高中数学人教A版第三章函数的应用函数与方程 公开课奖

第四课时，函数模型的综合应用一、课前准备1．课时目标（1）掌握函数的思想方法，即通过求出或构造出函数来解决问题；（2）学会运用函数知识解决某些简单的实际问题；（3）梳理社会生活中普遍使用的函数模型，并进行简单的应用。2．基础预探（1）．一次函数求最值主要是利用它的；（2）.二次函数求最值也是要利用它的单调性，一般我们都先.（3）.无论什么函数求最值都要注意.例如等.二、基本知识习题化1.向高为H的圆锥形漏斗内注入化学溶液（漏斗下口暂且关闭），注入溶液量V与溶液深度h的大概图象是（）.2.某种生物增长的数量与时间的关系如下表：123．．．138．．．下面函数关系式中，能表达这种关系的是（）.A．B．C．D．3.某企业近几年的年产值如下图：则年增长率（增长率=增长值/原产值）最高的是（）.A.97年B.98年C.99年D.00年4.某商店已按每件80元的成本购进某种上装1000件，根据市场预测，当每件售价100元时可全部售完，若定价每提高1元时销售量就减少5件，若要获得最大利润，则销售价应定为（）A、110元B、130元C、150元D、190元5.某新型电子产品2023年投产，计划2023年使其成本降低36℅.则平均每年应降低成本%.三、学习引领1．数学模型所谓数学模型是指对客观实际的特征或数量关系进行抽象概括，用形式化的数学语言表述的一种数学结构。数学模型剔除了事物中一切与研究目标无本质联系的各种属性，在纯粹状态下研究数量关系和空间形式，函数就是最重要的数学模型，用函数解决方程问题，使求解变得容易进行，这是数学模型间的相互转换在发挥作用.而用函数解决实际问题，则体现了数学模型是联系数学与现实世界的桥梁.2．关于数学建模中的假设就一般的数学建模来说，是离不开假设的，如果在问题的原始状态下不作任何假设，将所有的变化因素全部考虑进去，对于稍复杂一点的问题就无法下手。假设的作用主要表现在以下几个方面：（1）进一步明确模型中需要考虑的因素和它们在问题中的作用。初步接触一个问题，会觉得围绕它的因素非常多，经仔细分析筛查，发现有的因素并无实质联系，有的因素是无关紧要的，排除这些因素，问题则越发清晰明朗.在假设时就可以设这些因素不需考虑.（2）由于每一个解题者的能力不同，经过适当的假设就可以有能力建立数学模型，并且得到相应的解.四、典例导析1、一次、二次函数模型：例1、南京的某报刊零售点，从报社买进某报纸的价格是每份元，卖出的价格是每份元，卖不掉的报纸可以以每份元的价格退回报社．在一个月（以天计算）里，有天每天可卖出份，其余每天只能卖出份，但每天从报社买进的份数必须相同，这个摊主每天从报社买进多少份，才能使每月所获利润最大？并计算他一个月最多可赚得多少元？思路导析：此问题是关于利润和份数的关系,根据经验我们知道:利润每份报纸赚的钱份数卖不掉的报纸份数每份报纸亏的钱,的取值范围是.解析:设每天从报社买进份报纸，每月获得总利润元，则由题意，，，∵函数在上是单调递增函数，∴时，元，所以，该摊主每天从报社买进份时，每月所获利润最大，最大利润为元．规律总结:建立目标函数后一定要注意实际应用问题中变量的取值范围变式练习：1、某桶装水经营部每天的房租、人员工资等固定成本为200元，每桶水的进价是5元.销售单价与日均销售量的关系如表所示：销售单价/元6789日均销售量/桶480440400360销售单价/元101112日均销售量/桶320280240请据以上数据作出分析，这个经营部怎样定价才能获得最大利润？2、拟合函数模型例2、某皮鞋厂从今年1月份开始投产，并且前4个月的产量分别为1万双，万双，万双，万双.由于产品质量好，款式新颖，前几个月的销售情况良好.为了推销员在推销产品时，接受定单不至于过多或过少，需要估计以后几个月的产量.厂里分析，产量的增加是由于工人生产熟练和理顺了生产流程.厂里也暂时不准备增加设备和工人.假如你是厂长，就月份x，产量y给出四种函数模型：y=ax+b，y=ax2+bx+c，,y=abx+c，你将利用哪一种模型去估算以后几个月的产量？思路导析：本题是通过数据验证，确定系数，然后分析确定函数的变化情况，最终找出与实际最接近的函数模型.解析：由题知A(1，1)，B(2，，C

(3，，D(4，.（1）设模拟函数为y=ax+b，将B、C两点的坐标代入函数式，有，所以得y=+1.（2）设y=ax2+bx+c，将A，B，C三点代入，有所以y=–++.（3）设，将A，B两点的坐标代入，有所以（4）设y=abx+c，将A，B，C三点的坐标代入，得综上所述：所以y=–×+=规律总结：本题是对数据进行函数模拟，选择最符合的模拟函数.一般思路要画出散点图，然后作出模拟函数的图象，选择适合的几种函数类型后，再加以验证.函数模型的建立是最大的难点，另外运算量较大，必须借助计算机进行数据处理，函数模型的可靠性与合理性既需要数据检验，又必须与具体实际结合起来.变式练习2、某地区今年1月，2月，3月患某种传染病的人数分别为52，61，68.为了预测以后各月的患病人数，甲选择了模型y=ax2+bx+c，乙选择了模型y=pqx+r，其中y为患病人数，x为月份数，a,b,c,p,q,r都是常数.结果4月，5月，6月份的患病人分别为74,78，83，你认为谁选择的模型较好？五、随堂练习2．某种电热水器的水箱盛满水是升，加热到一定程度可浴用.浴用时，已知每分钟放水升，在放水的同时注水，分钟注水升，当水箱内水量达到最小值时，放水自动停止.现假定每人洗浴用水升，则该热水器一次至多可供（）洗澡.人人人人3．某不法商人将彩电先按原价提高，然后在广告中写上“大酬宾，八折优惠”，结果是每台彩电比原价多赚了元，那么每台彩电原价是元．4、有一批材料可以围成长的围墙，现用此材料围成一块矩形场地，且内部用此材料隔成两块矩形（如图），则围成的矩形场地面积的最大值为______________.5、如图，河流航线长，工厂位于码头正北处，原来工厂所需原料需由码头装船沿水路到码头后，再改陆运到工厂，由于水运太长，运费颇高，工厂与航运局协商在段上建一码头，并由码头到工厂修一条新公路，原料改为按由到再到的路线运输，设，每吨的货物总运费为元，已知每吨货物每千米运费水路为元，陆路为元.（1）试写出元关于的函数关系式；（2）要使运费最省，码头应建在何处？六、课后作业1、东方旅社有张普通客床，每床每天收租费元，客床可以全部都租出；若每床每天收费提高元，出租的床的数量便减少张；再提高元，再减少张，依此变化下去，为了投资少而获利到达每床每天应提高租金（）元.或2、如图，某工厂年来某种产品的产量与时间（年）的函数关系，下面四种说法中，正确的是（）①前三年中产量增加的速度越来越快；②前三年中产量增长的速度越来越慢；③第三年后，这种产品停止生产；④第三年后，这种产品产量保持不变．②③②④①③①④3、某种商品，生产吨需投入固定成本元，可变成本为元，而卖出吨的价格为每吨元，其中（为常数），如果生产的吨产品全部卖掉，可获利元，则利润与产销量的函数关系式为．4、某水厂的蓄水池中有吨水，水厂每小时可向蓄水池中注入吨水，同时蓄水池又向居民小区不断供水，小时内供水总量为吨.（1）从供水开始到第几小时，蓄水池中水量最小？最小水量是多少？（2）若蓄水池中水量小于吨，就会出现供水紧张现象，试问在一天内有几个小时会出现供水紧张现象？5．南京的某报刊零售点，从报社买进某报纸的价格是每份元，卖出的价格是每份元，卖不掉的报纸可以以每份元的价格退回报社．在一个月（以天计算）里，有天每天可卖出份，其余每天只能卖出份，但每天从报社买进的份数必须相同，这个摊主每天从报社买进多少份，才能使每月所获利润最大？并计算他一个月最多可赚得多少元？6．已知某商品的价格上涨，销售的数量就减少，其中为正的常数．（2）如果适当地涨价，能使销售总金额增加，求的取值范围．第四课时，函数模型的综合应用一、课前准备2．基础预探（1）．单调性（2）.判定开口方向；二、基本知识习题化1.B解析：由题意得，上升的速度越来越慢，故选B2.D解析：根据表中的数据可验证，函数最接近实际，故选D。3.D解析：由题意得，根据表中的图象的变化趋势得，00年的增长最快，故选D。4.解：假设提高售价x元，获得总利润y元由题意得，y=（20+x）（1000-5x）-80×5x=-5x2+500x+20000（0≤x≤200，x∈N）∵对称轴x=50∴当x=50即售价定为150元时，利润最大；ymax=-5×2500+500×50+20000=32500，∴售价定为150元时，利润最大．故选C5.解：设平均每年降低x，（1-x）2=1-36%解得x=20%或x=180%（舍去）．故平均每年降低20%．四、典例导析变式练习：1、解：根据表，销售单价每增加1元，日均销售量就减少40桶.设在进价基础上增加x元后，日均销售利润为y元，而在此情况下的日均销售量就为480–40(x–1)=520–40x(桶)由于x＞0且520–40x＞0，即0＜x＜13，于是可得y=(520–40x)x–200=–40x2+520x–200，0＜x＜13易知，当x=时，y有最大值.所以，只需将销售单价定为元，就可获得最大的利润.2、解析：老师借助电脑解答问题（1）列表（2）画散点图.（3）确定函数模型.甲：y1=–x2+12x+41，乙：y2=–×+（4）做出函数图象进行比较.计算x=6时，y1=77，y2=.可见，乙选择的模型较好.五、随堂练习1、答案：D2．答案：B解析：设最多用分钟，则水箱内水量，当时有最小值，此时共放水升，可供人洗澡.3．答案：4、答案：5、分析：=1\*GB3①.总运费元水路运费陆路运费=2\*GB3②.水路运费元,陆路长度可以勾股定理求得:陆路运费(元).=3\*GB3③.建立此问题的函数模型:.对于问题(2)我们可以利用求函数值域的方法求得运费最省时,点的位置.六、课后作业1、答案：B2、答案：B3、答案：4、答案：（1）小时，吨；5