高中数学苏教版第二章平面向量单元测试 公开课奖

2．向量的数乘情景：我们已经学习了向量的加法，请同学们作出a＋a＋a和(－a)＋(－a)＋(－a)(与已知向量a相比)．思考：相加后和的长度与方向有什么变化？这些变化与哪些因素有关？1．实数λ与向量a的积是一个向量，记作________．答案：λa2．|λa|＝________．答案：|λ||a|3．当________时，λa与a方向相同；λ＜0时，λa与a方向________；当________时，λa＝0(a≠0)．答案：λ＞0相反λ＝04．实数与向量的积的运算律中，结合律是________，它的几何意义是__________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________.答案：λ(μa)＝(λμ)a将表示向量a的有向线段先伸长或压缩|μ|倍，再伸长或压缩|λ|倍，与直接将表示向量a的有向线段伸长或压缩|λμ|倍所得结果相同5．第一分配律是________，几何意义是___________________________________________________________________________________________________________________________________.答案：(λ＋μ)a＝λa＋μa将表示向量a的有向线段伸长或压缩|λ|倍后，再与表示向量a的有向线段伸长或压缩|μ|倍后相加，和直接将表示向量a的有向线段伸长或压缩|λ＋μ|倍所得结果相同6．第二分配律是________，几何意义是___________________________________________________________________________________________________________________________________.答案：λ(a＋b)＝λa＋λb将表示向量a、b的有向线段先相加，再伸长或压缩|λ|倍，与将表示向量a、b的有向线段先伸长或压缩|λ|倍，再相加所得结果相同7．向量b与非零向量a共线的等价条件是__________________________________________________________．答案：存在唯一实数λ使b＝λa8．向量线性运算是指向量的________运算，几何意义是__________________________________________________________．答案：加、减、数乘将表示两个向量a，b的有向线段先分别伸长或缩短|μ1|，|μ2|倍，再相加(或相减)，最后再伸长或缩短|λ|倍，与将表示这两个向量a，b的有向线段先分别伸长或缩短|λμ1|，|λμ2|倍，再相加(或相减)所得的结果相同9．与非零向量a共线的单位向量是________．答案：±eq\f(a,|a|)实数与向量的积实数λ与向量a的积是一个向量，记作λa，它的长度和方向规定如下：(1)|λa|＝|λ||a|；(2)当λ＞0时，λa与a方向相同；当λ＜0时，λa与a方向相反；当λ＝0时，λa＝0.实数λ与向量a相乘，叫做向量的数乘．实数与向量的积的定义可以看做是数与数的积的概念的推广．数与向量的积还是一个向量，λa与a同向(λ＞0)或反向(λ＜0)时，判断两个向量是否平行，实际上就是找出一个实数，使这个实数和其中的一个向量的积能够把另一个向量表示出来．向量数乘运算律设λ、μ为实数，那么：(1)λ(μa)＝(λμ)a；(2)(λ＋μ)a＝λa＋μa；(3)λ(a＋b)＝λa＋λb.实数与向量的积的运算律与中学代数运算中实数乘法的运算律相似，只是实数乘向量的分配律由于因子的不同可分为：第一分配律，即(λ＋μ)a＝λa＋μa；第二分配律，即λ(a＋b)＝λa＋λb.共线向量定理如果有一个实数λ，使b＝λa(a≠0)，那么b与a是共线向量；反之，如果b与a(a≠0)是共线向量，那么有且只有一个实数λ，使b＝λa.eq\x(基)eq\x(础)eq\x(巩)eq\x(固)1．设λ、μ∈R，下面叙述不正确的是()A．λ(μa)＝(λμ)aB．(λ＋μ)a＝λa＋μaC．λ(a＋b)＝λa＋λbD．λa与a的方向相同(λ≠0)答案：D2．|a－b|＝|a|＋|b|(b≠0)成立的等价条件是()A．b＝λa且λ∈(－∞，0)B．a＝λb且λ∈[0，＋∞)C．b＝λa且λ∈(－∞，0]D．a＝λb且λ∈(－∞，0]答案：D3．在△ABC中，D是BC边的中点，E是AD的中点，若eq\o(BE,\s\up6(→))＝meq\o(AB,\s\up6(→))＋neq\o(AC,\s\up6(→))，则m＋n＝________．解析：如图，eq\o(BE,\s\up6(→))＝eq\o(AE,\s\up6(→))－eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(AD,\s\up6(→))－eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)(eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BD,\s\up6(→)))－eq\o(AB,\s\up6(→))＝－eq\f(1,2)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)eq\o(BD,\s\up6(→))＝－eq\f(1,2)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(1,4)eq\o(BC,\s\up6(→))＝－eq\f(1,2)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(1,4)(eq\o(AC,\s\up6(→))－eq\o(AB,\s\up6(→)))＝－eq\f(3,4)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(1,4)eq\o(AC,\s\up6(→)).∴m＝－eq\f(3,4)，n＝eq\f(1,4).∴m＋n＝－eq\f(1,2).答案：－eq\f(1,2)4．已知向量a＝e1－2e2，b＝2e1＋e2，其中e1，e2不共线，则a＋b与c＝6e1－2e2的关系是________．答案：共线5．若a，b是已知向量，且eq\f(1,3)(3a－2c)＋4eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,4)c－b))＋a＋6b＝0，则c＝________．答案：－6(a＋b)6．已知向量a、b不共线，实数x、y满足等式5xa＋(8－y)b＝4xb＋3(y＋9)a，则x＝_______，y＝_______．答案：3－47．已知平面上不共线的四点O，A，B，C，若eq\o(OA,\s\up6(→))－2015eq\o(OB,\s\up6(→))＋2014eq\o(OC,\s\up6(→))＝0，则eq\f(|\o(AB,\s\up6(→))|,|\o(BC,\s\up6(→))|)＝________．答案：20238．化简：eq\f(7,6)eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,2)a＋\f(3,7)\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(b＋\f(7,6)a))))－eq\f(1,2)eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(（3a＋2b）－\f(2,3)a－b))＝________．答案：09．已知eq\o(OA,\s\up6(→))＝a，eq\o(OB,\s\up6(→))＝b，C为eq\o(AB,\s\up6(→))上距A较近的一个三等分点，D为eq\o(CB,\s\up6(→))上距C较近的一个三等分点，则用a，b表示eq\o(OD,\s\up6(→))的表达式为eq\o(OD,\s\up6(→))＝________．答案：eq\f(4a＋5b,9)eq\x(能)eq\x(力)eq\x(升)eq\x(级)10．已知O，A，B是平面上的三个点，直线AB上有一点C，满足2eq\o(AC,\s\up6(→))＋eq\o(CB,\s\up6(→))＝0，则eq\o(OC,\s\up6(→))＝()A．2eq\o(OA,\s\up6(→))－eq\o(OB,\s\up6(→))B．－eq\o(OA,\s\up6(→))＋2eq\o(OB,\s\up6(→))\f(2,3)eq\o(OA,\s\up6(→))－eq\f(1,3)eq\o(OB,\s\up6(→))D．－eq\f(1,3)eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\f(2,3)eq\o(OB,\s\up6(→))答案：A11．已知向量a、b，且eq\o(AB,\s\up6(→))＝a＋2b，eq\o(BC,\s\up6(→))＝－5a＋6b，eq\o(CD,\s\up6(→))＝7a－2b，则一定共线的三点是()A．A、B、DB．A、B、CC．B、C、DD．A、C、D解析：∵eq\o(AB,\s\up6(→))＝a＋2b，eq\o(BD,\s\up6(→))＝eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\o(CD,\s\up6(→))＝2a＋4b＝2eq\o(AB,\s\up6(→))，∴A、B、D三点共线．答案：A12．向量eq\o(OA,\s\up6(→))＝a，eq\o(OB,\s\up6(→))＝b，a、b不共线，则∠AOB的平分线eq\o(OM,\s\up6(→))可表示为()\f(a,|a|)＋eq\f(b,|a|)\f(a＋b,|a＋b|)\f(|b|a－|a|b,|a|＋|b|)D．λeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a,|a|)＋\f(b,|b|)))(λ由|eq\o(OM,\s\up6(→))|确定)解析：因eq\f(a,|a|)与eq\f(b,|b|)均是单位向量，∴以这两个向量为邻边的平行四边形是菱形，而菱形的对角线平分对角．∴只有D项才表示∠AOB的平分线向量．答案：D13．O是平面上一定点，A、B、C是平面上不共线的三个点，动点P满足eq\o(OP,\s\up6(→))＝eq\o(OA,\s\up6(→))＋λeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\o(AB,\s\up6(→)),|\o(AB,\s\up6(→))|)＋\f(\o(AC,\s\up6(→)),|\o(AC,\s\up6(→))|)))，λ∈[0，＋∞)，则点P的轨迹一定通过△ABC的()A．外心B．内心C．重心D．垂心解析：eq\f(\o(AB,\s\up6(→)),|\o(AB,\s\up6(→))|)是与eq\o(AB,\s\up6(→))同向的单位向量，eq\f(\o(AC,\s\up6(→)),|\o(AC,\s\up6(→))|)是与eq\o(AC,\s\up6(→))同向的单位向量．以A为共同起点，以这两个单位向量为邻边作出菱形AB0P0C0，则它们的和向量eq\f(\o(AB,\s\up6(→)),|\o(AB,\s\up6(→))|)＋eq\f(\o(AC,\s\up6(→)),|\o(AC,\s\up6(→))|)即菱形的对角线所确定的以A为起点的向量eq\o(AP0,\s\up6(→))，同时由菱形的对角线平分一组对角知AP0平分∠BAC.λeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\o(AB,\s\up6(→)),|\o(AB,\s\up6(→))|)＋\f(\o(AC,\s\up6(→)),|\o(AC,\s\up6(→))|)))＝λeq\o(AP0,\s\up6(→))(λ≥0)，与以A为起点的AP0同向的向量eq\o(AP,\s\up6(→))＝eq\o(OP,\s\up6(→))－eq\o(OA,\s\up6(→))＝λeq\o(AP0,\s\up6(→))(λ≥0)，故点P的轨迹是∠BAC的平分线(含点A)．故通过内心．答案：B14．过△ABC的重心任作一直线分别交AB，AC于点D，E，若eq\o(AD,\s\up6(→))＝xeq\o(AB,\s\up6(→))，eq\o(AE,\s\up6(→))＝yeq\o(AC,\s\up6(→))，xy≠0，则eq\f(1,x)＋eq\f(1,y)的值为________．解析：不妨设过△ABC的重心所作直线与BC平行，则eq\o(AD,\s\up6(→))＝eq\f(2,3)eq\o(AB,\s\up6(→))，eq\o(AE,\s\up6(→))＝eq\f(2,3)eq\o(AC,\s\up6(→))，故x＝y＝eq\f(2,3)，所以eq\f(1,x)＋eq\f(1,y)＝eq\f(3,2)＋eq\f(3,2)＝3.15．已知非零向量e1，e2不共线，且eq\o(AB,\s\up6(→))＝e1＋e2，eq\o(BC,\s\up6(→))＝ke1＋8e2，eq\o(CD,\s\up6(→))＝3(e1－e2)．若A、B、D三点共线，试确定实数k的值．解析：∵eq\o(BD,\s\up6(→))＝eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\o(CD,\s\up6(→))＝ke1＋8e2＋3(e1－e2)＝(k＋3)e1＋5e2，又A、B、D三点共线，∴存在唯一实数λ，使得eq\o(AB,\s\up6(→))＝λeq\o(BD,\s\up6(→))，即e1＋e2＝λ[(k＋3)e1＋5e2]，即[λ(k＋3)－1]e1＝(1－5λ)e2.又e1，e2不共线，∴eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(λ（k＋3）－1＝0，,1－5λ＝0.))则eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(k＝2，,λ＝\f(1,5).))∴k＝2.16．设a，b是不共线的两个非零向量．(1)若eq\o(OA,\s\up6(→))＝2a－b，eq\o(OB,\s\up6(→))＝3a＋b，eq\o(OC,\s\up6(→))＝a－3b，求证：A，B，C三点共线；(2)若8a＋kb与ka＋2b共线，求实数k的值．(1)证明：∵eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\o(OB,\s\up6(→))－eq\o(OA,\s\up6(→))＝(3a＋b)－(2a－b)＝a＋2b，而eq\o(BC,\s\up6(→))＝(a－3b)－(3a＋b)＝－2a－4b＝－2eq\o(AB,\s\up6(→))，∴eq\o(AB,\s\up6(→))与eq\o(BC,\s\up6(→))共线，且有公共端点B.∴A，B，C三点共线．(2)解析：∵8a＋kb与ka＋2b共线，∴存在实数λ，使得8a＋kb＝λ(ka＋2b)．∴(8－λk)a＋(k－2λ)b＝0.∵a与b不共线，∴eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(8－λk＝0，,k－2λ＝0.))∴8＝2λ2.∴λ＝±2.∴k＝2λ＝±4.17．如右下图所示，在平行四边形ABCD中，eq\o(AD,\s\up6(→))＝a，eq\o(AB,\s\up6(→))＝b，M是AB的中点，点N是BD上一点，|BN|＝eq\f(1,3)|BD|.求证：M、N、C三点共线．证明：∵eq\o(AD,\s\up6(→))＝a，eq\o(AB,\s\up6(→))＝b，∴eq\o(BD,\s\up6(→))＝eq\o(AD,\s\up6(→))－eq\o(AB,\s\up6(→))＝a－b.∴eq\o(MN,\s\up6(→))＝eq\o(MB,\s\up6(→))＋eq\o(BN,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)b＋eq\f(1,3)eq\o(BD,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)b＋eq\f(1,3)(a－b)＝eq\f(1,3)a＋eq\f(1,6)b＝eq\f(1,6)(2a＋b)．又∵eq\o(MC,\s\up6(→))＝eq\o(MB,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)b＋a＝eq\f(1,2)(2a＋b)，∴eq\o(MC,\s\up6(→))＝3eq\o(MN,\s\up6(→)).∴eq\o(MC,\s\up6(→))与eq\o(MN,\s\up6(→))共线．又eq\o(MC,\s\up6(→))与eq\o(MN,\s\up6(→))有共同起点，∴M、N、C三点共线．18．设平面上不在一直线上的三点为O、A、B，证明：当实数p，q满足eq\f(1,p)＋eq\f(1,q)＝1时，连接peq\o(OA,\s\up6(→))，qeq\o(OB,\s\up6(→))两个向量终点的直线通过一个定点．证明：方法