高中数学人教A版第二章点直线平面之间的位置关系 学业分层测评8

学业分层测评(八)(建议用时：45分钟)[达标必做]一、选择题1．下列说法正确的个数是()①若直线a，b相交，b，c相交，则a，c相交；②若a∥b，则a，b与c所成的角相等；③若a⊥b，b⊥c，则a∥c.A．3 B．2C．1 D．0【解析】①中a与c也可能异面，③中a与c也可能相交或异面，②正确．【答案】C2．a、b为异面直线是指①a∩b＝∅，且a不平行于b；②a⊂平面α，b⊄平面α，且a∩b＝∅；③a⊂平面α，b⊂平面β，且α∩β＝∅；④不存在平面α能使a⊂α，且b⊂α成立． ()A．①②③ B．①③④C．②③ D．①④【解析】②③中的a，b有可能平行，①④符合异面直线的定义．【答案】D3．下列选项中，点P，Q，R，S分别在正方体的四条棱上，并且是所在棱的中点，则直线PQ与RS是异面直线的一个图是()【导学号：09960052】【解析】易知选项A，B中PQ∥RS，选项D中RS与PQ相交，只有选项C中RS与PQ是异面直线．【答案】C4．如图2­1­19所示，在正方体ABCD­A1B1C1D1中，E、F、G、H分别为AA1、AB、B1B、B1C1的中点，则异面直线EF与图2­1­19A．45° B．60°C．90° D．120°【解析】连接A1B，BC1，因为E、F、G、H分别是AA1、AB、BB1、B1C1A1B∥EF，BC1∥GH.∴A1B和BC1所成角为异面直线EF与GH所成角，连接A1C1知，△A1BC1为正三角形，故∠A1BC1【答案】B5．如图2­1­20，三棱柱ABC­A1B1C1中，底面三角形A1B1C1是正三角形，E是图2­1­20A．CC1与B1E是异面直线B．C1C与AEC．AE与B1C1D．AE与B1C1【解析】由于CC1与B1E都在平面C1B1BC内，故C1C与B1E是共面的，所以A错误；由于C1C在平面C1B1BC内，而AE与平面C1B1BC相交于E点，点E不在C1C上，故C1C与AE是异面直线，B错误；同理AE与B1C1是异面直线，C正确；而AE与B1C1所成的角就是AE与BC所成的角，E为BC中点，△【答案】C二、填空题6．如图2­1­21所示，正方体ABCD­A1B1C1D1中，M、N分别为棱C1D1、C1图2­1­21①直线AM与CC1是相交直线；②直线AM与BN是平行直线；③直线BN与MB1是异面直线；④直线AM与DD1是异面直线．其中正确的结论为________(注：把你认为正确结论的序号都填上)．【解析】由异面直线的定义知③④正确．【答案】③④7．如图2­1­22，在三棱锥A­BCD中，E，F，G分别是AB，BC，AD的中点，∠GEF＝120°，则BD和AC所成角的度数为________．图2­1­22【解析】依题意知，EG∥BD，EF∥AC，所以∠GEF所成的角或其补角即为异面直线AC与BD所成的角，又∠GEF＝120°，所以异面直线BD与AC所成的角为60°.【答案】60°三、解答题8．(2023·重庆高一检测)如图2­1­23，长方体ABCD­A1B1C1D1中，E，F分别为棱AA1，CC1(1)求证：D1E∥BF；(2)求证：∠B1BF＝∠D1EA1.图2­1­23【证明】(1)取BB1的中点M，连接EM，C1M在矩形ABB1A1中，易得EMeq\o(\s\do5(═),\s\up5(∥))A1B1，∵A1B1eq\o(\s\do5(═),\s\up5(∥))C1D1，∴EMeq\o(\s\do5(═),\s\up5(∥))C1D1，∴四边形EMC1D1为平行四边形，∴D1E∥C1M在矩形BCC1B1中，易得MBeq\o(\s\do5(═),\s\up5(∥))C1F，∴BFeq\o(\s\do5(═),\s\up5(∥))C1M.∴D1E∥BF.(2)∵ED1∥BF，BM∥EA1，又∠B1BF与∠D1EA1的对应边方向相同，∴∠B1BF＝∠D1EA1.9．(2023·沈阳高一检测)如图2­1­24，正方体ABCD­EFGH中，O为侧面ADHE的中心，求：(1)BE与CG所成的角；(2)FO与BD所成的角．【导学号：09960053】图2­1­24【解】(1)如图，因为CG∥BF，所以∠EBF(或其补角)为异面直线BE与CG所成的角，又△BEF中，∠EBF＝45°，所以BE与CG所成的角为45°.(2)连接FH，因为HDeq\o(\s\do5(═),\s\up5(∥))EA，EAeq\o(\s\do5(═),\s\up5(∥))FB，所以HDeq\o(\s\do5(═),\s\up5(∥))FB，所以四边形HFBD为平行四边形，所以HF∥BD，所以∠HFO(或其补角)为异面直线FO与BD所成的角．连接HA、AF，易得FH＝HA＝AF，所以△AFH为等边三角形，又依题意知O为AH的中点，所以∠HFO＝30°，即FO与BD所成的角是30°.[自我挑战]10．(2023·烟台高一检测)如图2­1­25是正方体的平面展开图，在这个正方体中，【导学号：09960054】图2­1­25①BM与ED平行；②CN与BE是异面直线；③CN与BM成60°角；④DM与BN是异面直线．以上四个命题中，正确命题的序号是()A．①②③ B．②④C．③④ D．②③④【解析】由题意画出正方体的图形如图：显然①②不正确；③CN与BM成60°角，即∠ANC＝60°，正确；④正确．【答案】C11．在四面体A­BCD中，E、F分别是AB、CD的中点．若BD、AC所成的角为60°，且BD＝AC＝1.求EF的长度．【解】如图，取BC中点O，连接OE、OF，∵OE∥AC，OF∥BD，∴OE与OF所成的锐角(或直角)即为AC与BD所成的角，而AC、BD所成的