高中数学苏教版第三章不等式基本不等式≥(a＞0b＞0) 全国获奖

一、填空题1.已知a，b都是正数，如果ab＝1，那么a＋b的最小值为__________．2.设a，b是实数，且a＋b＝3，则2a＋2b的最小值是__________．3.函数f(x)＝eq\f(\r(x),x＋1)的最大值为__________．4.函数y＝eq\f(x2＋7x＋10,x＋1)(x>－1)的最小值是__________．5.已知函数f(x)＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\f(x,x2＋x＋1)，x>0，,ex－\f(3,4)，x≤0，))则f(x)的值域为__________．6.已知x>0，y>0，且eq\f(2,x)＋eq\f(1,y)＝4，则x＋2y的最小值是__________．7.已知两个正实数x，y使x＋y＝4，则使不等式eq\f(1,x)＋eq\f(4,y)≥m恒成立的实数m的取值范围是____________．8.设a，b，c都是正数，且ab－4a－b＝0，则使a＋b－c≥0恒成立的c的取值范围是__________．9.已知函数f(x)＝eq\f(x2＋ax＋11,x＋1)(a∈R)，若对于任意x∈N＋，f(x)≥3恒成立，则a的最小值是__________．10.已知正数a，b，c满足3a－b＋2c＝0，则eq\f(\r(ac),b)的最大值为________．二、解答题11.(1)若x＞1，求x＋eq\f(4,x－1)的最小值；(2)若x＞0，y＞0，且2x＋8y－xy＝0，求xy的最小值．函数y＝loga(x＋3)－1(a＞0，a≠1)的图象恒过定点A.(1)求点A的坐标；(2)若点A在直线mx＋ny＋1＝0上，其中m，n都是正数，求eq\f(1,m)＋eq\f(2,n)的最小值．

13.某地政府决定建造一批保障房供给社会，缓解贫困人口的住房问题，计划用1600万元购得一块土地，在该土地上建造10幢楼房的住宅小区，每幢楼的楼层数相同，且每层建筑面积均为1000平方米，每平方米的建筑费用与楼层有关，第x层楼房每平方米的建筑费用为(kx＋800)元(其中k为常数)．经测算，若每幢楼为5层，则该小区每平方米的平均综合费用为1270元．注：每平方米平均综合费用＝eq\f(购地费用＋所有建筑费用,所有建筑面积).(1)求k的值；(2)问要使该小区楼房每平方米的平均综合费用最低，应将这10幢楼房建成多少层？此时每平方米的平均综合费用为多少元？1.2解析：∵a，b都是正数，∴eq\f(a＋b,2)≥eq\r(ab)，∴a＋b≥2eq\r(ab)＝2，等号仅当a＝b＝1时成立．2.4eq\r(2)解析：2a＋2b≥2eq\r(2a·2b)＝2eq\r(2a＋b)＝2eq\r(23)＝4eq\r(2)，等号仅当2a＝2b，即a＝b＝eq\f(3,2)时成立．3.eq\f(1,2)解析：当x＝0时，f(0)＝0；当x＞0时，x＋1≥2eq\r(x)＞0，∴f(x)≤eq\f(\r(x),2\r(x))＝eq\f(1,2)，等号仅当x＝1时成立．4.9解析：∵x>－1，∴x＋1>0.∴y＝eq\f(x2＋7x＋10,x＋1)＝(x＋1)＋eq\f(4,x＋1)＋5≥2eq\r(（x＋1）·\f(4,x＋1))＋5＝9，等号仅当x＋1＝eq\f(4,x＋1)，即x＝1时成立．∴当x＝1时，函数y＝eq\f(x2＋7x＋10,x＋1)(x>－1)取得最小值为9.5.eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(3,4)，\f(1,3)))解析：当x≤0时，f(x)＝ex－eq\f(3,4)≤e0－eq\f(3,4)＝eq\f(1,4)，且f(x)＞－eq\f(3,4)，即x≤0时，－eq\f(3,4)＜f(x)≤eq\f(1,4)；当x>0时，f(x)＝eq\f(x,x2＋x＋1)＝eq\f(1,x＋\f(1,x)＋1)≤eq\f(1,3)，且f(x)＞0，即当x>0时，0＜f(x)≤eq\f(1,3).所以f(x)的值域为(－eq\f(3,4)，eq\f(1,4)]∪(0，eq\f(1,3)]＝(－eq\f(3,4)，eq\f(1,3)]．6.2解析：x＋2y＝eq\f(1,4)(x＋2y)(eq\f(2,x)＋eq\f(1,y))＝eq\f(1,4)(eq\f(4y,x)＋eq\f(x,y)＋4)≥eq\f(1,4)(4＋4)＝2，等号仅当eq\f(4y,x)＝eq\f(x,y)，即x＝1，y＝eq\f(1,2)时成立．7.eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(－∞，\f(9,4)))解析：∵eq\f(1,x)＋eq\f(4,y)＝eq\f(1,4)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,x)＋\f(4,y)))(x＋y)＝eq\f(1,4)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(y,x)＋\f(4x,y)＋5))≥eq\f(1,4)(4＋5)＝eq\f(9,4)，等号仅当eq\f(y,x)＝eq\f(4x,y)，即x＝eq\f(4,3)，y＝eq\f(8,3)时成立，∴m≤eq\f(9,4).8.(0，9]解析：∵ab－4a－b＝0，∴eq\f(1,a)＋eq\f(4,b)＝1，a＋b＝(a＋b)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,a)＋\f(4,b)))＝eq\f(b,a)＋eq\f(4a,b)＋5≥4＋5＝9，等号仅当eq\f(b,a)＝eq\f(4a,b)，即a＝3，b＝6时成立．又c≤a＋b恒成立，∴c≤9.9.－eq\f(8,3)解析：对任意x∈N＋，f(x)≥3恒成立，即eq\f(x2＋ax＋11,x＋1)≥3恒成立，即a≥－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(8,x)))＋3.设g(x)＝x＋eq\f(8,x)，x∈N＋，则g(2)＝6，g(3)＝eq\f(17,3).∵g(2)>g(3)，∴g(x)min＝eq\f(17,3).∴－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(8,x)))＋3≤－eq\f(8,3)，∴a≥－eq\f(8,3)，故a的最小值是－eq\f(8,3).10.eq\f(\r(6),12)解析：eq\f(\r(ac),b)＝eq\f(\r(ac),3a＋2c)≤eq\f(\r(ac),2\r(3a·2c))＝eq\f(\r(6),12)，仅当3a＝2c＝eq\f(b,2)时取等号，故eq\f(\r(ac),b)的最大值为eq\f(\r(6),12).11.解：(1)∵x＋eq\f(4,x－1)＝x－1＋eq\f(4,x－1)＋1≥2eq\r(（x－1）·\f(4,x－1))＋1＝5，等号当且仅当x－1＝eq\f(4,x－1)，即x＝3时成立，∴当x＝3时，x＋eq\f(4,x－1)取最小值5.(2)∵x＞0，y＞0，2x＋8y－xy＝0，∴xy＝2x＋8y≥2eq\r(16xy)，∴eq\r(xy)≥8，xy≥64，等号当且仅当2x＝8y即x＝4y时成立．将x＝4y代入2x＋8y－xy＝0得正数y＝4，于是x＝16.故y＝4，x＝16时，xy取最小值64.12.解：(1)∵仅当x＝－2时，函数y＝loga(x＋3)－1(a>0，a≠1)的函数值与a无关，且此时y＝－1，∴定点A的坐标是(－2，－1)．(2)将点A(－2，－1)的坐标代入mx＋ny＋1＝0，得(－2)·m＋(－1)·n＋1＝0，2m＋n＝1，∵m，n>0，∴eq\f(1,m)＋eq\f(2,n)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,m)＋\f(2,n)))(2m＋n)＝4＋eq\f(n,m)＋eq\f(4m,n)≥4＋2eq\r(\f(n,m)·\f(4m,n))＝8.等号当且仅当eq\f(n,m)＝eq\f(4m,n)，即m＝eq\f(1,4)，n＝eq\f(1,2)时成立．故当m＝eq\f(1,4)，n＝eq\f(1,2)时，eq\f(1,m)＋eq\f(2,n)取最小值为8.13.解：(1)如果每幢楼为5层，那么所有建筑面积为10×1000×5平方米，所有建筑费用为[(k＋800)＋(2k＋800)＋(3k＋800)＋(4k＋800)＋(5k＋800)]×1000×10，所以1270＝{16000000＋[(k＋800)＋(2k＋800)＋(3k＋800)＋(4k＋800)＋(5k＋800)]×1000×10}÷(10×1000×5)，解得k＝50.(2)设小区每幢为n(n∈N*)层时，每平方米平均综合费用为f(n)，由题设可知f