高中数学北师大版第四章函数应用函数与方程 第4章

第四章§1A级基础巩固1．函数y＝x2－5x＋6的零点是eq\x(导学号00814925)(A)A．2,3 B．－2，－3C．1,6 D．－1，－6[解析]由x2－5x＋6＝0得x＝2或3，所以y＝x2－5x＋6的零点是2,3，故选A．2．函数f(x)＝x3＋x－1的零点所在的区间是eq\x(导学号00814926)(C)A．(eq\f(3,2)，2) B．(1，eq\f(3,2))C．(eq\f(1,2)，1) D．(0，eq\f(1,2))[解析]因为f(eq\f(1,2))·f(1)＝－eq\f(3,8)×1＝－eq\f(3,8)<0，且函数f(x)在R上连续，所以函数f(x)＝x3＋x－1的零点所在区间是(eq\f(1,2)，1)．3．若方程2ax2－x－1＝0在区间(0,1)内恰有一解，则a的取值范围是eq\x(导学号00814927)(D)A．a<－1 B．－1<a<1C．0≤a<1 D．a>1[解析]令f(x)＝2ax2－x－1，因为方程f(x)＝0在区间(0,1)内恰有一解，所以函数f(x)在区间(0,1)内恰有一个零点．所以f(0)·f(1)<0，即－1·(2a－2)所以a>1.故选D．4．函数f(x)＝x3－2x2＋2x的零点个数为eq\x(导学号00814928)(B)A．0 B．1C．2 D．3[解析]∵f(x)＝x3－2x2＋2x＝x(x2－2x＋2)，又x2－2x＋2＝0，Δ＝4－8<0，∴x2－2x＋2≠0，∴f(x)的零点只有1个，故选B．5．函数f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x2＋2x－3，x≤0,－2＋x2，x>0))的零点个数为eq\x(导学号00814929)(B)A．3 B．2C．1 D．0[解析]令f(x)＝0，则x2＋2x－3＝0(x≤0)或x2－2＝0(x>0)，解得：x＝－3或x＝eq\r(2)符合题意，故选B．6．下列函数在区间[1,2]上一定有零点的是eq\x(导学号00814930)(D)A．f(x)＝3x2－4x＋5 B．f(x)＝x3－5x－5C．f(x)＝lnx－3x＋6 D．f(x)＝ex＋3x－6[解析]对于A：f(1)＝4，f(2)＝9，f(1)·f(2)>0，无法判断f(x)在[1,2]上是否有零点；对于B：f(1)＝－9，f(2)＝－7，f(1)·f(2)>0，同选项A一样，无法判断；对于C：f(1)＝3，f(2)＝ln2，f(1)·f(2)>0，同选项A、B一样，无法判断；对于D：f(1)＝e－3，f(2)＝e2，f(1)·f(2)<0，所以f(x)在[1,2]上有零点．7．已知函数f(x)＝x2＋ax＋b(a，b∈R)的值域为[0，＋∞)，若关于x的方程f(x)＝c(c∈R)有两个实根m，m＋6，则实数c的值为\x(导学号00814931)[解析]由函数f(x)＝x2＋ax＋b的值域为[0，＋∞)知方程x2＋ax＋b＝0有两相等实根，从而Δ＝a2－4b＝0，①，方程f(x)＝c可化为x2＋ax＋b－c＝0，由一元二次方程根与系数的关系可得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m＋m＋6＝－a,mm－6＝b－c))∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝－2m－6,b＝m2－6m＋c))代入①，得(－2m－6)2－4(m2－6m＋c整理，得c＝9.8．设函数f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x2＋bx＋cx≤0,2x>0))，若f(－4)＝2，f(－2)＝－2，则关于x的方程f(x)＝x的解的个数是\x(导学号00814932)[解析]由已知eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(16－4b＋c＝2,4－2b＋c＝－2))得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(b＝4,c＝2))，∴f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x2＋4x＋2x≤0,2x>0))，作图像如图所示．由图像可知f(x)＝x的解的个数为3.9．若函数f(x)＝x2－ax－b的两个零点是2和3，求函数g(x)＝bx2－ax－1的零点.eq\x(导学号00814933)[解析]由已知方程得x2－ax－b＝0的两根为2和3.∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2＋3＝a，,2×3＝－b，))∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝5，,b＝－6.))∴g(x)＝－6x2－5x－1.令－6x2－5x－1＝0得6x2＋5x＋1＝0，∴x＝－eq\f(1,2)或x＝－eq\f(1,3).∴函数g(x)＝－6x2－5x－1的零点是－eq\f(1,2)，－eq\f(1,3).10．已知二次函数f(x)＝x2－(k－2)x＋k2＋3k＋\x(导学号00814934)(1)当函数f(x)有两个不同零点时，求k的取值范围；(2)若－1和－3是函数的两个零点，求k的值．[解析](1)令f(x)＝0，得x2－(k－2)x＋k2＋3k＋5＝0.由Δ＝(k－2)2－4(k2＋3k＋5)＝－3k2－16k－16>0，知3k2＋16k＋16<0，即(3k＋4)(k＋4)<0，∴－4<k<－eq\f(4,3).∴当函数有两个不同零点时，k的取值范围为(－4，－eq\f(4,3))．(2)∵－1和－3是函数f(x)的两个零点，∴－1和－3是方程x2－(k－2)x＋k2＋3k＋5＝0的两根．∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－1－3＝k－2，,－1×－3＝k2＋3k＋5.))解之得k＝－2.B级素养提升1．已知函数f(x)＝eq\f(6,x)－log2x.在下列区间中，包含f(x)零点的区间是eq\x(导学号00814935)(C)A．(0,1) B．(1,2)C．(2,4) D．(4，＋∞)[解析]因为f(1)＝6－log21＝6>0，f(2)＝3－log22＝2>0，f(4)＝eq\f(3,2)－log24＝－eq\f(1,2)<0，所以函数f(x)的零点所在区间为(2,4)，故选C．2．若函数f(x)＝ax－x－a(a>0且a≠1)有两个零点，则实数a的范围是eq\x(导学号00814936)(A)A．(1，＋∞) B．(0,1)C．(2，＋∞) D．(0,1)∪(1,2)[解析]令y1＝ax，y2＝x＋a，则f(x)＝ax－x－a有两个零点，即函数y1＝ax与y2＝x＋a有两个交点．(1)当a>1时，y1＝ax过(0,1)点，而y2＝x＋a过(0，a)点，而(0，a)点在(0,1)点上方，∴一定有两个交点．(2)当0<a<1时，(0，a)点在(0,1)点下方，由图像知只有一个交点．∴a的取值范围为a>1.3．关于x的方程mx2＋2x＋1＝0至少有一个负根，则m的范围为_m≤\x(导学号00814937)[解析]①m＝0时，x＝－eq\f(1,2)适合题意．②m≠0时，应有m<0或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m>0,－\f(2,2m)<0，,Δ≥0))解得m<0或0<m≤1.综合①②可得，m≤1.4．方程lgx＋x＝0的实数解的存在区间为(eq\f(1,10)，1).eq\x(导学号00814938)[解析]令f(x)＝lgx＋x，则f(eq\f(1,10))＝lgeq\f(1,10)＋eq\f(1,10)＝－eq\f(9,10)<0，f(1)＝lg1＋1＝1>0.∴f(eq\f(1,10))f(1)<0.而f(x)＝lgx＋x在(0，＋∞)上单调递增．∴f(x)仅有一个零点，且在(eq\f(1,10)，1)内．5．设函数f(x)＝ax＋2a＋1(a≠0)在[－1,1]上存在一个零点，求实数a的取值范围.eq\x(导学号00814939)[解析]因为函数f(x)在[－1,1]上存在零点，所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(f－1≥0,f1≤0))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(f－1≤0,f1≥0)).即f(－1)·f(1)≤0.所以(－a＋2a＋1)·(a＋2a＋1)即(a＋1)(3a＋1)≤0.解得－1≤a≤－eq\f(1,3).6．讨论方程4x3＋x－15＝0在[1,2]内实数解的存在性，并说明理由.eq\x(导学号00814940)[解析]令f(x)＝4x3＋x－15，∵y＝4x3和y＝x－15在[1,2]上都为增函数．∴f(x)＝4x3＋x－15在[1,2]上为增函数，∵f(1)＝4＋1－15＝－10<0，f(2)＝4×8＋2－15＝19>0，∴f(x)＝4x3＋x－15在[1,2]上存在一个零点，∴方程4x3＋x－15＝0在[1,2]内有一个实数解．C级能力拔高求函数y＝(ax－1)(x＋2)的零点.eq\x(导