2021届新高考数学第三次联考试题详解

2021届新高考数学第次联考试题详解时间：120分钟总分：分一、选择题：本题共8小题，每题分共40分。每小题给出的四个选项中，只有一项是合题目要求的。1．复数

2)i

的虚部是（）A．

i

B．

C．

D．

2．已知集合

A

y

x2R

A

B

（）A．

B．

C．

D．

3．某小区有1000户居民，各户月的用电量近似服从正态分布N(300,100)，用电量在320以上的居民户数估计约为（）参考据：若随机变量服正态分布N(

)

，则P(

，(

，P

.A．17B．23．34D．464．已知函数

f

x|

的图象大致为（）A．B．CD．5．设0.若是与的比中项，则

1b

的最小值（）A．

B．

8

C．

D．46．中医是中国传统文化的瑰宝中医方剂不是药物的任意组合，而是根据中药配伍原则，总结临经验，用若干药物配制组成的药方，以到取长补短、辨证论治的目中医传统名方“八珍汤”是由补气名方“四君子汤人参白术茯炙草四味药组成和补血名“四物汤熟地黄白芍当归、川芎四味药组成两个方共八味药组合而成的主治气血两虚证方.现“八珍汤的八味药中任四味，取到的四味药刚好组成“四君子”或“四物汤”的概率是（）A．

B．

C．

1840

D．

116801

xA．21227．平行四边形ABCD中4,4,xA．2122

的取值AB．

C．[0,8]D．[-1,0]8．设

f

是定义在

,00,22

上的奇函数，其导函数为

f

，当

时，f

xsin

，则不等式ffsinx

的解集为（）,00,3

B．

3C．

,3

D．

33二、选择题：本题共4小题，每题分共20分。每小题给出的选项中，有多项符合题目求。全部选对的得5分，有选错的得0分部分选对的得2分9已知m是条不重合的直线，是三个两两不重合的平面则下列命题正确的（）A．若

，

，//

，则

B．若

，

则//C．若//，n//，

m,

，则

//

D．若，则10知函数

f

0,

π2

的部分图象如图所示，下列说法正确的是）A．函数

f

π的图象关于点

对称B．函数

f

的图象关于直线

x

π

对称C．函数

f

在

2ππ

单调递减D．该图象向右平移

π

个单位可得

x

的图象11．已知、分别为双曲线

y22bb0)的左、右点，且FF，点P为双线右支b一点，为

△PFF

的内心，若

eq\o\ac(△,)IPF

eq\o\ac(△,)IPF

eq\o\ac(△,)IFF

成立，则下列结论正确的有（）2

nnA．当

PFx轴，PFF3012

B．离心率

C．

D．点I的横坐标为定值a12．已知曲线

:x2

n1,2,)

.从点

P向线

n

引斜率为

k(kn

的切线

l

n

，切点为

Pyn

n

.则下列结论正确的是（）A．数列

{}

的通项为x

B．数列

{y}

的通项为

y

nC．当时，

x

D．

11

2

三、填空题：本题共4小题，每题5，共20分。

13．已知

(1xax27

，a1

____________．14.已知点PQ分别是圆

C:

及直线

l:y

上的动点，是坐标原点,则|OP的最小值____________15.一条标语挂在墙上语作线段AB线AB地面交点为DAB与地面垂直AD米，米，某人直立看“标语，眼睛C距离地面1，当最大时，此人脚到D的距离为____________米．16.如图四棱锥

ABCD

中PDAC

，面PAD

底面

ABCD为正方形

CDPD

.若四棱锥

的每个顶点都在球

O

的球面上，则当时球O的面积为___________当四棱锥PABCD的体积取得最大值时，二面角

的正切值为．四、解答题：本题共6小题，共70。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17分在

①

asinA

6

；

②coscos

；③2tanBbtanAc

,从这三个条件中任选一个，补到下面的横线上并作.问题:在

ABC

中，内角

,C

的对边分别为

b

，且

，____________．3

求

的面积1812分数人民币，是中国人民银行尚未发行的法定数字货币，即“数货币电子支付央行数字货币不计付利息，可用于小额、售、高频的业务场景，相比于纸币没有任何差.数字人民币试地区是深圳、苏州、雄安新区、成都未来的冬奥场景，为了解居民对数字人民币的了解程度，某区居委会随机抽取1200名社区居民参与卷测试，并将问卷得分绘制频率分布表如下：得分男性人数女性人数

3020

11060

11070

150180

130140

8050

4030（1）将居民对数字人民币的了程度分为“比较了解不低于60分）和“不太了解低于60分）两类，完成2列表，并判断是否

的把握认为“数字人民币的了解度”与“性别”有关？不太了解

比较了解

总计男性女性总计（2参与问卷测试且得分不低80分的民中照性别进行分层抽样抽取人同

n

*

名男性调查员一起组成3个环保传队若从这n中机抽取3人作为队长，且男性队长数占的期望不小于2，求的最小值.附：

K

()()(c)()(b)

，

.临界值表：(Kk0

2

)0

0.1502.072

0.1002.706

0.0503.841

0.0255.024

0.0106.635

0.0057.879

0.00110.828（数列

12

前项和满足

n

n

2n2Nn

*

（1）求数列

公式；（2）设

n

n

为非零整数，

nN

*

试确定的值，使得对任意

nN

*

，都有b

n

b

n

成立．4

20．12分）如图，在三棱台

ABCDEF

中，平面BCFE

平面

，BE=EF=FC，BC=2，AC（1）求证：⊥平面ACFD（2）求二面角－AD－的面角的余弦.2112分）已知函数f(x)lnxax（1）若函数f()

在定义域上的最大值为1，求实的；（2）设函数h()exf()，，h(x)实数b的最小整数值

对任意的x,1)

恒成立，求满足条件的22.（分）已知椭圆C

2y2a2b

的左顶点为

A

，两个焦点与短轴一个顶点构成等腰直角三角形，过点

轴不重合的直线l与椭圆于M，不同两点．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）当与MN垂直时，求的长；（Ⅲ）若过点P且平行于的直线交直线

x

于点Q，求证：线恒过定点．【答】【详解】因为

，所以虚部为2.【答】【详解】

A,

.答案详解题得

，=10以

20)(2800.9545

，5

y2222,00,,00,x0,xhy2222,00,,00,x0,xhffx3sin所以

(320)

0.023

，所以求用电量在度以上的民户数为1000×0.023=23.答】详解因为函数

f

x

定义域为

，所以函数

f

x|

为偶函数，其图象关于轴对称排除D又因为

f

，可排除B；

f

，可排除A．【答】【详解】由题意得：3b

3a

，则：11aaabba1综上可得：的最小值是

，当且仅当

时等号成立，答详解取到的四味刚好组君子汤物汤事件.依题得【答】【解】PC

C435

.CBBA)(CB((ABAD)()则PA的取值范围是1,8]

【答】【详解】令

fx

，∵

f

是定义在

上的奇函数，∴h

fx

是定义在

上的偶函数．当

时，sin，由

fsin

，得

f

，∴

f

sin2

，则在

上单调递减．将ffsinx

化为，即sinx3

，则x．26

,00,,0f312,00,,0f312对于A，又h

fx

是定义在

上的偶函数．∴

h

在

上单调递增，且

3

．当

x,0，sinx2

，将f

x

fsinx

f化为sinx

sin3

，即

，则

x

．综上，所求不等式的解集为

,032

．【答】【详解】对：若

，

则

，又

，所以

，故正确；对B：若

，则与可能平行，也可能相交，故错误；对C：若//n//，,

，由于没有强调交，故不能推出，故错误；对D：若

，根据面面垂直的判定定理，可

，故正确22答】【详解】由函数的图象可得A，期，所以Tπ

，当

x

π

时，函数取得最大值，即

f

2

，所以

ππZ2

ππππ函数2

f

23

.f2sin

，故A不正确；对于B，当

x

时，

5ππf3

，即直线

x

π

是函数

f

的一条对称轴，故B正确；对于C，当

2时，6

，∴函数f

26

不单调，故C错误；7

个单位后得21eq\o\ac(△,S)eq\o\ac(△,S)F1212nfx0,个单位后得21eq\o\ac(△,S)eq\o\ac(△,S)F1212nfx0,对于D将

f

的图象向右平移

π

2xx63

的图象即D正确.【案BCD【详解】

x

b1轴时，PFF，此时a

tanPFF2

12

，所以错；∵F12

a

2

，∴2c

22c2a

，整理得e

（为曲线的离心率∵

，∴e，所以正确设

△PFF

的内切圆半径为，由双曲线的定义得

c12

，eq\o\ac(△,S)

11PF22

，∵

eq\o\ac(△,)IPF

eq\o\ac(△,)IPF

eq\o\ac(△,)IFF

，∴

PF2

cr

，故

PFPFcc1

，所以C正.设内切圆与、PF、F212

的切点分别为M、、，可得

|PMPN|FT1

，

NT2

.由

PFFTFa，FFFTFTc12112

，可得

T2

，可得T的标为

横坐标为a，故D正；12．【案【详解设线

l:yxnn

联立

x

得

，则由

，即

n

n

2n

，得

k

n2n

（负值舍去）所以可得

n

2n，y1x，所以A对，错；nnn12n因为，2n所x

n1214n2

，故对因为

x11ny1n

，令()sinx

2cosx

.可得

在减，可知2x在8

上恒成立

dxxOdxxO又

1.所2sinn2

成立.故正确.答】【详解】令

x

得：

1a

0

，令

x

得：

a7

，

.【案1【详解】为OQ|QP表示两点间的距离，又因为P分别是圆

C:2)

2y

及直线

l:3xy

上的动点，所以|OQQP|的最小值为圆心到直线的距离半径，圆心到直线的距离所以圆上的点到直线的最小值为dr所以|OPOQ|最小值为1

105

215.【答案【解由题设如图：

ABCE

，且ACB

，∴

tanACF)

ACFtanBCF

，若设

DE米，则tan

BF,CFxCF

，7∴

7tanACB1441441x

，而

x

，∴

77144当且仅当时等号成立2xx∴由题意，[0,)2

最大时，有

tanACB

，此时人的脚到点的距离为12米.16.【答案】6，

【详解(1)．因为CD=1,则PD=2

CD

∵面PAD

，∴AB，又

PD

，∴PD面

ABCD

，则四棱锥可形成一个长方体，球的球心为的点，从而球的表面积为

)

.(2)．设

CD

四棱锥PABCD的体积V

，则

x，

0

时，

V

；当

2

时，

.9

BB故

V

，此时

ADCD

，PD.过D作

于，连接，则为二角

PC

的平面角.∵DH

25

AD，∴tanAHD5.DH答】件性选择见解析，

【详解】选①，由正弦定理得

sinsinBB

，因为

0

，所以

sinB

，所以

sinAA

，化简得

所以

cos

，因为因为

0所以32

，b)2bc

a

，

……分所以bc

，

……8分所以

ABC

1Asin232

；

……10分选②因为

CB

cos

，所以

cos，所以cosA

，因为为三角形的内角，所以

A

3

，

……5分因为

22bccos

b)bccos

6,

，所以bc

，

……8分所以

ABC

1Asin232

；

……10分选③因为

2tanBbtanAc

，所以由正弦定理可得:

tanBBAC

，可得

B2sinB

，10

可得

2sinB2sinB2sinBcosBABsinBsinCcosB

，因为

0,sinC

，所以解得

A

，因为

，所以

A

3

，

……5分因为

22

bc

b)

2

bcbccos

6,

，所以bc

，

……8分所以

ABC

13Asin232

.

……10分答（1）表格见解析，有）2.【详解）由题意得列联表如：男性女性总计

不太了解250150400

比较了解400400800

总计6505501200

……分K

的观测值k

(250800650550

，

……4分因为6.635

，所以有

99%

的把握认为居民对数字人民币的解程度与性别有.

……5分（2）由题意知，分层抽样抽取10人中男性6人，女性，随机变量所有可能取值为0，1，2，3其中

P(

CCC

，

P(

CCn4C3n

，

P(

2)

C2CnC3n

，

P(

C3nC3n

，所以随机变量分布列为P

0CC4C

1C124C

2CCC

3CC

……9分11

19．**19．**

C0C3CCC1C3n4n2，CC3C3C3Cnnn

C

C

C

，可得，

6(n6)(

(n6)((10)(9)(

，

nnn，

，∴的最小值为

……12分【案Ⅰ）

ann

（Ⅱ）

【析）由已知，

（，nN即

a

n

n

（n，

2

．∴数列

1

为首项，公差为1的等差数列．

ann

．

……5分（2）∵

ann

，∴

4n

，要使

b

n

n

恒成立，∴

n

n

n

恒成立，

……7分∴

n

n

恒成立，∴

2

n

恒成立．

……9分（ⅰ）当为数时，即n恒成立，当且仅当n时2n有小值为1，∴．（ⅱ）当为数时，即

恒成立，当且仅当n时

n

有最大值

，∴

．即

，又为非零整数，则

．综上所述，存在

，使得对任意

nN

*

，都有

n

n

．

……12分20【案Ⅰ）证明见解析Ⅱ）

．【详解Ⅰ）延长AD，BE，

CF

相交于一点，如图所示因为平面BCFE

平面

，且

AC

，

平面

，平面BCFE平BC，所以因为平面BCK，因此BFAC．

平面BCK

，由三棱台

ABCDEF

可得四边形

BCFE

为梯形，而FC

，

，故四边形

为梯形为等腰梯形，如图，过

E

作

BC

的垂线，垂足12

2分别为N，则2

BM

，故

FCN60

.所以BCK

为等边三角形，因为为

的中点，则BFCK

．而

AC

，所以BF平．

……5分（Ⅱ）方法一：如图，延长，BE，CF相交于一点K，（Ⅰ）得BCK为等边三角形．取

的中点

O

，则

BC

，又平面

平面

，所以

平面

．以点O为点，分别以射线OB，OK的向为x，的正方向，建立空间直角坐标系．由题意得

C

，

K31A，,0,F

……6分因此，

．设平面

ACK

的法向量为

my,11

，由

AC，得

3y3

，取

m

；

……8分平面的法向量为

,z2

．由

22，得z

，取

3．

……10分于是，

cosn

mm

．

……11分所以，二面角BAD的平面角的余弦值为

．

……12分方法二：过点F作于Q，连结BQ．因为平面ACK，平面ACK，所以，而

BF

FQF

，平面BQF，而BQ平面，以则AK所以BQF是二面角B的平面角．

．

……8分因为AC

平面

，CK平面

，故

CK

，在Rt△中，AC，CK，故13，13

所以

sinAKC

313

，得

FQAKC

313

．

……10分在

eq\o\ac(△,Rt)BQF

中，FQ，BF3，．所以二面角BF的平面角的余弦值为

．

……12分答（1））【详解）由题意，函数

yf()

的定义域为(0,

，当a时

f

)

x

，数yf()

在区间(0,单调递增，此时，函数

yf(x)

在定义域上无最大值；

……1分当

a

时，令(x)

1

a0

，得

x

，由

f

0，得

，由

f

0得x

，此时，函数

yf(x)

的单调递增区间为

，单调减区间为

.所以函数

f(xf(x)max

极大值

f

e

，即

为所求；

……4分（3）只需

bx

x

对任意的x,1)

恒成立即可构造函数

g(x)xx

，

x

xex

x

x

，∵x(

，∴

，且t(x

x

单调递增，

……6分∵

1t)2

t

，∴一定存在唯一的

x(

，使得

t(x0

，即

e0,x

，

……7分且当

x

时，14

xAM2mmt(x)，即gxAM2mm

；当时t(即

.所以，函数yg()

在区间,)

上单调递增，在区间

x

上单调递减，∴

gx)

0

1x

，

……9分∵x(

，∴

yx

1)在(x2

上单调递增，(，∴