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2.向量的数乘情景:我们已经学习了向量的加法,请同学们作出a+a+a和(-a)+(-a)+(-a)(与已知向量a相比).思考:相加后和的长度与方向有什么变化?这些变化与哪些因素有关?1.实数λ与向量a的积是一个向量,记作________.答案:λa2.|λa|=________.答案:|λ||a|3.当________时,λa与a方向相同;λ<0时,λa与a方向________;当________时,λa=0(a≠0).答案:λ>0相反λ=04.实数与向量的积的运算律中,结合律是________,它的几何意义是__________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________.答案:λ(μa)=(λμ)a将表示向量a的有向线段先伸长或压缩|μ|倍,再伸长或压缩|λ|倍,与直接将表示向量a的有向线段伸长或压缩|λμ|倍所得结果相同5.第一分配律是________,几何意义是___________________________________________________________________________________________________________________________________.答案:(λ+μ)a=λa+μa将表示向量a的有向线段伸长或压缩|λ|倍后,再与表示向量a的有向线段伸长或压缩|μ|倍后相加,和直接将表示向量a的有向线段伸长或压缩|λ+μ|倍所得结果相同6.第二分配律是________,几何意义是___________________________________________________________________________________________________________________________________.答案:λ(a+b)=λa+λb将表示向量a、b的有向线段先相加,再伸长或压缩|λ|倍,与将表示向量a、b的有向线段先伸长或压缩|λ|倍,再相加所得结果相同7.向量b与非零向量a共线的等价条件是__________________________________________________________.答案:存在唯一实数λ使b=λa8.向量线性运算是指向量的________运算,几何意义是__________________________________________________________.答案:加、减、数乘将表示两个向量a,b的有向线段先分别伸长或缩短|μ1|,|μ2|倍,再相加(或相减),最后再伸长或缩短|λ|倍,与将表示这两个向量a,b的有向线段先分别伸长或缩短|λμ1|,|λμ2|倍,再相加(或相减)所得的结果相同9.与非零向量a共线的单位向量是________.答案:±eq\f(a,|a|)实数与向量的积实数λ与向量a的积是一个向量,记作λa,它的长度和方向规定如下:(1)|λa|=|λ||a|;(2)当λ>0时,λa与a方向相同;当λ<0时,λa与a方向相反;当λ=0时,λa=0.实数λ与向量a相乘,叫做向量的数乘.实数与向量的积的定义可以看做是数与数的积的概念的推广.数与向量的积还是一个向量,λa与a同向(λ>0)或反向(λ<0)时,判断两个向量是否平行,实际上就是找出一个实数,使这个实数和其中的一个向量的积能够把另一个向量表示出来.向量数乘运算律设λ、μ为实数,那么:(1)λ(μa)=(λμ)a;(2)(λ+μ)a=λa+μa;(3)λ(a+b)=λa+λb.实数与向量的积的运算律与中学代数运算中实数乘法的运算律相似,只是实数乘向量的分配律由于因子的不同可分为:第一分配律,即(λ+μ)a=λa+μa;第二分配律,即λ(a+b)=λa+λb.共线向量定理如果有一个实数λ,使b=λa(a≠0),那么b与a是共线向量;反之,如果b与a(a≠0)是共线向量,那么有且只有一个实数λ,使b=λa.eq\x(基)eq\x(础)eq\x(巩)eq\x(固)1.设λ、μ∈R,下面叙述不正确的是()A.λ(μa)=(λμ)aB.(λ+μ)a=λa+μaC.λ(a+b)=λa+λbD.λa与a的方向相同(λ≠0)答案:D2.|a-b|=|a|+|b|(b≠0)成立的等价条件是()A.b=λa且λ∈(-∞,0)B.a=λb且λ∈[0,+∞)C.b=λa且λ∈(-∞,0]D.a=λb且λ∈(-∞,0]答案:D3.在△ABC中,D是BC边的中点,E是AD的中点,若eq\o(BE,\s\up6(→))=meq\o(AB,\s\up6(→))+neq\o(AC,\s\up6(→)),则m+n=________.解析:如图,eq\o(BE,\s\up6(→))=eq\o(AE,\s\up6(→))-eq\o(AB,\s\up6(→))=eq\f(1,2)eq\o(AD,\s\up6(→))-eq\o(AB,\s\up6(→))=eq\f(1,2)(eq\o(AB,\s\up6(→))+eq\o(BD,\s\up6(→)))-eq\o(AB,\s\up6(→))=-eq\f(1,2)eq\o(AB,\s\up6(→))+eq\f(1,2)eq\o(BD,\s\up6(→))=-eq\f(1,2)eq\o(AB,\s\up6(→))+eq\f(1,4)eq\o(BC,\s\up6(→))=-eq\f(1,2)eq\o(AB,\s\up6(→))+eq\f(1,4)(eq\o(AC,\s\up6(→))-eq\o(AB,\s\up6(→)))=-eq\f(3,4)eq\o(AB,\s\up6(→))+eq\f(1,4)eq\o(AC,\s\up6(→)).∴m=-eq\f(3,4),n=eq\f(1,4).∴m+n=-eq\f(1,2).答案:-eq\f(1,2)4.已知向量a=e1-2e2,b=2e1+e2,其中e1,e2不共线,则a+b与c=6e1-2e2的关系是________.答案:共线5.若a,b是已知向量,且eq\f(1,3)(3a-2c)+4eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,4)c-b))+a+6b=0,则c=________.答案:-6(a+b)6.已知向量a、b不共线,实数x、y满足等式5xa+(8-y)b=4xb+3(y+9)a,则x=_______,y=_______.答案:3-47.已知平面上不共线的四点O,A,B,C,若eq\o(OA,\s\up6(→))-2015eq\o(OB,\s\up6(→))+2014eq\o(OC,\s\up6(→))=0,则eq\f(|\o(AB,\s\up6(→))|,|\o(BC,\s\up6(→))|)=________.答案:20238.化简:eq\f(7,6)eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,2)a+\f(3,7)\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(b+\f(7,6)a))))-eq\f(1,2)eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1((3a+2b)-\f(2,3)a-b))=________.答案:09.已知eq\o(OA,\s\up6(→))=a,eq\o(OB,\s\up6(→))=b,C为eq\o(AB,\s\up6(→))上距A较近的一个三等分点,D为eq\o(CB,\s\up6(→))上距C较近的一个三等分点,则用a,b表示eq\o(OD,\s\up6(→))的表达式为eq\o(OD,\s\up6(→))=________.答案:eq\f(4a+5b,9)eq\x(能)eq\x(力)eq\x(升)eq\x(级)10.已知O,A,B是平面上的三个点,直线AB上有一点C,满足2eq\o(AC,\s\up6(→))+eq\o(CB,\s\up6(→))=0,则eq\o(OC,\s\up6(→))=()A.2eq\o(OA,\s\up6(→))-eq\o(OB,\s\up6(→))B.-eq\o(OA,\s\up6(→))+2eq\o(OB,\s\up6(→))\f(2,3)eq\o(OA,\s\up6(→))-eq\f(1,3)eq\o(OB,\s\up6(→))D.-eq\f(1,3)eq\o(OA,\s\up6(→))+eq\f(2,3)eq\o(OB,\s\up6(→))答案:A11.已知向量a、b,且eq\o(AB,\s\up6(→))=a+2b,eq\o(BC,\s\up6(→))=-5a+6b,eq\o(CD,\s\up6(→))=7a-2b,则一定共线的三点是()A.A、B、DB.A、B、CC.B、C、DD.A、C、D解析:∵eq\o(AB,\s\up6(→))=a+2b,eq\o(BD,\s\up6(→))=eq\o(BC,\s\up6(→))+eq\o(CD,\s\up6(→))=2a+4b=2eq\o(AB,\s\up6(→)),∴A、B、D三点共线.答案:A12.向量eq\o(OA,\s\up6(→))=a,eq\o(OB,\s\up6(→))=b,a、b不共线,则∠AOB的平分线eq\o(OM,\s\up6(→))可表示为()\f(a,|a|)+eq\f(b,|a|)\f(a+b,|a+b|)\f(|b|a-|a|b,|a|+|b|)D.λeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a,|a|)+\f(b,|b|)))(λ由|eq\o(OM,\s\up6(→))|确定)解析:因eq\f(a,|a|)与eq\f(b,|b|)均是单位向量,∴以这两个向量为邻边的平行四边形是菱形,而菱形的对角线平分对角.∴只有D项才表示∠AOB的平分线向量.答案:D13.O是平面上一定点,A、B、C是平面上不共线的三个点,动点P满足eq\o(OP,\s\up6(→))=eq\o(OA,\s\up6(→))+λeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\o(AB,\s\up6(→)),|\o(AB,\s\up6(→))|)+\f(\o(AC,\s\up6(→)),|\o(AC,\s\up6(→))|))),λ∈[0,+∞),则点P的轨迹一定通过△ABC的()A.外心B.内心C.重心D.垂心解析:eq\f(\o(AB,\s\up6(→)),|\o(AB,\s\up6(→))|)是与eq\o(AB,\s\up6(→))同向的单位向量,eq\f(\o(AC,\s\up6(→)),|\o(AC,\s\up6(→))|)是与eq\o(AC,\s\up6(→))同向的单位向量.以A为共同起点,以这两个单位向量为邻边作出菱形AB0P0C0,则它们的和向量eq\f(\o(AB,\s\up6(→)),|\o(AB,\s\up6(→))|)+eq\f(\o(AC,\s\up6(→)),|\o(AC,\s\up6(→))|)即菱形的对角线所确定的以A为起点的向量eq\o(AP0,\s\up6(→)),同时由菱形的对角线平分一组对角知AP0平分∠BAC.λeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\o(AB,\s\up6(→)),|\o(AB,\s\up6(→))|)+\f(\o(AC,\s\up6(→)),|\o(AC,\s\up6(→))|)))=λeq\o(AP0,\s\up6(→))(λ≥0),与以A为起点的AP0同向的向量eq\o(AP,\s\up6(→))=eq\o(OP,\s\up6(→))-eq\o(OA,\s\up6(→))=λeq\o(AP0,\s\up6(→))(λ≥0),故点P的轨迹是∠BAC的平分线(含点A).故通过内心.答案:B14.过△ABC的重心任作一直线分别交AB,AC于点D,E,若eq\o(AD,\s\up6(→))=xeq\o(AB,\s\up6(→)),eq\o(AE,\s\up6(→))=yeq\o(AC,\s\up6(→)),xy≠0,则eq\f(1,x)+eq\f(1,y)的值为________.解析:不妨设过△ABC的重心所作直线与BC平行,则eq\o(AD,\s\up6(→))=eq\f(2,3)eq\o(AB,\s\up6(→)),eq\o(AE,\s\up6(→))=eq\f(2,3)eq\o(AC,\s\up6(→)),故x=y=eq\f(2,3),所以eq\f(1,x)+eq\f(1,y)=eq\f(3,2)+eq\f(3,2)=3.15.已知非零向量e1,e2不共线,且eq\o(AB,\s\up6(→))=e1+e2,eq\o(BC,\s\up6(→))=ke1+8e2,eq\o(CD,\s\up6(→))=3(e1-e2).若A、B、D三点共线,试确定实数k的值.解析:∵eq\o(BD,\s\up6(→))=eq\o(BC,\s\up6(→))+eq\o(CD,\s\up6(→))=ke1+8e2+3(e1-e2)=(k+3)e1+5e2,又A、B、D三点共线,∴存在唯一实数λ,使得eq\o(AB,\s\up6(→))=λeq\o(BD,\s\up6(→)),即e1+e2=λ[(k+3)e1+5e2],即[λ(k+3)-1]e1=(1-5λ)e2.又e1,e2不共线,∴eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(λ(k+3)-1=0,,1-5λ=0.))则eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(k=2,,λ=\f(1,5).))∴k=2.16.设a,b是不共线的两个非零向量.(1)若eq\o(OA,\s\up6(→))=2a-b,eq\o(OB,\s\up6(→))=3a+b,eq\o(OC,\s\up6(→))=a-3b,求证:A,B,C三点共线;(2)若8a+kb与ka+2b共线,求实数k的值.(1)证明:∵eq\o(AB,\s\up6(→))=eq\o(OB,\s\up6(→))-eq\o(OA,\s\up6(→))=(3a+b)-(2a-b)=a+2b,而eq\o(BC,\s\up6(→))=(a-3b)-(3a+b)=-2a-4b=-2eq\o(AB,\s\up6(→)),∴eq\o(AB,\s\up6(→))与eq\o(BC,\s\up6(→))共线,且有公共端点B.∴A,B,C三点共线.(2)解析:∵8a+kb与ka+2b共线,∴存在实数λ,使得8a+kb=λ(ka+2b).∴(8-λk)a+(k-2λ)b=0.∵a与b不共线,∴eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(8-λk=0,,k-2λ=0.))∴8=2λ2.∴λ=±2.∴k=2λ=±4.17.如右下图所示,在平行四边形ABCD中,eq\o(AD,\s\up6(→))=a,eq\o(AB,\s\up6(→))=b,M是AB的中点,点N是BD上一点,|BN|=eq\f(1,3)|BD|.求证:M、N、C三点共线.证明:∵eq\o(AD,\s\up6(→))=a,eq\o(AB,\s\up6(→))=b,∴eq\o(BD,\s\up6(→))=eq\o(AD,\s\up6(→))-eq\o(AB,\s\up6(→))=a-b.∴eq\o(MN,\s\up6(→))=eq\o(MB,\s\up6(→))+eq\o(BN,\s\up6(→))=eq\f(1,2)b+eq\f(1,3)eq\o(BD,\s\up6(→))=eq\f(1,2)b+eq\f(1,3)(a-b)=eq\f(1,3)a+eq\f(1,6)b=eq\f(1,6)(2a+b).又∵eq\o(MC,\s\up6(→))=eq\o(MB,\s\up6(→))+eq\o(BC,\s\up6(→))=eq\f(1,2)b+a=eq\f(1,2)(2a+b),∴eq\o(MC,\s\up6(→))=3eq\o(MN,\s\up6(→)).∴eq\o(MC,\s\up6(→))与eq\o(MN,\s\up6(→))共线.又eq\o(MC,\s\up6(→))与eq\o(MN,\s\up6(→))有共同起点,∴M、N、C三点共线.18.设平面上不在一直线上的三点为O、A、B,证明:当实数p,q满足eq\f(1,p)+eq\f(1,q)=1时,连接peq\o(OA,\s\up6(→)),qeq\o(OB,\s\up6(→))两个向量终点的直线通过一个定点.证明:方法
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