概率论第三章3-1

第三

章 多维随机变量及其分布从本讲起，我们开始第三章的学习，一维随机变量及其分布n

维随机变量及其分布它是第二章内容的推广.1一、二维随机变量及其联合分布函数1.概念的引入

到现在为止，我们只讨论了一维随机变量及其分布.

但有些随机现象用一个随机变量来描述还不够，而需要用两个或两个以上的随机变量来描述.§1 二维随机变量2

为了研究某一地区6岁儿童的发育状况，对这一地区的儿童进行抽查.

对这一地区的每一个6岁儿童都能观测到他的身高H和体重W，

在这里，样本空间S={e}={某一地区所有6岁儿童}，而身高H(e)和体重W(e)

都是定义在S上的随机变量，由它们构成一个向量(H,

W).实例13实例2

在平面坐标系中，一门大炮向目标发射一发炮弹.

炮弹落点位置由它的横坐标X和纵坐标Y来确定.

横坐标X(e)和纵坐标Y(e)

都是定义在同一个样本空间上的随机变量.

由它们构成一个向量(X,

Y).42.定义

设E是一个随机试验，样本空间为S={e}，设X=X(e)和Y=Y(e)

都是定义在S上的随机变量，由它们构成的向量(X,

Y)，称为二维随机向量或二维随机变量.5SeX(e)Y(e)注意事项6

第二章讨论的随机变量也叫一维随机变量.

和一维的情况类似，我们也借助分布函数来研究二维随机变量.73.联合分布函数

设(X,Y)是二维随机变量，对任意实数x,y，二元函数：称为二维随机变量(X,Y)的分布函数，或称为随机变量X和Y的联合分布函数.894.分布函数的基本性质1011(3)对于x和y，F(x,y)都是右连续的，即对任意的实数x0和y0，均有1213可以用分布函数计算某些事件的概率.14

一电子元件由两个部件构成，以X，Y分别表示两个部件的寿命(单位：千小时).已知X和Y的联合分布函数为求两个部件的寿命都超过100小时的概率.解

所求的概率为例115161.定义 一般地，如果(X,Y)全部可能取到的值是有限对或可列无穷多对，则称(X,Y)是二维离散型随机变量.二、二维离散型随机向量及其分布上式称为二维离散型随机变量(X,Y)的分布律，也称随机变量X和Y的联合分布律.17二维随机向量(X,Y)的分布律也可表示为182.性质3.二维离散型随机变量X和Y的联合分布函数为19例120例1（续）21例1（续）22例2解且由乘法公式得2324三、连续型随机向量及其联合密度1.定义

对二维随机变量(X,Y)的分布函数F(x,y)，若存在非负可积函数f(x,y)，使得对任意的x,y有则称(X,Y)是二维连续型随机变量，函数f(x,y)称为二维随机变量(X,Y)的概率密度，或称为随机变量X和Y的联合概率密度.252.联合密度的性质26

在几何上z=f(x,y)表示空间的一个曲面，上式即表示

P{(X,Y)G}的值等于以G

为底，以曲面z=f(x,y)为顶的柱体体积27设二维随机变量(X,Y)具有概率密度解例32829注：

在进行与二维连续型随机变量(X,Y)相关的各种问题的计算时，经常要用到二重积分或用到二元函数固定其中一个变量对另一个变量的积分，此时要注意弄清楚积分变量的变化范围.

解题时，画出有关函数定义域的图形，有助于准确确定积分区域或积分区间.30设二维随机变量(X,Y)具有概率密度解例4313233343. 二维连续型随机变量X和Y的联合分布函数与联合密度的关系为35设例7求(X,Y)的分布函数F(x,y).解36

设(X,Y)是连续型随机向量，且已知其分布函数为例8解3738

以上关于二维随机变量的讨论不难推广到n(n>2)的情况.39

一般地，设E是一个随机试验，样本空间为S={e}，设X1=X1(e)，X2=X2(e),…,Xn=Xn(e)都是定义在S上的随机变量，由它们构成的n维向量(X1,X2,…,Xn)称为n维随机向量或n维随机变量.

对于任意n个实数x1,x2,…,xn,n元函数F(x1,x2,…,xn)=称为n维随机变量(