高中数学函数与导数综合题型分类总结

天道酬勤王江编撰II）因为，是方程的根，所以，。,；在处取得极大值，在处取得极小值.函数图像与轴有3个交点，，12解：（Ⅰ）设其图像关于原点对称，即得∴，则有由，依题意得∴①，②由①②得故所求的解析式为：.（Ⅱ）由解得：或，∴时，函数单调递增；设是时，函数图像上任意两点，且，则有∴过这两点的直线的斜率.13、解：（1）又直线（2）由（1）知，列表如下：xf′+0－0+f（x）极大值极小值所以，函数f（x）的单调增区间是和14、解：（1）由得c=1 ，得∴ （2）得，时取得极值.由，得∴.，，∴当时，，∴在上递减.又∴函数的零点有且仅有1个 15、解：（I）又（II）。16、解：（Ⅰ），依题意，即解得∴（Ⅱ）由（Ⅰ）知，曲线与有两个不同的交点，即在上有两个不同的实数解。设，则，由0的或，当时，于是在上递增；当时，于是在上递减.依题意有∴实数的取值范围是.17、解：（Ⅰ）由题意：∴，（Ⅱ）由（Ⅰ）知：，数列满足：，故，（Ⅲ）令，相减得：∴18、解：（Ⅰ），与轴交点为，，（Ⅱ），当时，由，得或（舍），∴在上单调递增，在上单调递减。当时，由得在上单调递增。如图所示，为在上的图像。∵当时，，∴当时，由故的最大值的情形如下：当时，当时，当时，∴19、解：⑴f'(x)＝3x2＋2bx＋c，由题知f'(1)＝03＋2b＋c＝0，f(1)＝－11＋b＋c＋2＝－1∴b＝1，c＝－5，f(x)＝x3＋x2－5x＋2，f'(x)＝3x2＋2x－5f(x)在[－，1]为减函数，f(x)在(1，＋∞)为增函数∴b＝1，c＝－5符合题意⑵即方程：恰有三个不同的实解：x3＋x2－5x＋2＝k(x≠0)即当x≠0时，f(x)的图象与直线y＝k恰有三个不同的交点，由⑴知f(x)在为增函数，f(x)在为减函数，f(x)在(1，＋∞)为增函数，又，f(1)＝－1，f(2)＝2∴且k≠2 20、解：（1）由题意当时，取得极值，所以即此时当时，，当时，，是函数的最小值。（2）设，则，……8分设，，令解得或列表如下：__0+函数在和上是增函数，在上是减函数。当时，有极大值；当时,有极小值函数与的图象有两个公共点，函数与的图象有两个公共点或21、解：(1)由知，在R上单调递增，恒成立，且，即且，．（2），由余弦定理：，，（3）在R上单调递增，且，所以，故，即，，即，即．题型三：函数的切线问题；问题1：在点处的切线，易求；问题2：过点作曲线的切线需四个步骤；第一步：设切点，求斜率；第二步：写切线（一般用点斜式）；第三步：根据切点既在曲线上又在切线上得到一个三次方程；第四步：判断三次方程根的个数；例22.已知函数在点处取得极小值－4，使其导数的的取值范围为，求：（1）的解析式；（2）若过点可作曲线的三条切线，求实数的取值范围．例23.已知（为常数）在时取得一个极值，（1）确定实数的取值范围，使函数在区间上是单调函数；（2）若经过点A（2，c）（）可作曲线的三条切线，求的取值范围．答案：22、解：（1）由题意得：∴在上；在上；在上因此在处取得极小值∴①，②，③由①②③联立得：，∴ （2）设切点Q，过令，求得：，方程有三个根。需：故：；因此所求实数的范围为： 23、解：（1）∵函数在时取得一个极值，且，， ．或时，或时，时，， 在上都是增函数，在上是减函数． ∴使在区间上是单调函数的的取值范围是 （2）由（1）知．设切点为，则切线的斜率，所以切线方程为：． 将点代人上述方程，整理得：． ∵经过点可作曲线的三条切线，∴方程有三个不同的实根． 设，则 ，在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，故 得：．题型四：函数导数不等式线性规划精彩交汇；例24.设函数，在其图象上一点处的切线的斜率记为．(1)若方程有两个实根分别为-2和4，求的表达式；(2)若在区间上是单调递减函数，求的最小值。例25.已知函数（1）若图象上的是处的切线的斜率为的极大值。（2）在区间上是单调递减函数，求的最小值。例26.已知函数（，，且）的图象在处的切线与轴平行.(I)试确定、的符号；(II)若函数在区间上有最大值为，试求的值.答案：n02324、解：（1）根据导数的几何意义知由已知-2，4是方程的两个实根由韦达定理，∴，n023（2）在区间上是单调递减函数，所以在区间上恒有，即在区间上恒成立这只需满足即可，也即而可视为平面区域内的点到原点距离的平方由图知当时，有最小值13；25、解：（1）由题意得令由此可知－13+0－0+↗极大值↘极小值－9↗时取极大值（2）上是减函数上恒成立作出不等式组表示的平面区域如图当直线经过点时取最小值26、解：(I)由图象在处的切线与轴平行，知，∴①…………3分又，故，.…………4分(II)令,得或……6分易证是的极大值点，是极小值点（如图）.…………7分令，得或.…………8分分类：(I)当时，，∴.②由①，②解得，符合前提.(II)当时，,∴.③由①，③得.记,∵,∴在上是增函数，又，∴,∴在上无实数根.综上，的值为.题型五：函数导数不等式数列的精彩交汇例27.已知函数满足且有唯一解。求的表达式；（2）记，且＝，求数列的通项公式。（３）记，数列｛｝的前ｎ项和为，求证例28.已知函数，其中.（Ⅰ）若曲线在点处的切线方程为，求函数的解析式；（Ⅱ）讨论函数的单调性；（Ⅲ）若对于任意的，不等式在上恒成立，求的取值范围.例29.在数列中，，且已知函（）在时取得极值.学科网（Ⅰ）求数列的通项；学科网（Ⅱ）设，且对于恒成立，求实数的取值范围．学例30.已知函数，为实数）有极值，且在处的切线与直线平行.（1）求实数a的取值范围；（2）是否存在实数a，使得函数的极小值为1，若存在，求出实数a的值；若不存在，请说明理由；例31.已知函数（a、c、d∈R）满足且在R上恒成立。（1）求a、c、d的值；（2）若，解不等式；（3）是否存在实数m，使函数在区间[m，m+2]上有最小值－5？若存在，请求出实数m的值，若不存在，请说明理由。例32.设函数（），其中（1）当时，求曲线在点（2，）处的切线方程；（2）当时，求函数的极大值和极小值；（3）当时，证明存在，使得不等式对任意的恒成立。例33.已知函数为常数）（Ⅰ）若（Ⅱ）若在和处取得极值，且在时，函数的图象在直线的下方，求的取值范围？答案：27、解：(1)由即有唯一解又(2)由又数列是以首项为，公差为(3)由=28、解：（Ⅰ），由导数的几何意义得，于是．由切点在直线上可得，解得．所以函数的解析式为．（Ⅱ）解：．当时，显然（）．这时在，上内是增函数．当时，令，解得．当变化时，，的变化情况如下表：＋0－－0＋↗极大值↘↘极小值↗所以在，内是增函数，在，内是减函数．（Ⅲ）解：由（Ⅱ）知，在上的最大值为与的较大者，对于任意的，不等式在上恒成立，当且仅当，即，对任意的成立．从而得，所以满足条件的的取值范围是．科网29、解：(Ⅰ)∵(1)＝0∴(an＋2－an＋1)－(3an＋1－4an)＝0即an＋2－2an＋1＝2(an＋1－2an)又a2－2a1＝4∴数列｛an＋1－2an｝是以2为公比，以4为首项的等比数列。∴an＋1－2an＝4×2n－1＝2n＋1∴且∴数列｛｝是首项为1，公差为1的等差数列，∴＝＋(n－1)×1＝n∴（Ⅱ）由，令Sn＝|b1|＋|b2|＋…＋|bn|＝eq\f(2,3)＋2(eq\f(2,3))2＋3(eq\f(2,3))3＋…＋n(eq\f(2,3))neq\f(2,3)Sn＝(eq\f(2,3))2＋2(eq\f(2,3))3＋…＋(n－1)(eq\f(2,3))n＋n(eq\f(2,3))n＋1得eq\f(1,3)Sn＝eq\f(2,3)＋(eq\f(2,3))2＋(eq\f(2,3))3＋…＋(eq\f(2,3))n－n(eq\f(2,3))n+1＝eq\f(eq\f(2,3)[1－(eq\f(2,3))n],1－eq\f(2,3))－n(eq\f(2,3))n+1＝2[1－(eq\f(2,3))n]－n(eq\f(2,3))n+1∴Sn＝6[1－(eq\f(2,3))n]－3n(eq\f(2,3))n+1＜要使得|b1|＋|b2|＋…＋|bn|＜m对于n∈N＊恒成立,只须，所以实数的取值范围是.30、解：（1）由题意 ① ② 由①、②可得，故 （2）存在 由（1）可知， +0－0+单调增极大值单调减极小值单调增 ， . 的极小值为1.31、解：（1），，，即，从而。在R上恒成立，，即，解得。（2）由（1）知，，，∴不等式化为，即，∴（a）若，则不等式解为；（b）若，则不等式解为空集；（c）若，则不等式解为。（3）。该抛物线开口向上，对称轴为。若，即时，在[m，m+2]上为增函数。当时，由已知得，解得。若，即时，当时，。由已知得，无解。若，即时，在[m，m+2]上为减函数。当时，。由已知得，解得。综上所述，存在实数或，使函数在区间[m，m+2]上有最小值－5。32、解：（Ⅰ）当时，，得，且，．所以，曲线在点处的切线方程是，整理得．（Ⅱ）解：．令，解得或．由于，以下分两种