高中数学人教A版第二章数列 课时提升作业(十二)

温馨提示：此套题为Word版，请按住Ctrl,滑动鼠标滚轴，调节合适的观看比例，答案解析附后。关闭Word文档返回原板块。课时提升作业(十二)等比数列(25分钟60分)一、选择题(每小题5分，共25分)1.(2023·广州高二检测)已知等比数列an的通项公式为an=3n+2(n∈N*)，则该数列的公比是A.19 B.9 C.13【解析】选D.由题意得a1=33，a2=34，所以公比q=a22.已知等比数列{an}中，a2023=a2023=-1，则a2023=() C.±1 D.以上都不对【解析】选C.由题意得a2023，a2023，a2023成等比数列，所以a20162=a2023·a所以a2023=±1.3.(2023·海口高二检测)在等比数列{an}中，a1=12，q=12，an=132 B.4 【解析】选C.由题意得12×12n-1【延伸探究】本题条件改为在等比数列{an}中，a1=1，q=2，an=64，结果又如何？【解析】由题意得1×2n-1=64，所以n=7.4.(2023·雅安高一检测)已知数列{an}满足a1=1，an+1=23an，n∈N*，则an=A.23n-1 B.23n C.3【解析】选A.因为an+1=23an，n∈N*，所以an+1an=所以数列{an}是首项为1，公比为23所以an=1×23n-1=【误区警示】解答本题容易搞错作比顺序，导致求错公比.5.如果数列a1，a2a1，a3a2，…，anan-1，…是首项为1 B.64 【解析】选=a1×a2a1×a3=a15q1+2+3+4=(-2)二、填空题(每小题5分，共15分)6.(2023·徐州高二检测)等比数列1，2，2，…的第五项是________.【解析】该等比数列的首项为1，公比为2，所以第五项是1×(2)4=4.答案：47.(2023·浙江高考)已知an是等差数列，公差d不为零.若a2，a3，a7成等比数列，且2a1+a2=1，则a1=______，d=______【解析】由题意可得，(a1+2d)2=(a1+d)(a1+6d)，故有3a1+2d=0，又因为2a1+a2=1，即3a1+d=1，所以d=-1，a1=23答案：23【补偿训练】公差不为0的等差数列第2，3，6项构成等比数列，则公比为________.【解析】设等差数列为{an}，公差为d，首项为a1，由题设知，等差数列{an}中，a32=a2·a所以(a1+2d)2=(a1+d)(a1+5d)，因为d≠0，所以d=-2a1，所以a1≠0.故公比q=a3a2=a答案：38.等比数列{an}中，a1，a2，a3分别是下表第一、二、三行中的某一个数，且a1，a2，a3中的任何两个数不在下表的同一列.则数列{an}的通项公式为________.第一列第二列第三列第一行3210第二行6414第三行9818【解析】依题意可得a1=2，a2=6，a3=18，所以首项为2，公比为3，所以数列an的通项公式为an=2×3n-1答案：an=2×3n-1三、解答题(每小题10分，共20分)9.等比数列的前3项依次是a，2a+2，3a+3，试问-1312是否为这个数列中的项？如果是，是第几项【解题指南】一个等比数列的前三项仍然构成等比数列，则可以求出a的值，要判断-1312【解析】因为a，2a+2，3a+3是等比数列的前三项，仍然构成等比数列.所以a(3a+3)=(2a+2)2，解得a=-1或a=-4.当a=-1时，数列的前三项依次为-1，0，0.与等比数列的定义矛盾，故将a=-1舍去.当a=-4时，数列的前三项依次为-4，-6，-9.则公比为q=32.所以an=-4·3令-4·32n-1=-1312，即32n-1所以n-1=3，即n=4.所以-131210.(1)若数列an为等差数列，证明：数列2(2)若数列an为等比数列，且an>0，证明：数列lg【证明】(1)若数列{an}为等差数列，设公差为d，则2

an+12

所以{2a(2)若数列{an}为等比数列，设公比为q，则lgan+1-lgan=lgan+1所以{lgan}为等差数列.(20分钟40分)一、选择题(每小题5分，共10分)1.(2023·石家庄高二检测)从集合{1，2，3，4，…，10}中任意选出三个不同的数，使这三个数成等比数列，这样的等比数列的个数为() B.4 【解析】选C.这样的等比数列可以为1，2，4；2，4，8；4，2，1；8，4，2；1，3，9和9，3，1共6个.【补偿训练】设{an}是公比为q的等比数列，|q|>1，令bn=an+1(n=1，2，…)，若数列{bn}有连续四项在集合{-53，-23，19，37，82}中，则q=() 32 C.32【解析】选B.由题意：等比数列{an}有连续四项在集合{-54，-24，18，36，81}中，由等比数列的定义知：四项是两个正数、两个负数，故-24，36，-54，81符合题意，则q=-322.(2023·大连高一检测)一个正整数数表如下(表中下一行中的数的个数比上一行中数的个数多两个，每行中的数成公比为2的等比数列)，则第6行的第5个数是()第1行1第2行248第3行163264128256…… B.230 【解析】选A.由题意得各行数构成等比数列，第6行的第5个数是此数列的第1+3+5+7+9+5=30项，所以该数是229.二、填空题(每小题5分，共10分)3.(2023·扬州高一检测)若Sn为等差数列{an}的前n项和，S9=-36，S13=-104，则a5与a7的等比中项为________.【解析】因为S9=9(a1+所以a5=-4，因为S13=13(a1+所以a7=-8，所以a5与a7的等比中项为±(-4)×(-8)=±4答案：±424.(2023·德州高二检测)在数列{an}中，若a1=1，an+1=2an+3(n≥1)，则数列的通项an=________.【解析】设an+1+k=2(an+k)，则an+1=2an+k，又因为an+1=2an+3，所以k=3，所以an+1+3=2(an+3).又因为a1+3=4，所以an+3≠0，an+1所以数列an所以an+3=4×2n-1=2n+1，所以an=2n+1-3.答案：2n+1-3三、解答题(每小题10分，共20分)5.有四个数，前三个数成等比数列，后三个数成等差数列，第一个数与第四个数的和为21，中间两个数的和为18，求这四个数.【解析】方法一：设第一个数为a，则第四个数为21-a；设第二个数为b，则第三个数为18-b，因此，这四个数为a，b，18-b，21-a，由题意得a(18-b)=b2,所以这四个数为3，6，12，18或754，454，274方法二：设前三个数分别为aq，a，aq，则第四个数为2aq-a.由题意得aq+(2aq-a)=21,当q=2时，a=6，这四个数为3，6，12，18.当q=35时，a=454，这四个数为754，454，方法三：设后三个数为a-d，a，a+d，则第一个数为(a-d)2由题意得(解得a=12,d=6.所以这四个数为3，6，12，18或754，454，274【补偿训练】互不相等的三个数之积为-8，这三个数适当排列后，可成为等比数列，也可排成等差数列，求这三个数排成的等差数列.【解析】设三个数为aq所以a3=-8，即a=-2.所以三个数为-2q①若-2为-2q则2q+2q=4，所以q2解得q=1与已知矛盾；②若-2q为-2q与-2的等差中项，则1所以2q2-q-1=0，解得q=-12所以三个数为4，1，-2；③若-2q为-2q与-2的等差中项，则q+1=2所以q2+q-2=0，所以解得q=1(舍去)或q=-2.所以三个数为-2，1，4.综合①，②，③可知，这三个数排成的等差数列为4，1，-2或-2，1，4.6.设数列{an}的首项a1=a≠14，且an+1=记bn=a2n-1-14，n=1，2，3，(1)求a2，a3.(2)判断数列{bn}是否为等比数列，并证明你的结论.【解析】(1)a2=a1+14=a+14，a3=12a2=1(2)因为a4=a3+14=12a+所以a5=12a4=14a+所以b1=a1-14=a-14，b2=a3-14b3=a5-14=1猜想：数列{bn}是公比为12证明如下：因为bn+1=a2n