平面连杆机构综合的解析法

平面连杆机构综合的解析法第一页，共五十三页，2022年，8月28日2，根据所要实现的从动件的运动规律不同，一般将连杆机构尺度综合分为下列三个基本问题：(1)刚体导引机构综合，或称为位置综合该综合要求能引导某个构件(刚体)按次序经过若干个给定的位置。例如图5-1所示的手术椅、工作中需要它能处于图示的三个位置。若用连杆机构来实现该功能时，就是一个三位置刚体导引机构综合问题。(2)函数生成机构综合该综合要求连杆机构的输入和输出构件间的位移关系满足预先给定的函数关系。

(3)轨迹生成机构综合该综合要求机构中连杆上某点沿给定的轨迹运动。如图所示轧辊机构第二页，共五十三页，2022年，8月28日

连杆机构综合所用的方法有解析法和几何法。解析法根据运动学原理建立设计方程，然后解析求解或用计算机求数值解。几何法应用运动几何学的原理作图求解。在解析法中又分精确点法综合和近似综合。3，机构的综合可分为三个阶段：（1）选择合适的机构类型，即型综合；（2）按所需要的自由度确定机构的构件数与运动副数；即数综合（3）尺度综合，通过计算，确定机构的基本尺寸；4，机构的检验准则对通过上述过程得到的平面连杆机构，是否合适，应符合以下准则：第三页，共五十三页，2022年，8月28日（1）有曲柄准则曲柄存在准则：最短杆与最长杆之和≤其余两杆长度之和；在此条件下，取最短杆或与最短杆相邻接的构件作机架，必有曲柄。（2）运动连续性准则(3)运动的顺序准则平面机构运动综合中,应符合规定的运动顺序要求。（4）传力准则机构的最小传动角≥40°。第四页，共五十三页，2022年，8月28日5-2刚体位移矩阵一、刚体绕坐标原点的旋转矩阵

刚体上的一个矢量就能完全确定此刚体在平面中的位置。图5-3表示刚体上一个矢量由位置v1，绕原点旋转a角到位置v2

。两者的关系为由于Z轴不变,上式写成矩阵简化记为:第五页，共五十三页，2022年，8月28日

前面公式的意义:在于知道刚体第一个位置的坐标后，可以用第一个位置的坐标和转角，来表示刚体转动后的坐标。二，刚体平面运动的一般情况（转动+移动）

如图所示，平面上某刚体由初始位置运动到末位置。该一般位移可以分解为随同基点的平动和相对基点的转动。

已知条件：刚体的初始位置q1，P1，刚体在其余位置时，相对于初始位置的转角θ1j和Pjx，Pjy，

求：刚体平面运动后的坐标；qjx，qjy解;刚体先作定轴转动:qj’‘第六页，共五十三页，2022年，8月28日再加上沿x,y轴的移动：转动在X方向的移动第七页，共五十三页，2022年，8月28日上式可以简记为：

对作一般平面运动的刚体,从位置1到位置j,根据理论力学的瞬心法，可以在平面内找到一个瞬心P0。如图所示：P1q1PjqjP0

在采用瞬心作为参考点的情况下，Pj=P1=P0，由于转动的效果相同，且d13j，d23j是已知的，所以：解出瞬心P0x，P0y第八页，共五十三页，2022年，8月28日

如图5-5所示，给定刚体的若干个位置，其上某点a相应位置为a1、a2、…aj，若它们位于一圆弧上，则该点称为圆点，可作为连架杆与连扦的铰接点，而该圆弧的圆心a0。可作为连架杆与机架的铰接点。5-3，刚体导引机构的综合一，连杆的三位置综合以知条件：给定连杆的三个位置，即三个参考点坐标P1，P2，P3，和两个相对转角θ12，θ13。

求：四杆机构的基本尺寸。公式推导：第九页，共五十三页，2022年，8月28日由此可得平面R-R导引杆的位移约束方程—定长方程。

若给定连杆的三个位置，这时定长方程中的j＝2、3，连架R-R导引杆的长度约束方程为：方程中：a0（a0x，a0y），a1，a2，a3点均为未知数，共8个Rotation第十页，共五十三页，2022年，8月28日

对四杆机构来讲，a点也在连杆上，随连杆作一般平面运动，所以，满足前面讲的刚体一般平面运动方程。

在这个方程组里面，可以用a1（a1x，a1y）来表示a2（a2x，a2y），a3代回到定长方程中，消去a2，a3。

在定长方程中，还有a0和a1，共4个未知数，但只有两个方程。如何解？

选定定铰点坐标a0（a0x，a0y），解出a1（a1x，a1y），所以方程有无数组解。第十一页，共五十三页，2022年，8月28日j=2，3代入定长方程j=2，3化简后：AjBjCj第十二页，共五十三页，2022年，8月28日所以，方程可以表示为：a1xA2+a1yB2=C2（1）a1xA3+a1yB3=C3

（2）解出a1x，a1y

作为四杆机构，在求出a1x，a1y以后，仅仅完成一半，还要再求出b1x，b1y，方法与前相同，但需要选定b0（b0x，b0y）。a0a1b1b0第十三页，共五十三页，2022年，8月28日

例5-1已知连杆的三个位置，即连杆上P点的三个位置及连杆的两个转角:试综合该四杆导引机构。素.=第十四页，共五十三页，2022年，8月28日A2=d112d132+d212d232+(1-d112)a0x-d212a0y=1×1+0×(-0.5)+0+0=1B2=d122d132+d222d232+(1-d222)a0y-d122a0x=0×1+(1×(-0.5)=-0.5C2=d132a0x+d232a0y-(d1322+d2322)/2=1×0-0.5×0-(12+0.52)/2=1.25/2(取a0x,a0y为0,0)第十五页，共五十三页，2022年，8月28日A3=d113d133+d213d233+(1-d113)a0x-d213a0yB3=d123d133+d223d233+(1-d223)a0y-d123a0xC3=d133a0x+d233a0y-(d1332+d2332)/2=第十六页，共五十三页，2022年，8月28日可得方程组:解方程得:a1x=0.955,a1y=3.24

取另一定铰链点的坐标为:(5,0),代入计算，得b1x=3.5477,b1y=-1.6545最后计算各杆的杆长:(1)(2)(5,0)作业:P885-3a0点取(0,0),b0点,取(15,0)，计算a2，a3，b2，b3，并按尺寸作图验证。第十七页，共五十三页，2022年，8月28日二,曲柄滑块机构

对给定刚体的几个位置如果能在刚体上找到一个点b，其相关点b1，b2，。。。bj在一条直线上，则该点可作为滑块与连杆的铰接点，而该直线，则代表滑块与机架组成移动副的方位线。如果能找到这样的点，则满足以下方程：上式就是P-R导引杆的位移约束方程——定斜率方程Plane-Rotation第十八页，共五十三页，2022年，8月28日1，若给定连杆的三个位置，即b点的三个坐标和θ12，θ13，只能建立一个约束方程：2，由于b点也在连杆上，所以，应满足刚体平面位移矩阵：

通过上面两个方程，可以用b1表示b2，b3，代回定斜率方程，消去b2，b3，这样，方程还有两个未知数：b1x，b1y。（1）（2）（3）第十九页，共五十三页，2022年，8月28日3，将前面用b1表示的b2和b3代入定斜率方程，化简后，得：式中：（4）

式（4)是圆的一般方程式，它表示满足连秆的三个给定位置时，导引滑块铰链点bl可在该圆上任取。导引滑块铰链点bl的这个位置分布圆称为滑块轨迹圆。将式(4)改写成圆的标准形式：滑块轨迹圆的圆心坐标C0：圆的半径

由上述可知，给定连杆的三个位置时，可得无数个满足给定位置要求的导引滑块，我们可根据其它条件，在滑块圆上选定一个，再求出另外一个，得到一个适当的解。第二十页，共五十三页，2022年，8月28日4，求另一个动铰链点a1a0a1b1

采取前面讲的R-R导引杆求a1点的方法进行求解。例5-2设计一曲柄滑块机构，要求能导引连杆平面通过以下三个位置：第二十一页，共五十三页，2022年，8月28日解：(1)导引滑块的综合

1)求滑块铰链中心的轨迹圆，计算刚体平面位移矩阵将各元素值代入式（4），计算下面的系数表达式得到：第二十二页，共五十三页，2022年，8月28日将这些系数代入，得轨迹圆方程可知滑块轨迹圆的圆心坐标为：轨迹圆半径为R＝4．623

2)选定滑块铰链中心bl的位置坐标b1x、b1y。设b1点取在轨迹圆与y轴的交点上，则b1x＝0，代入轨迹圆方程，得解上式，得b1y的两个解取b1（0，4.4262)第二十三页，共五十三页，2022年，8月28日3)求滑块导路的倾角a。滑块铰链点的第二、第三个位置B2，B3，可按式(6—22)求得(2)导引曲柄的综合

1)求动铰链点A1的位置坐标a1x，a1y，设取曲柄的固定铰链中心a0＝(0，-2.4)，代入式(5-16)得方程组第二十四页，共五十三页，2022年，8月28日解此线性方程组可得:2)求动铰链点A的其它两个位置A2、A3

3)计算机构各构件的相对尺寸第二十五页，共五十三页，2022年，8月28日P-R导引杆偏距故有曲柄存在。由于第二十六页，共五十三页，2022年，8月28日

三、连杆四个、五个位置综合问题

给定连杆的四个位置综合R-R导引杆时，式(5-1I)中的J＝2、3、4，于是可得一组3个设计方程可以利用关系式对用a1,表示a2，a3，a4第二十七页，共五十三页，2022年，8月28日

这样，前面的方程组便成为只包含四个未知量aox、aoy，a1x，a1y的非线性代数方程组。它们不容易化成简单的线性方程组。因此，常用迭代方法求数值解。如可用牛顿-罗夫森方法。因为只有三个方程，所以可给定四个未知量中的任一个而求其余三个。也可以给定其中任一个以一系列的值，而求出一系列的其他三个值。

例5-3在例5-1中再加上连杆的第四个位置：试决定四杆机构简图尺寸。

点(a1x，a1y)是在以点(a0x，a0y)为圆心的圆周上运动的点，称为圆点，而点(a0x，a0y)称为圆心点。因此，我们将求出来的一系列的值画成曲线，那就是圆心曲线与圆点曲线。这一系列工作可由计算机编程计算完成。第二十八页，共五十三页，2022年，8月28日第二十九页，共五十三页，2022年，8月28日

5-4函数生成机构综合

函数生成机构是指这样一类机构，它可以近似实现所要求的输出构件相对输入构件的某种函数关系。输入和输出构件可以是曲柄，也可以是滑块。

例1:管道的蝶阀开启机构

在管道输送压力一定的情况下，蝶阀开启的的大小，与流体的流量应符合一定的函数关系。

要控制流体的流量，可以控制阀门的开度。第三十页，共五十三页，2022年，8月28日例2，液面指示器

函数发生机构常用于操作，控制和仪表系统的机构设计。1，机构的输入参数，输出参数与给定函数的关系

当函数发生机构的输入杆与输出杆均为转动时，函数的自变量相应于机构的输入杆转角θ，而因变量相应于机构的输出杆转角φ；且都成正比。第三十一页，共五十三页，2022年，8月28日

由于四杆机构的特性，按照函数关系y=f（x）设计出来的函数发生机构，不能完全与函数一致，只能在函数定义区间内的有限几个点上完全一致，这样的点，就称为“精确点”。精确点的概念：自变量x变化范围：x0≤x≤xm，函数值y为：y0~ym相应输入杆的转角范围：θ0≤x≤θm；输出杆为：φ0~φmΔx=xm－x0，Δθ=

θm－θ0；Δy=f（xm）－f（x0）；Δφ=φm－φ0由于x与θ成正比，y与φ成正比，所以：比例因子Δθi=kθ（xi-x0）；Δφi=kφ（yi-y0）

第三十二页，共五十三页，2022年，8月28日3，切贝雪夫精确点位置配置法:

由于四杆机构不可能完全与给定函数一致，这种误差称为四杆机构的“结构误差”。我们只能希望尽可能减小这种结构误差。结构误差的大小与“精确点”的取值x1，x2，xm是有关系的。如何在函数的工作区间x0~xm内合理配置精确点，就是一个要解决的问题。yxR（x）x0x1x2x3xmxR（x）x0x1x2x3xm给定函数f（x）发生的函数

要使误差最小，应合理安排插值点的位置，使误差的最大值，最小值和端点处的误差的绝对值相等。

切贝雪夫精确点位置配置法就是满足上述要求的方法。第三十三页，共五十三页，2022年，8月28日n：插值点数目；Δx=xm-x0若取3个精确点，则上述取法得到的精确点，称切贝雪夫(chebyshev)精确点。若取4个精确点，则n＝4，有第三十四页，共五十三页，2022年，8月28日4，平面相对位移矩阵

对平面函数发生机构，已知条件是输入杆与输出杆转角应满足的函数关系，要求能综合出相应的四杆机构。为了简化问题，便于求解，设定铰点的坐标为a0（0,0），b0（1,0），这样，需要求解a1（a1x，a1y），b1（b1x，b1y）。4.1平面四杆函数机构(1)a0a1杆按给定角度转θ1j到a0a1j相应的,b0b1到b0b1j;

这个表达式未包含φ1j第三十五页，共五十三页，2022年，8月28日(2)将a0a1jb1jb0刚化,逆时针转-φ1j,使b0b1j回到b0b1的位置，这个过程可以看成是绕b0点的转动。在上式中，b0x=1，b0y=011第三十六页，共五十三页，2022年，8月28日把上式展开，得简记为：由=

到此，已将输入杆的转角与输出杆的转角联系起来，并用一个方程组来表示。满足该方程组的四杆机构，将符合给定的输入杆转角与输出杆转角之间的函数关系。这个矩阵称为”相对位移矩阵”相对位移矩阵第三十七页，共五十三页，2022年，8月28日4.2平面曲柄滑块函数机构

曲柄滑块函数机构是指曲柄的转角与滑块的位移满足给定函数关系的机构。（1）a0a1转θ1j到a0aj，滑块从b1到bj

将a0ajbj刚化，沿滑块移动的逆方向从bj到b1，使刚体作平面运动。第三十八页，共五十三页，2022年，8月28日按照刚体作平面运动的平面位移方程：在上式中，由于刚体是平动，所以θ1j=0

选坐标原点a0为参照点：即公式中的P点P1x=a0x=0，P1y=a0y=0Pjx=-sijcosa；Pjy=-sijsina代入平面位移方程：得再将前面的定轴转动方程代入：第三十九页，共五十三页，2022年，8月28日

对铰链四杆机构作为函数发生机构时，需确定各杆的长度、主动杆和从动杆初始角。

在四杆机构的四杆长度中，在机架长度为单位长度的情况下，选定连架杆的初始角度后，只有3个独立的参数。所以，加上两个连架杆的初始角，共有5个未知数。按照方程数与未知数相等的原理，平面四杆机构函数机构最多有5组精确点，在精确点少于5个时，可以选定其余的参数。a0a1b1b0abCd第四十页，共五十三页，2022年，8月28日5，三个精确点的综合（1）已知条件：

已知函数关系式y=f（x），精确点按切贝雪夫精确点公式进行计算，可以求出两组对应的转角θ12，θ13，φ12，φ13。选取两个连架杆的初始转角θ0，φ0（2）建立方程的条件

对平面四杆机构，按前面的推导过程，可以看成是以b0b1为机架，a0b0转动-φ1j而成。这个过程，称为倒置机架。

这样，就转化成为刚体的导引问题，由于在前面的假设中，机架a0b0的长度是设为单位长度，是已知的，所以，建立方程的条件就是ab杆定长。第四十一页，共五十三页，2022年，8月28日给定三个点,可以建立两个定长方程

通过用a1代替a2’，a3’，定长方程中，还有a1，b1共4个未知数。方程化简后，为：

在P66的公式（5-16）中，将a0x，a0y，换成b1x，b1y即可。bbbbbAjBjCjj=2，3b1x-b1x]b1y]b1y-b1x+d23jb1y第四十二页，共五十三页，2022年，8月28日所以，方程可以表示为：a1xA2+a1yB2=C2（1）a1xA3+a1yB3=C3

（2）（3）解方程，由于有两个方程，4个未知数，故选定b1x，b1y因为是选定b1，在b1不同时，解也不同，所以，方程有无数组解。例5-4设计一铰链四杆机构，使能近似实现给定的函数主、从动连架杆的最大摆角分别为60°和90°。第四十三页，共五十三页，2022年，8月28日2）算比例系数3）用切贝雪夫公式计算精确点：因为n=3，所以：=1.067=1.5=1.933按函数关系式,计算函数值:第四十四页，共五十三页，2022年，8月28日4),计算对应的转角:选定θ0

，φ0,θ0=86°,φ0=23.5°θ12=θ2-θ1=116-90.02=25.98°5)计算相对位移矩阵的值:第四十五页，共五十三页，2022年，8月28日6)选定b1x=1.348,b1y=0.217。计算方程的系数A,B,C,建立方程组解方程得:问题;选b1x,b1y是随意选吗?b1x,b1y选定一个,求出另一个。-0.018第四十六页，共五十三页，2022年，8月28日a0b0a1b1(0.0,0.0)(1.0,0.0)

在题中,选b1x=1.348,在计算时，考虑b点的坐标后，应为：b1y=(1.348-1)tg31.93°=0.2177)计算各杆的长度因已假定固定铰链的坐标(1,0)8),作图验证应设定合适的机构放大比例尺,本题选定的放大倍数为