武汉理工大学《自动控制原理》考研出题老师课件

1引言第八章非线性控制系统分析非线性：指元件或环节的静特性不是按线性规律变化。非线性系统：如果一个控制系统，包含一个或一个以上具有非线性静特性的元件或环节，则称这类系统为非线性系统，其特性不能用线性微分方程来描述。一．控制系统中的典型非线性特性一些是组成控制系统的元件所固有的，如饱和特性，死区特性和滞环特性等，这些特性一般来说对控制系统的性能是不利的；另一些特性则是为了改善系统的性能而人为加入的，如继电器特性，变增益特性，在控制系统中加入这类特性，一般来说能使系统具有比线性系统更为优良的动态特性。非线性系统分析1饱和特性（2）死区特性2危害：使系统输出信号在相位上产生滞后，从而降低系统的相对稳定性，使系统产生自持振荡。（3）间隙非线性3功能：改善系统性能的切换元件（4）继电器特性4二．非线性控制系统的特性（1）对于线性系统，它的根本标志就在于能使用叠加原理。目前，还没有像求解线性微分方程那样求解非线性微分方程的通用方法。对非线性系统，一般并不需要求解其输出响应过程。通常是把讨论问题的重点放在系统是否稳定，系统是否产生自持振荡，计算自持振荡的振幅和频率，消除自持振荡等有关稳定性的分析上。（2）在线性系统中，系统的稳定性只与其结构和参数有关，而与初始条件无关。但非线性系统的稳定性除和系统的结构形式及参数有关外，还和初始条件有关。在不同的初始条件下，运动的最终状态可能完全不同。如有的系统初始值处于较小区域内时是稳定的，而当初始值处于较大区域内时则变为不稳定。反之，也可能初始值大时系统稳定，而初始值小时不稳定。5（3）在非线性系统中，除了从平衡状态发散或收敛于平衡状态两种运动形式外，往往即使无外作用存在，系统也可能产生具有一定振幅和频率的稳定的等幅振荡。自持振荡：无外作用时非线性系统内部产生的稳定的等幅振荡称为自持振荡，简称自振荡。改变非线性系统的结构和参数，可以改变自持振荡的振幅和频率，或消除自持振荡。对线性系统，围绕其平衡状态只有发散和收敛两种运动形式，不可能产生稳定的自持振荡。6（4）在线性系统中，输入为正弦函数时，其输出的稳态分量也是同频率的正弦函数，输入和稳态输出之间仅在振幅和相位上有所不同。而非线性系统输出的稳态分量在一般情况下并不具有与输入相同的函数形式。三．非线性系统的研究方法现在尚无一般的通用方法来分析和设计非线性控制系统。对非本质非线性系统基于小偏差线性化概念来处理对本质非线性系统二阶系统：相平面法高阶系统：描述函数法72.相平面法相平面法是一种通过图解法求解二阶非线性系统的准确方法。一．基本概念8二．线性系统的相轨迹9奇点：相轨迹的斜率不能由该点的坐标值单值地确定的点称为奇点。1011（6）12三.相轨迹的绘制13b.直接积分法（2）图解法a.等倾线法等倾线：在相平面内对应相轨迹上具有等斜率点的连线14151617五．非线性系统的相平面分析1．基本概念实奇点：奇点位于对应的线性工作区域内虚奇点：奇点位于对应的线性工作区域外极限环：极限环是相平面图上一个孤立的封闭轨迹，所有极限环附近的相轨迹都将卷向极限环，或从极限环卷出。极限环内部（或外部）的相轨迹，总是不可能穿过极限环而进入它的外部（或内部）。（1）稳定极限环在极限环附近，起始于极限环外部或内部的相轨迹均收敛于该极限环。这时，系统表现为等幅持续振荡。18（2）不稳定极限环在极限环附近的相轨迹是从极限环发散出去。在这种情况下，如果相轨迹起始于极限环内，则该相轨迹收敛于极限环内的奇点，如果相轨迹起始于极限环外，则该相轨迹发散至无穷远。（3）半稳定极限环如果起始于极限环外部的相轨迹，从极限环发散出去，而起始于极限环内部各点的相轨迹，收敛于极限环;或者相反，起始于极限环外部各点的相轨迹收敛于极限环，而起始于极限环内部各点的相轨迹收敛于圆点。19一般非线性系统可用分段线性微分方程来描述。在相平面的不同区域内，代表该非线性系统运动规律的微分方程是线性的，因而每个区域内的相轨迹都是线性系统的相轨迹，仅在不同区域的边界上相轨迹要发生转换。区域的边界线称为开关线或转20换线。因此，一般非线性系统相轨迹实际上就是分段线性系统相轨迹，我们只需做好相轨迹在开关线上的衔接工作。用相平面法分析非线性系统的一般步骤：（1）将非线性特性用分段的线性特性来表示，写出相应线段的数学表达式。（2）首先在相平面上选择合适的坐标，一般常用误差及其导数分别为横纵坐标。然后将相平面根据非线性特性分成若干区域，使非线性特性在每个区域内都呈线性特性。（3）确定每个区域的奇点类别和在相平面上的位置。（4）在各个区域内分别画出各自的相轨迹。（5）将相邻区域的相轨迹，根据在相邻两区分界线上的点对于相邻两区具有相同工作状态的原则连接起来，便得到整个非线性系统的相轨迹。（6）基于该相轨迹，全面分析二阶非线性系统的动态及稳态特性例2.非线性系统方框图如图所示，试取其系统在输入信号2122（1）

)(1)(tRtr×=三个区的微分部分分别为I

0=+eeT&&&

oee<II

0)(=-++o&&&eeKeeT

oee+>III

0)(=--+o&&&eeKeeT

oee-<在I区

=-=Tdeed1&常量

说明相轨迹是斜率为T1-的直线在II区

eeeKedeed&&&o)(-+-=奇点为

o&eee==,0

奇点正好位于I，II区分界线上令

a=deed&则有等倾线方程

a+--=1)(o&eeKe即

a+-1K的直线方程过)0,(oe点2324例32526非线性系统的典型结构可由下图所示.描述函数法的基本思想是用某一数学方法,将非线性系统谐波线性化后,引用分析线性系统的频率响应法.为此,非线性系统本身必须满足以下条件:

(2)非线性环节的输入信号是幅值为A的正弦信号,不包含恒定直流分量;(3)非线性环节的输出信号一般情况下是非正弦信号,从付里叶级数角度看,它是直流分量,一次谐波即基波分量及高次谐波分量的叠加.如线性8-4.描述函数法(1)非线性环节N的特性不是时间的函数,即是非时变的;27部分具有良好的低通虑波特性,能将中的高次谐波分量有效地虑掉,则可近似认为只有中的一次谐波分量沿闭环通道传送;(4)要求沿闭环通道传送的信号不能有的直流分量,因此非线性环节的特性必须斜对称,即满足如下关系式:,则的直流分量

2.描述函数的定义非线性环节输出信号一次谐波分量与输入正弦信号的复数比定义为非线性环节的描述函数,即:式(21)中:为非线性环节的描述函数;是非线性环节正弦输入信号的幅值;为非线性环节输出信号一次谐波分量的幅值;输出一次谐波分量和输入正弦信号的初相位之差.28描述函数的一般计算公式如下:设非线性环节输入正弦信号,非线性环节的非正弦输出信号经付里叶级数展开后可表为:根据上述条件(4)有:根据上述条件(3)有:上式中:因此,左式中:,从而描述函数式(21)表为29采用描述函数法研究非线性系统,其优点是不管非线性系统的线性部分是几阶的,它均能被采用.

但用它研究问题的范围仅限于分析和校正非线性系统的稳定性,稳定性的性质,如自激振荡的稳定性和振荡参数.不能研究非线性系统的瞬态响应性能,且非线性系统无外加输入信号,线性部分要具有良好的低通虑波特性,以满足分析的精度要求.30饱和特性数学表达式为由于y(t)为单值对称函数，故有

0,001==AA二．典型非线性特性的描述函数（1）饱和特性的描述函数31由于为奇函数,则为偶函数,所以32（2）死区特性描述函数3334（4）继电特性描述函数353637(6)典型非线性环节串联时的描述函数例1求取非线性环节的等效形式38例239三.非线性控制系统的描述函数分析(1)控制系统的稳定性分析40Nyquist图上分析谐波线性化系统稳的准则是（