2021北京房山高三数学二模试题及答案

房山区高三模试题数

2021.05本试卷共页，150分考试时长120分。考生务必将答案写在答题卡上，在试卷上作答无效。考试结束后，将答题卡交回，试卷自行保存。第部

（选择题共40分）一、选择题共小题，每小题4分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求一项。(1)已全集U4}集合AxZ(0}，B={2,3}，则(AB)=U(A)

{3}

(B)

{4}

(C)

{3

(D)

{1(2)若数z

2

xi

（

i

为虚数单位）为纯虚数，则实数

的值为(A)

1

(B)2(C)

(D)(3)△ABC中BC，A

sinBCeq\o\ac(△,)(A)

6

(B)6

(C)

9

(D)

4(4)(A)(B)

3

(C)(D)

55

1正视图

左视图俯视图(5)某司购买一批机器投入生产，若每台机器生产的产品可获得的总利润

（万元）与机器运转时间t（数，N系

t64

.要年平均利润最大则每台机运转的年数

t为(A)

(B)

6

(C)

7

(D)

(6)(3,4)

tan

(A)

(B)

(C)

(D)

(7)F，FC:

3

2

OOPOFPFF

(A)

(B)

(C)

(D)

(8)30M

MlgA

A5

7

级，修订后

8

级，则修订后的(A)

(B)

(C)

lg

(D)

(9)0

是函数

()

lnxxxax0

有且只有一个零点”的(A)(C)

(B)(D)(10)立该校高三有13.比赛结果在2，班获“1班、4班中.已知（）(A)乙

(B)甲

(C)

(D)乙，丙

第二部分

（非选择题共110分二填空共5小题每题5分共25分(11)函sinxcos

的最小正周期为

(12)若个点M6)

，

，，6)

中恰有两个点在抛物线

y

上，则该抛物线的方程为(13)

2(14)b(15)R

M

l:

Nl:2P

AB

:(x2

||2

①l1

l2

②PMPN

③P

(y

④PAPB

4三解题6小，85分解应出字明演步骤证过。16（小题14分）如图在四棱锥

P

中面

ABCD

是矩形E

为

PC

的中点PA

平面

ABCD

，AB2

，

AD2

，PA2

.

P（Ⅰ）求证

CDPD

；（Ⅱ）求异面直线BC

所成角的大.

EA

DB

C

17（小题14分）已知数列

{}

是一个公比为q0,1)

的等比数列，，S是列{}的项，再从条件①、条件②、条件③中选择一个作为已知，解答下列问题：（Ⅰ）求数列

{}

的通项公式；（Ⅱ）令

2loga，数列{}前n项和的小值nn条件①条件②

,3a3an

成等差数列；；条件③

.注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计18（小题14分）为了提高中小学生的身体素质地开展了中小学生跳绳比赛系列活.活动结束后用单随机抽样的方法，抽取了部分学生的成绩，按照不同年龄段分组记录如下表：组别第一组第二组第三组第四组第五组

合格8860

男生

不合格1240

合格7258

女生

不合格2842合计

假设每个中小学生跳绳成绩是否合格相互独.（Ⅰ）从样本中的中小学生随机抽

人，求该同学跳绳成绩合格的概率；（Ⅱ）从该地区众多中小学的男生、女生中各随机抽取1

人，记这

人中恰有人跳绳成绩合格，求的布列与数学望；（Ⅲ该地区中小学生跳绳绩合格的概率与表格中该地区中小学生跳绳成绩合格的频率相等，用“

”表示第k组同学跳绳成绩合格，“

”表第组同学跳绳成绩不合格(

1,2,3,4,5

)，试确定方差DD,D中个最大？哪最小？（只需写出结论）．

19（小题15分）已知函数

fx)

，

(x)ax

.（Ⅰ）求曲线

yf()在(0,f(0))处切线方程；（Ⅱ）设F(x)g(xf()

，当

时，求函数Fx)

ππ在区间[,]

上的最大值和最小值；ππ（Ⅲ当x[,]

时试写出一个实数a的值使(

的图像在yg()

的图像下方不需要说明理由）20（小题14分）已知椭圆

2yC：a2b

22

的离心率为，

O

为坐标原点，

是椭圆

的右焦点，A为圆一点，且AF轴（Ⅰ）求椭圆的方程；

AF

．（Ⅱ过圆上点

y:

y0与线AF相交于点M与直2线相于点N证明：(21)(本题14分)

MFNF

为定值．已知数集

a,a,2,*)122

.如果对任意i,ji≤j且i,j,

)，ai

j

与

ajai

两数中至少有一个属于则称数集具性质.（Ⅰ）分别判断数集{

，{1,3,

是否具有性质

P

，并说明理由；（Ⅱ）设数集

a,N*)12312

具有性质P.①若

*

(k

,证：对任意

1i(inN*

都有是a的数；in②证：

a

a2

.

房区高二试参答数一选题8小题，小5分，共分。每题列的个项，出合目求一。题号

(6)(8)）（10答案

(B)

（）（A））））（）（）

(B)二填题5小题每小5分，分。（11）

（12）

y2

（13）

243

（14）

（15）①②注第15）全选对5分，选有选0分其得分三解题6小，85分解应出字明演步骤证过。解：（Ⅰ）因为

ABCD

且

CD

ABCD

PA为矩形，

…分AD

CD

………………2分又因为

,

…分AD,CDPD.

…分…分……6分（Ⅱ）解1：因为PA，AD

ABCD所以PA

，

.因为

ABCD

为矩形，所以AB.分别以AB,x轴y轴轴建立如图所示的空间直角坐标系，则B，E

…分…分

2,1)

，

………………分2,0)

.………………分所以

BC

AEAE

22

.……11分设异面直线

BC

与

所成的角为

，则θAE

，……12因为所以

0,

.

……13分所以异面直线BC与AE

所成的角的大小是π.…分2,1)

，

……9分2,0)

.…分设异面直线

BC

与

所成的角为则θcosAEBC

AEBCAEBC

…分因为

0,

……13分

所以

.所以异面直线与

所成的角的大小是

.………………分解2:PB

F

,AF

点E为的点，EFBC……7分

BC

与AE

所成的角.

…8分因为底面

ABCD

是矩形，所以

BC2

,

AC

.又因为EF

为

PBC

的中位线，所以EF

.

……9分又因为，AB,，所以PA

，.在直角三角形

中，因为ABPA

，所以点F为PB

所AF

PB2,

………………分同理可得PC4,AE

.

……11分△

EF

2,AE

2AF

2

.所eq\o\ac(△,以)eq\o\ac(△,)AEF

.

…分因为

，

……13分.所以异面直线BC与AE

所成的角的大小是

.

…分PFA

DB

C（17解：Ⅰ）选：

……1分因为

,3a3

成等差数列，

所以

a+2.，3a242

.

……2分因为

{}

是一个公比为qq

的等比数列，所以a=2q22

2

，……3分即

q

.解得q（去）或q

……4分因为=1，所以qn1

n

2

n

.

……6分选：

……1分因为

aan

（nNn

），

………………分所以

，

……3分所以

nn

.

……4分所以数列

{}是首a=1，公比2的比数列1所以

an

n

n

.

……分选：因为

，

……分所以

23

，

………2分即

q11

2

.

………3分因为

=1，所以

q+

.解得或

（舍去）

………4分所以

an

n

………6分（Ⅱ）解：因为

2logn2

n

2

n

，

………7分

2(

…分且有

bn

n

,…9分所数列

n

为首项，2

为公差的等差数.………10分因为

Tn

nb+b)n2

………11分所以

T

n(+2

n

………12分=（

(nN

………13分当时T有小值，即为.……14（Ⅱ）解：依题意得b2loga2n2n.

n

分………8分令

，………9分解得

n

.

………10分令

，…分解得n所以数列

{b}

的前4项是负值从第5项起是正值…分所以当时有小值，…分最小值为T=

=

.

……分（18解：Ⅰ）设事件=从样本中的中小学生随机抽取1人该同学跳绳成绩合格”………1分样本中男生跳绳成绩合格的有：90+88+60+80+82=400样本中女生跳绳成绩合格的有：样本中男、女跳绳成绩合格的共有：400+350=750

人，人，……分样本中的男生总人数：

人，样本中的男生总人数：350+150=500人样本中男、女生总数：500=1000，……3分

所以(A)

3503．5004

………4分（Ⅱ）设事件=“从该地区众多中小学的男生随机抽取1个该生跳绳成绩合格,则4004(=500

;

………5分设事件C=“从该地区众多中小学的女生中随机抽取个该生跳绳成绩合格”，则7()．由题可知X的能取值为

……分……分43(X())(C)(1))550

；…8分7419P(X(BC)()(C)(B)()))104714P(X(BC)()(C)=51025所以的布列为

．………………9分XP

350

1950

1425所以的学期望E（Ⅲ）D小，D

19325

……10分．…12…分（19解（Ⅰ因为

f

(cosx)

，……………分kf

.…2f(0)

，所以切点为

…分所以曲线yf(

在点f(0))

处的切线方程为x

……4分（Ⅱ）解1：F

cos

x

……5分F

(sin)

πx)

……6分当

πππx,],2esin(x)0

…分又因为，以

…分所以()

ππ在区间[,]上单调递增

…分

minminminmin所以F()

max

ππaF()2

，

πaF(x))e

4

……12分解2：F(x()x

Fx

，…5分设

h(x)

cosx

x

，

……6分h

(cossinx)

x

.

……7分ππ因为x

所以

，

……8分ππ所以hxF在区间[,]

上单调递增

…分又因为

πFF)04

……………分所以()

ππ在区间[,]

上单调递增所以F()

max

F(

ππa)2

，

ππa2F(x)F()42

4

.

…12分解3：F

cos

x

……5分

(cosxsin)

……6分ππ当x[],cossinx所osx

………………分所以

(cosx)

……8分又因为

，所以F

……9分ππ所以()在间[,]

上单调递增

……10分所以

F(x)

max

ππaF()2

，

F(x)

min

πa)e

4

……12分（Ⅲ）写出

2π

4

的任意一个实数即可.

……15分（20（Ⅰ解1：

44设F,0)

，A(cy)

，则

c20a

.…1分又因为

c12

，所以

y|

.

……2分因为

AF

，所以

AFy|

.

…分所以.因为a23

，解3

……4分所以椭圆C的程为

xy4

.

……5分解2因为椭圆C的心率为

c，即2

，所以

ac

.

……1分因为A

为椭圆

上一点，且

AFx

轴，

AF

所以椭圆C过点c

.

……分9

9所以

a

4b2

，所以

14b2

，解得

.

……3分因为所以

c

，，解得

c2

，所以

2424

.

…4分所以椭圆C的程为

xy4

.

…分解3

44因为椭圆C的心率为

c，即,

……1分不妨设

a,

，因为2

，所以422

，所以t2

.所以椭圆C的程为

2ytt2

.

……2分因为A为圆上一点，且AF轴

AF

，所以椭圆C过点

3t2

.

……3分9所以

tt2t

，解得

，所以a

4

.

……4分所以椭圆C的程为

2ytt2

.

……5分（Ⅱ）解1：由（Ⅰ）知直线l的程为

xy003

0

，即

0y0

y

．

……6分因为直线

的方程为

x

，所以直线

l

与AF

的交点为

0)y0

，

分直线l与线x的点为(4,

x)y

，

分则

MFNF

22

12x(0)2403x90)y0

2

)2016)00

2

（）

……………分又

y0

是C上一点，则

x20，y4

20

3x04

……11分代入（）得

0222002202220022

22

(4)20xx2000))104(x216)4)200

……12分所以

MF.NF

…分所以

MFNF

为定值．

…分解2易知直线的程x＝，

…分xy由43可直线x

l

与直线的点为

12M1,4y0

.

……7分由

xxy043可直线l与线的点为x

N

30y0

.

…分所以

MF

90160

.

……分所以

xNFy0

yy0

.

……10分又因为

(,y)00

是椭圆

C

上一点，所以

x220，以y4

0

2

3x204

.

……11分所以

NF

22

99

0y0900

016y200

……12分

0482x20