正切函数的性质与图象 课件(人教A版必修四)

1.4.3正切函数的性质与图象解析式y=tanx图象定义域___________________________值域__函数y=tanx的图象和性质R解析式y=tanx周期___奇偶性_______单调性在开区间___________________上都是增函数π奇函数判断：(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)正切函数的定义域和值域都是R.()(2)正切曲线是中心对称图形，有无数个对称中心.()(3)正切曲线有无数条对称轴，其对称轴是()提示：(1)错误.正切函数的定义域为值域为R.(2)正确.点是其对称中心.(3)错误.正切曲线没有对称轴.答案：(1)×(2)√(3)×【知识点拨】1.正切函数性质的拓展(1)对称性：正切函数图象的对称中心是不存在对称轴.(2)单调性：正切函数在每个区间内是单调增加的，但不能说其在定义域内是增加的.(3)渐近线：直线称为正切曲线的渐近线，渐近线把正切曲线分成无数个不连续的部分.正切曲线在渐近线右侧向下无限接近渐近线，在渐近线左侧向上无限接近渐近线.2.“三点两线法”作正切曲线的简图(1)“三点”分别为其中k∈Z；两线为直线和直线其中k∈Z.(两线也称为正切曲线的渐近线，即无限接近但不相交).(2)作简图时，只需先作出一个周期中的两条渐近线，然后描出三个点，用光滑的曲线连接得一条曲线，最后平行移动至各个周期内即可.类型一正切函数的定义域、值域问题

【典型例题】1.函数y=tan(sinx)的定义域为______，值域为______.2.函数y=tan2x-2tanx+3的最小值为______.3.求函数的定义域.【解题探究】1.解三角不等式的两种常用方法是什么？2.如何求形如y=Atan2x+Btanx+C的函数最值？3.求与正切函数有关的定义域时应注意什么问题？探究提示：1.求解三角不等式,一种是利用三角函数线,另一种是利用三角函数图象,先在一个周期内找到满足不等式的解,再根据周期性加上周期的整数倍即可得完整解集,同时要注意定义域对解集的限制.2.一般是转化为二次函数配方后求最值.3.除了按求函数定义域的一般要求外，还要保证正切函数有意义.【解析】1.因为sinx∈［-1,1］，所以y=tan(sinx)的定义域为R，值域为［tan(-1),tan1］.答案：R［tan(-1),tan1］2.y=(tanx-1)2+2，由于tanx∈R，所以当tanx=1时，函数取最小值2.答案：23.由得，所以的定义域为【拓展提升】求正切函数定义域的方法及求值域的注意点(1)求与正切函数有关的函数的定义域时,除了求函数定义域的一般要求外,还要保证正切函数y=tanx有意义,即而对于构建的三角不等式,常利用三角函数的图象求解.解形如tanx＞a的不等式的步骤：(2)求解与正切函数有关的函数值域时,要注意函数的定义域,在定义域内求值域；对于求由正切函数复合而成的函数的值域时,常利用换元法,但要注意新“元”的范围.【变式训练】函数的值域是()A.［-1,1］B.［-1,0)∪(0,1］C.(-∞,1］D.［-1,+∞)【解析】选A.为增函数，故值域为［-1,1］.类型二正切函数的单调性的应用

【典型例题】1.比较大小：tan167°______tan173°.2.求的单调区间.【解题探究】1.函数y=tanx的周期和单调区间分别是什么？2.常采用何种方法求形如y=Atan(ωx+φ)的单调区间？探究提示：1.周期是π，单调增区间为2.常采用“整体代换”的思想，令k∈Z，解得x的范围即可.【解析】1.因为所以又y=tanx在上为增函数，所以所以tan167°＜tan173°.答案：＜2.由题意，即所以增区间为【互动探究】题2若改为如何求单调区间？【解析】

可化为由故减区间为【拓展提升】1.求函数y=Atan(ωx+φ)(A，ω，φ都是常数)的单调区间的方法(1)若ω＞0，由于y=tanx在每一个单调区间上都是增函数，故可用“整体代换”的思想，令解得x的范围即可.(2)若ω＜0，可利用诱导公式先把y=Atan(ωx+φ)转化为y=Atan［-(-ωx-φ)］=-Atan(-ωx-φ)，即把x的系数化为正值，再利用“整体代换”的思想，求得x的范围即可.2.运用正切函数单调性比较大小的方法(1)运用函数的周期性或诱导公式将角化到同一单调区间内.(2)运用单调性比较大小关系.【变式训练】若则()A.f(0)>f(-1)>f(1)B.f(0)>f(1)>f(-1)C.f(1)>f(0)>f(-1)D.f(-1)>f(0)>f(1)【解题指南】y=tanx在上为增函数.根据诱导公式把转化到上再比较大小.【解析】选A.又所以f(0)>f(-1)>f(1).类型三正切函数的奇偶性与周期

【典型例题】1.函数的周期是()2.函数y=|tanx|的图象对称于()A.原点B.y轴C.x轴D.直线y=x【解题探究】1.如何求函数y=Atan(ωx+φ)的最小正周期?2.怎样判断函数的对称性？探究提示：1.2.先求出函数的定义域,再判断此定义域是否关于原点对称,然后根据奇偶函数的定义寻找f(-x)与f(x)的关系.【解析】1.选C.2.选B.由|tanx|=|tan(-x)|,所以y=|tanx|为偶函数，所以图象关于y轴对称.【拓展提升】与正切函数有关的函数的周期性、奇偶性问题的解决策略(1)一般地，函数y=Atan(ωx+φ)的最小正周期为常常利用此公式来求周期.(2)判断函数的奇偶性要先求函数的定义域，判断其是否关于原点对称.若不对称，则该函数无奇偶性，若对称，再判断f(-x)与f(x)的关系.【变式训练】下列函数中,既是以π为周期的奇函数，又是上的增函数的是()A.y=tanxB.y=cosx【解析】选A.由于y=tanx与是奇函数，但是只有y=tanx的周期为π，y=cosx与y=|sinx|是偶函数.【规范解答】正切函数性质的应用【典例】【条件分析】【规范解答】由于函数y=tanx的对称中心为其中k∈Z.…………………2分故令其中

……………4分由于所以当k=2时，故函数解析式为………6分由于正切函数y=tanx在区间上为增函数.则令………………8分解得…………10分故函数的单调增区间为…………12分【失分警示】【防范措施】1.结合图象把握性质：对于函数的性质，充分利用好图象，掌握性质.如本例中正切函数的对称中心和单调区间.2.整体代换的思想：在求三角函数的单调区间以及对称轴、对称中心时，要有充分的整体意识.如本例中的求φ值和求单调增区间.

【类题试解】函数f(x)=tan(3x+φ)图象的一个对称中心是其中试求函数f(x)的定义域、值域和单调性.【解析】由于函数y=tanx的对称中心为其中k∈Z，故令其中由于故当k=1时，得故函数解析式为由得所以函数的定义域为值域为R.由于正切函数y=tanx在区间上为增函数,故令解得即函数的单调增区间为1.直线y=a(a为常数)与正切曲线y=tanωx(ω是常数且ω>0)相交，则相邻两交点间的距离是()【解析】选C.相邻两交点间的距离恰为该函数的周期，由y=tanωx，ω>0，得2.已知a=tan2，b=tan3，c=tan5，下列大小关系正确的是()A.a>b>cB.a<b<cC.b>a>cD.b<a<c【解析】选C.c=tan5=tan(5-π)，又y=tanx在上为增函数，所以tan(5-π)<tan2<tan3，即b>a>c.3.函数的一个对称中心是()【解析】选C.由y=tanx的对称中心是得当