高中数学北师大版1第三章变化率与导数 第3章

第三章§1一、选择题(每小题5分，共20分)1．在平均变化率的定义中，自变量的改变量Δx满足()A．Δx＞0 B．Δx＜0C．Δx≠0 D．Δx＝0解析：当Δx＞0时，是从右端逼近，Δx＜0时，是从左端逼近，但Δx≠0，故选C.答案：C2．在曲线y＝x2＋1的图像上取一点(1,2)及附近一点(1＋Δx,2＋Δy)，则eq\f(Δy,Δx)为()A．Δx＋eq\f(1,Δx)＋2 B．Δx－eq\f(1,Δx)－2C．Δx＋2 D．2＋Δx－eq\f(1,Δx)解析：∵x1＝1，x2＝1＋Δx，即Δx＝x2－x1，∴Δy＝(xeq\o\al(2,2)＋1)－(xeq\o\al(2,1)＋1)＝(1＋Δx)2＋1－(12＋1)＝2Δx＋(Δx)2，∴eq\f(Δy,Δx)＝eq\f(2Δx＋Δx2,Δx)＝2＋Δx.答案：C3．一物体的运动方程是s＝3＋t2，则在一小段时间[2,]内相应的平均速度为()A． B．3C．4 D．解析：eq\f(Δs,Δt)＝eq\f(3＋－3＋22,－2)＝.答案：D4．如果某物体做运动方程为s＝2(1－t2)的直线运动(s的单位为m，t的单位为s)，那么其在s末的瞬时速度为()A．－0.88m/s B．C．－4.8m/s D．解析：Δs＝s＋Δt)－s＝2[1－＋Δt)2]－2(1－＝－2(Δt)2－Δt，∴eq\f(Δs,Δt)＝eq\f(－2Δt2－Δt,Δt)＝－2Δt－.∴当Δt→0时，eq\f(Δs,Δt)→－.答案：C二、填空题(每小题5分，共10分)5．函数y＝x2－2x＋1在x＝－2附近的平均变化率为________．解析：当自变量从－2变化到－2＋Δx时，函数的平均变化率为eq\f(Δy,Δx)＝eq\f(－2＋Δx2－2－2＋Δx＋1－4＋4＋1,Δx)＝Δx－6.答案：Δx－66．质点的运动方程是s(t)＝eq\f(1,t2)，则质点在t＝2时的速度为______．解析：eq\f(Δs,Δt)＝eq\f(s2＋Δt－s2,Δt)＝eq\f(\f(1,2＋Δt2)－\f(1,4),Δt)＝－eq\f(4＋Δt,42＋Δt2)，Δt→0，eq\f(Δs,Δt)→－eq\f(1,4).答案：－eq\f(1,4)三、解答题(每小题10分，共20分)7．已知函数f(x)＝2x2＋3x－5.(1)求当x1＝4，且Δx＝1时，函数增量Δy和平均变化率eq\f(Δy,Δx)；(2)求当x1＝4，且Δx＝时，函数增量Δy和平均变化率eq\f(Δy,Δx).解析：f(x)＝2x2＋3x－5，∴Δy＝f(x1＋Δx)－f(x1)＝2(x1＋Δx)2＋3(x1＋Δx)－5－(2×xeq\o\al(2,1)＋3×x1－5)＝2[(Δx)2＋2x1Δx]＋3Δx＝2(Δx)2＋(4x1＋3)Δx.(1)当x1＝4，Δx＝1时，Δy＝2＋(4×4＋3)×1＝21，∴eq\f(Δy,Δx)＝eq\f(21,1)＝21.(2)当x1＝4，Δx＝时，Δy＝2×＋(4×4＋3)×＝＋＝，∴eq\f(Δy,Δx)＝eq\f,＝.8．求函数y＝eq\r(x＋1)在x0到x0＋Δx之间的平均变化率．解析：设函数值变化量为Δy，∵Δy＝eq\r(x0＋Δx＋1)－eq\r(x0＋1)＝eq\f(x0＋Δx＋1－x0＋1,\r(x0＋Δx＋1)＋\r(x0＋1))＝eq\f(Δx,\r(x0＋Δx＋1)＋\r(x0＋1))，∴eq\f(Δy,Δx)＝eq\f(1,\r(x0＋Δx＋1)＋\r(x0＋1)).即y＝eq\r(x＋1)在x0到x0＋Δx之间的平均变化率为eq\f(1,\r(x0＋Δx＋1)＋\r(x0＋1)).eq\x(尖子生题库)☆☆☆9．(10分)若一物体运动方程如下：(位移：m，时间：s)s＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(3t2＋2t≥3①,29＋3t－320≤t<3②)).求：(1)物体在t∈[3,5]内的平均速度；(2)物体的初速度v0；(3)物体在t＝1时的瞬时速度．解析：(1)∵物体在t∈[3,5]内的时间变化量为Δt＝5－3＝2，物体在t∈[3,5]内的位移变化量为Δs＝3×52＋2－(3×32＋2)＝3×(52－32)＝48，∴物体在t∈[3,5]上的平均速度为eq\f(Δs,Δt)＝eq\f(48,2)＝24(m/s)．(2)求物体的初速度v0即求物体在t＝0的瞬时速度．∵物体在t＝0附近的平均变化率为eq\f(Δs,Δt)＝eq\f(f0＋Δt－f0,Δt)＝eq\f(29＋3[0＋Δt－3]2－29－30－32,Δt)＝3Δt－18，∴物体在t＝0处的瞬时变化率为eq\o(lim,\s\do5(Δt→0))eq\f(Δs,Δt)＝eq\o(lim,\s\do5(Δt→0))(3Δt－18)＝－18，即物体的初速度为－18(3)物体在t＝1时的瞬时速度即为函数在t＝1处的瞬时变化率．∵物体在t＝1附近的平均变化率为eq\f(Δs,Δt)＝eq\f(f1＋Δt－f1,Δt)＝eq\f(29＋3[1＋Δt－3]2－29－31－