．C．D．【分析】根据程序语言的运行过程，得出程序运行后输出的S=++++；计算S的值即可．【解答】解：根据程序语言的运行过程，得该程序运行后输出的是S=++++；计算S=（1﹣）+（﹣）+（﹣）+（﹣）+（﹣）=1﹣=．所以输出S=．故选：C．【点评】本题利用程序语言考查了数列求和的应用问题，是基础题目．8．已知椭圆过点P（﹣2，1）作弦且弦被P平分，则此弦所在的直线方程为（）A．2x﹣y﹣3=0B．2x﹣y﹣1=0C．x﹣2y﹣4=0D．x﹣2y+4=0【分析】判断点P在椭圆内，设弦的端点的坐标为（x1，y1），（x2，y2），代入椭圆方程，运用作差法，结合直线的斜率公式和斜率公式，可得斜率，再由点斜式方程即可得到所求直线方程．【解答】解：将P（﹣2，1）代入椭圆方程可得：+＜1，即点P在椭圆内，设弦的端点的坐标为（x1，y1），（x2，y2），可得+=1，+=1，相减可得+=0，则弦所在直线的斜率为=﹣，由中点坐标公式可得，x1+x2=﹣4，y1+y2=2，可得斜率为﹣=，即有直线的方程为y﹣1=（x+2），即为x﹣2y+4=0．故选：D．【点评】本题考查椭圆的方程的运用，直线方程的求法，注意运用点差法，以及中点坐标公式，考查运算能力，属于中档题．9．已知g（x）为函数f（x）=2ax3﹣3ax2﹣12ax（a≠0）的导函数，则它们的图象可能是（）A．B．C．D．【分析】利用导数与函数之间的关系．把握住导数的正负确定出函数的单调区间，根据变化趋势选出恰当的图象．确定出答案．【解答】解：∵f（x）=2ax3﹣3ax2﹣12ax（a≠0），∴g（x）=f′（x）=6ax2﹣6ax﹣12a=6a﹣，对称轴x=，而f′（﹣1）=f′（2）=0，根据f′（x）＞0时，y=f（x）递增；f′（x）＜0时，y=f（x）递减可得．①中函数的图象的增减趋势与导函数的正负区间是吻合的，可能正确；而②④中的对称轴不是，③中函数的图象的增减趋势与导函数的正负区间不吻合，故错误，故选：A．【点评】本题考查函数与其导函数的关系，函数的递增区间即为导函数为正的区间，函数的递减区间即为导函数为负的区间，根据这个依赖性可以确定出函数图形吻合的是哪一个．10．已知倾斜角为45°的直线l过抛物线y2=4x的焦点，且与抛物线交于A，B两点，则△OAB（其中O为坐标原点）的面积为（）A．2B．C．D．8【分析】先确定抛物线的焦点坐标，可得直线l的方程，与抛物线方程联立，求弦AB的长，再求出原点到直线的距离，即可求得△OAB的面积．【解答】解：抛物线C：y2=4x的焦点F（1，0），∵直线l：y=x+b经过抛物线的焦点，∴b=﹣1，∴直线l：y=x﹣1，由抛物线的定义：|AB|=xA+xB+2，将直线与抛物线方程联立，消去y可得x2﹣6x+1=0，∴xA+xB=6，∴|AB|=8，∵原点到直线的距离为d=，∴S==2．故选：B．【点评】本题考查三角形面积的计算，考查直线与抛物线的位置关系，解题的关键是求出弦AB的长．11．已知f（x），g（x）都是定义在R上的函数，且满足以下条件：①f（x）=ax•g（x）（a＞0，且a≠1；②g（x）≠0；③f′（x）•g（x）＜f（x）•g′（x）．若+=，则实数a的值为（）A．B．2C．D．2或【分析】先根据+=，得到含a的式子，求出a的两个值，再由已知，利用导数判断函数=ax的单调性求a的范围，判断a的两个之中哪个成立即可．【解答】解：由+=，得a1+a﹣1=，所以a=2或a=．又由f（x）•g′（x）＞f′（x）•g（x），即f（x）g′（x）﹣f′（x）g（x）＞0，也就是[]′=﹣＜0，说明函数=ax是减函数，即0＜a＜1，故a=．故选：A．【点评】本题考查了应用导数判断函数的单调性，做题时应认真观察．12．如图，直线x=m与抛物线x2=4y交于点A，与圆（y﹣1）2+x2=4的实线部分（即在抛物线开口内的圆弧）交于点B，F为抛物线的焦点，则△ABF的周长的取值范围是（）A．（2，4）B．（4，6）C．[2，4]D．[4，6]【分析】圆（y﹣1）2+x2=4的圆心为（0，1），与抛物线的焦点重合，可得|FB|=2，|AF|=yA+1，|AB|=yB﹣yA，即可得出三角形ABF的周长=2+yA+1+yB﹣yA=yB+3，利用1＜yB＜3，即可得出．【解答】解：圆（y﹣1）2+x2=4的圆心为（0，1），与抛物线的焦点重合，∴|FB|=2，|AF|=yA+1，|AB|=yB﹣yA，∴三角形ABF的周长=2+yA+1+yB﹣yA=yB+3，∵1＜yB＜3，∴三角形ABF的周长的取值范围是（4，6）．故选：B．【点评】本题考查了抛物线与圆的标准方程及其性质、三角形的周长，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．二、填空题：本大题共四小题，每小题5分．13．将十进制数2023（10）化为八进制数为3740（8）．【分析】将十进制数2023转化为八进制数，利用除K取余法直接计算得解．【解答】解：2023÷8=252…0252÷8=31…431÷8=3…73÷8=0…3∴化成8进制是3740（8）．故答案为：3740（8）．【点评】本题考查带余除法，进位制的转化，由十进制数转化为八进制数，用除K取余法计算即可，属于基础题．14．已知变量x与y的取值如下表：x2356y78﹣a9+a12从散点图可以看出y对x呈现线性相关关系，则y与x的线性回归直线方程必经过的定点为（4，9）．【分析】由最小二乘法原理可知线性回归方程必经过数据中心（）．【解答】解：==4，==9，∴线性回归方程必经过（4，9）．故答案为（4，9）．【点评】本题考查了线性回归方程的特点，属于基础题．15．已知P为圆M：（x+2）2+y2=4上的动点，N（2，0），线段PN的垂直平分线与直线PM的交点为Q，点Q的轨迹方程为x2﹣=1．【分析】由中垂线的性质可知|QN|=|PQ|，故而||QN|﹣|QM||=||PQ|﹣|QM||=|PM|=2，所以Q的轨迹为以M，N为焦点的双曲线．【解答】解：∵Q在PN的中垂线上，∴|QN|=|PQ|，∴||QN|﹣|QM||=||PQ|﹣|QM||=|PM|=2，∴Q的轨迹为以M，N为焦点的双曲线．设双曲线方程为，则，又∵a2+b2=c2，∴a2=1，b2=3，∴点Q的轨迹方程为x2﹣=1．故答案为x2﹣=1．【点评】本题考查了双曲线的定义，属于基础题．16．已知函数f（x）=xex，现有下列五种说法：①函数f（x）为奇函数；②函数f（x）的减区间为（﹣∞，1），增区间为（1，+∞）；③函数f（x）的图象在x=0处的切线的斜率为1；④函数f（x）的最小值为．其中说法正确的序号是③④（请写出所有正确说法的序号）．【分析】根据奇函数的定义判断①，求出函数的导数，得到函数的单调区间，判断②③④即可．【解答】解：①f（﹣x）=（﹣x）•≠﹣f（x），不是奇函数，故①错误；②f′（x）=（1+x）ex，当x∈（﹣∞，﹣1）时，f′（x）＜0，当x∈（﹣1，+∞）时，f′（x）＞0，∴f（x）的单调递增区间为（﹣1，+∞），单调递减区间为（﹣∞，﹣1），故②错误；③∵f′（x）=（1+x）ex，∴f′（0）=1，即函数f（x）的图象在x=0处的切线的斜率为1；故③正确；④f（x）的单调递增区间为（﹣1，+∞），单调递减区间为（﹣∞，﹣1），∴f（x）的最小值是f（﹣1）=﹣，故④正确；故答案为：③④．【点评】本题考查了利用导研究函数的单调性极值与最值问题，考查函数的奇偶性问题，是一道基础题．三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．设命题p：|x﹣2|＞1；命题q：x2﹣（2a+1）x+a（a+1）≤0．若¬p是¬q的必要不充分条件，求实数a的取值范围．【分析】由p：|x﹣2|＞1，解出x的范围．由q：x2﹣（2a+1）x+a（a+1）≤0，解出x的范围．由于¬p是¬q的必要不充分条件，可得p是q的充分不必要条件．【解答】解：由p：|x﹣2|＞1，解得x＜1或x＞3．…（3分）由q：x2﹣（2a+1）x+a（a+1）≤0得（x﹣a）[x﹣（a+1）]≥0，解得x≤a或x≥a+1．…（6分）∵¬p是¬q的必要不充分条件，∴p是q的充分不必要条件．…（8分）∴，则1≤a≤2．∴实数a的取值范围是[1，2]．（10分）【点评】本题考查了不等式的解法、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．18．某校对高二年段的男生进行体检，现将高二男生的体重（kg）数据进行整理后分成6组，并绘制部分频率分布直方图（如图所示）．已知第三组[60，65）的人数为200．根据一般标准，高二男生体重超过65kg属于偏胖，低于55kg属于偏瘦．观察图形的信息，回答下列问题：（1）求体重在[60，65）内的频率，并补全频率分布直方图；（2）用分层抽样的方法从偏胖的学生中抽取6人对日常生活习惯及体育锻炼进行调查，则各组应分别抽取多少人？（3）根据频率分布直方图，估计高二男生的体重的中位数与平均数．【分析】（1）利用频率分布直方图的性质能求出求出体重在[60，65）内的频率，由此能补全的频率分布直方图．（2）设男生总人数为n，由，可得n=1000，从而体重超过65kg的总人数300，由此能求出各组应分别抽取的人数．（3）利用频率分布直方图能估计高二男生的体重的中位数与平均数．【解答】解：（1）体重在[60，65）内的频率=1﹣（++++）×5==，补全的频率分布直方图如图所示．…（4分）（2）设男生总人数为n，由，可得n=1000体重超过65kg的总人数为（++）×5×1000=300在[65，70）的人数为×5×1000=150，应抽取的人数为，在[65，70）的人数为×5×1000=100，应抽取的人数为，在[75，80）的人数为×5×1000=50，应抽取的人数为．所以在[65，70），[70，75），[75，80]三段人数分别为3，2，1．…（8分）（3）中位数为60kg平均数为（×+×+×+×+×+×）×5=（kg）…（12分）【点评】本题考查频率的求法，考查频率分布直方图的作法，考查中位数、平均数的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意分层抽样、频率分布直方图的性质的合理运用．19．（1）执行如图所示的程序框图，如果输入的t∈[﹣1，3]，若输出的s的取值范围记为集合A，求集合A；（2）命题p：a∈A，其中集合A为第（1）题中的s的取值范围；命题q：函数有极值；若p∧q为真命题，求实数a的取值范围．【分析】（1）由程序框图可知，分段函数的对称轴为t=2，在[1，2]上单调递增，在[2，3]上单调递减，解得smax=3，smin=2，即可解得集合A．（2）函数有极值，等价于f′（x）=x2+2ax+1=0有两个不相等的实数根，即△=（2a）2﹣4＞0，由此能求出命题p：a＜﹣1或a＞1，利用p∧q为真命题，建立不等式组，即可解得实数a的取值范围．【解答】（本题满分为12分）解：（1）由程序框图可知，当﹣1≤t＜1时，s=2t，则s∈[﹣2，2），当1≤t≤3时，s=﹣（t﹣2）2+3，∵该函数的对称轴为t=2，∴该函数在[1，2]上单调递增，在[2，3]上单调递减．∴smax=3，smin=2，∴s∈[2，3]．综上知，s∈[﹣2，3]，集合A=[﹣2，3]．…（4分）（2）∵函数有极值，且f′（x）=x2+2ax+1，∴f′（x）=0有两个不相等的实数根，即△=（2a）2﹣4＞0，解得a＜﹣1或a＞1，即命题p：a＜﹣1或a＞1．…（8分）∵p∧q为真命题，∴则，解得﹣2≤a＜﹣1或1＜a≤3；∴实数a的取值范围是[﹣2，﹣1）∪（1，3]．…（12分）【点评】本题主要考查了选择结构的程序框图，考查函数的极大值和极小值的求法，考查实数的取值范围的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意导数性质的合理运用．20．已知双曲线C：﹣=1（a＞0，b＞0）．（1）有一枚质地均匀的正四面体玩具，玩具的各个面上分别写着数字1，2，3，4．若先后两次投掷玩具，将朝下的面上的数字依次记为a，b，求双曲线C的离心率小于的概率；（2）在区间[1，6]内取两个数依次记为a，b，求双曲线C的离心率小于的概率．【分析】（1）由双曲线C的离心率小于，得到0＜b＜2a，由此列举法能求出双曲线C的离心率小于的概率．（2）由a∈[1，6]，b∈[1，6]，以a为横轴，以b为纵轴建立直角坐标系，由几何概型能求出双曲线C的离心率小于的概率．【解答】解：（1）双曲线的离心率．因为∴．…（2分）因玩具枚质地是均匀的，各面朝下的可能性相等，所以基本事件（a，b）共有16个：（1，1），（1，2），（1，3），（1，4），（2，1），（2，2），（2，3），（2，4），（3，1），（3，2），（3，3），（3，4），（4，1），（4，2），（4，3），（4，4）．设“双曲线C的离心率小于”为事件A，则事件A所包含的基本事件为：（1，1），（2，1），（2，2），（2，3），（3，1），（3，2），（3，3），（3，4），（4，1），（4，2），（4，3），（4，4）共有12个．故双曲线C的离心率小于的概率为．…（7分）（2）∵a∈[1，6]，b∈[1，6]∴所以以a为横轴，以b为纵轴建立直角坐标系，如图所示，S阴影==21，由几何概型可知，双曲线C的离心率小于的概率为．…（12分）【点评】本题考查概率的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意列举法和几何概型的合理运用．21．已知椭圆C：的中心在坐标原点O，对称轴在坐标轴上，椭圆的上顶点与两个焦点构成边长为2的正三角形．（1）求椭