高中数学人教A版5柯西不等式与排序不等式一二维形式的柯西不等式

一二维形式的柯西不等式1．认识柯西不等式的几种不同形式，理解其几何意义．(难点)2．通过运用柯西不等式分析解决一些简单问题．(重点)[基础·初探]教材整理二维形式的柯西不等式阅读教材P31～P36，完成下列问题．内容等号成立的条件代数形式若a，b，c，d都是实数，则(a2＋b2)·(c2＋d2)≥(ac＋bd)2当且仅当ad＝bc时，等号成立向量形式设α，β是两个向量，则|α·β|≤|α||β|当且仅当β是零向量，或存在实数k，使α＝kβ时，等号成立三角形式设x1，y1，x2，y2∈R，那么eq\r(x\o\al(2,1)＋y\o\al(2,1))＋eq\r(x\o\al(2,2)＋y\o\al(2,2))≥eq\r(x1－x22＋y1－y22)当且仅当P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，O(0,0)三点共线且P1，P2在点O两旁时，等号成立已知x＋y＝1，那么2x2＋3y2的最小值是()\f(5,6) \f(6,5)\f(25,36) \f(36,25)【解析】2x2＋3y2＝(2x2＋3y2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)＋\f(1,3)))·eq\f(6,5)≥eq\f(6,5)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\r(2)x·\f(\r(2),2)＋\r(3)y·\f(\r(3),3)))eq\s\up10(2)＝eq\f(6,5)(x＋y)2＝eq\f(6,5).【答案】B[质疑·手记]预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流：疑问1：解惑：疑问2：解惑：疑问3：解惑：[小组合作型]二维柯西不等式的向量形式及应用已知p，q均为正数，且p3＋q3＝2.求证：p＋q≤2.【精彩点拨】为了利用柯西不等式的向量形式，可分别构造两个向量．【自主解答】设m＝peq\s\up10(\f(3,2))，qeq\s\up10(\f(3,2))，n＝(peq\s\up12(\f(1,2))，qeq\s\up12(\f(1,2)))，则p2＋q2＝peq\s\up12(\f(3,2))peq\s\up12(\f(1,2))＋qeq\s\up12(\f(3,2))qeq\s\up12(\f(1,2))＝|m·n|≤|m||n|＝eq\r(p3＋q3)·eq\r(p＋q)＝eq\r(2)eq\r(p＋q).又∵(p＋q)2≤2(p2＋q2)，∴eq\f(p＋q2,2)≤p2＋q2≤eq\r(2)eq\r(p＋q)，∴eq\f(p＋q2,2)≤eq\r(2)·eq\r(p＋q)，则(p＋q)4≤8(p＋q)．又p＋q>0，∴(p＋q)3≤8，故p＋q≤2.使用二维柯西不等式的向量形式证明不等式，关键是合理构造出两个向量．同时，要注意向量模的计算公式|a|＝eq\r(x2＋y2)对数学式子变形的影响．[再练一题]1．若本例的条件中，把“p3＋q3＝2”改为“p2＋q2＝2”，试判断结论是否仍然成立？【解】设m＝(p，q)，n＝(1,1)，则p＋q＝p·1＋q·1＝|m·n|≤|m|·|n|＝eq\r(p2＋q2)·eq\r(12＋12).又p2＋q2＝2.∴p＋q≤eq\r(2)·eq\r(2)＝2.故仍有结论p＋q≤2成立.运用柯西不等式求最值若2x＋3y＝1，求4x2＋9y2的最小值．【精彩点拨】由2x＋3y＝1以及4x2＋9y2的形式，联系柯西不等式，可以通过构造(12＋12)作为一个因式而解决问题．【自主解答】由柯西不等式得(4x2＋9y2)(12＋12)≥(2x＋3y)2＝1.∴4x2＋9y2≥eq\f(1,2)，当且仅当2x×1＝3y×1，即x＝eq\f(1,4)，y＝eq\f(1,6)时取等号．∴4x2＋9y2的最小值为eq\f(1,2).1．利用柯西不等式求最值，不但要注意等号成立的条件，而且要善于配凑，保证出现常数结果．2．常用的配凑的技巧有：①巧拆常数；②重新安排某些项的次序；③适当添项；④适当改变结构，从而达到运用柯西不等式求最值的目的．[再练一题]2．若3x＋4y＝2，试求x2＋y2的最小值及最小值点.【导学号：32750048】【解】由柯西不等式(x2＋y2)(32＋42)≥(3x＋4y)2，得25(x2＋y2)≥4.所以x2＋y2≥eq\f(4,25)，当且仅当eq\f(x,3)＝eq\f(y,4)时，“＝”成立．为求最小值点，需解方程组eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(3x＋4y＝2，,\f(x,3)＝\f(y,4)，))∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝\f(6,25)，,y＝\f(8,25).))因此，当x＝eq\f(6,25)，y＝eq\f(8,25)时，x2＋y2取得最小值，最小值为eq\f(4,25)，最小值点为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(6,25)，\f(8,25))).[探究共研型]二维柯西不等式代数形式的应用探究在二维形式的柯西不等式中，取等号的条件可以写成eq\f(a,b)＝eq\f(c,d)吗？【提示】不可以．当b·d＝0时，柯西不等式成立，但eq\f(a,b)＝eq\f(c,d)不成立．已知|3x＋4y|＝5，求证：x2＋y2≥1.【精彩点拨】探求已知条件与待证不等式之间的关系，设法构造柯西不等式进行证明．【自主解答】由柯西不等式可知(x2＋y2)(32＋42)≥(3x＋4y)2，所以(x2＋y2)≥eq\f(3x＋4y2,32＋42).又因为|3x＋4y|＝5，所以eq\f(3x＋4y2,32＋42)＝1，即x2＋y2≥1.1．利用二维形式的柯西不等式证明时，要抓住柯西不等式的结构特征，必要时，需要将数学表达式适当变形．2．变形往往要求具有很高的技巧，必须善于分析题目的特征，根据题设条件，综合地利用添、拆、分解、组合、配方、变量代换、数形结合等方法才能发现问题的本质，找到突破口．[再练一题]3．设a，b∈R＋且a＋b＝2.求证：eq\f(a2,2－a)＋eq\f(b2,2－b)≥2.【证明】根据柯西不等式，有[(2－a)＋(2－b)]eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a2,2－a)＋\f(b2,2－b)))＝[(eq\r(2－a))2＋(eq\r(2－b))2][eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a,\r(2－a))))eq\s\up10(2)＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(b,\r(2－b))))eq\s\up10(2)]≥eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\r(2－a)·\f(a,\r(2－a))＋\r(2－b)·\f(b,\r(2－b))))eq\s\up10(2)＝(a＋b)2＝4.∴eq\f(a2,2－a)＋eq\f(b2,2－b)≥eq\f(4,2－a＋2－b)＝2，当且仅当eq\r(2－a)·eq\f(b,\r(2－b))＝eq\r(2－b)·eq\f(a,\r(2－a))，即a＝b＝1时等号成立．∴eq\f(a2,2－a)＋eq\f(b2,2－b)≥2.[构建·体系]二维柯西不等式—eq\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(—\x(代数形式),—\x(向量形式),—\x(三角形式),—\x(柯西不等式求最值)))1．设x，y∈R，且2x＋3y＝13，则x2＋y2的最小值为()\r(13) B．169C．13 【解析】(2x＋3y)2≤(22＋32)(x2＋y2)，∴x2＋y2≥13.【答案】C2．已知a，b∈R＋，且a＋b＝1，则(eq\r(4a＋1)＋eq\r(4b＋1))2的最大值是()【导学号：32750049】A．2eq\r(6) \r(6)C．6 【解析】(eq\r(4a＋1)＋eq\r(4b＋1))2＝(1×eq\r(4a＋1)＋1×eq\r(4b＋1))2≤(12＋12)(4a＋1＋4b＋1)＝2[4(a＋b)＋2]＝2×(4×1＋2)＝12，当且仅当eq\r(4b＋1)＝eq\r(4a＋1)，即a＝b＝eq\f(1,2)时等号成立．故选D.【答案】D3．平面向量a，b中，若a＝(4，－3)，|b|＝1，且a·b＝5，则向量b＝________.【解析】|a|＝eq\r(42＋－32)＝5，且|b|＝1，∴a·b＝|a|·|b|，因此，b与a共线，且方向相同，∴b＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4,5)，－\f(3,5))).【答案】eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4,5)，－\f(3,5)))4．已知x，y＞0，eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(1,x)))eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(1,y)))的最小值为4，则xy＝________.【解析】∵eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(1,x)))eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(1,y)))≥eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1·1＋\r(\f(1,xy))))eq\s\up10(2)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(1,\r(xy))))eq\s\up10(2)，∴eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(1,\r(xy))))eq\s\up10(2)＝4.又eq\r(xy)＞0，∴eq\r(xy)＝1，∴xy＝1.【答案】15．已知x，y，a，b∈R＋，且eq\f(a,x)＋eq\f(b,y)＝1，求x＋y的最小值．【解】构造两组实数eq\r(x)，eq\r(y)；eq\r(\f(a,x))，eq\r(\f(b,y)).∵x，y，a，b∈R＋，eq\f(a,x)＋eq\f(b,y)＝1，∴x＋y＝[(eq\r(x))2＋(eq\r(y))2]eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\r(\f(a,x))))eq\s\up10(2)＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\r(\f(b,y))))eq\s\up10(2)≥(eq\r(a)＋eq\r(b))2，当且仅当eq\r(x)∶eq\r(\f(a,x))＝eq\r(y)∶eq\r(\f(b,y))，即eq\f(x,y)＝eq\r(\f(a,b))时取等号，∴(x＋y)min＝(eq\r(a)＋eq\r(b))2.我还有这些不足：(1)