山西省吕梁市贺罗中学2022-2023学年高三数学理上学期期末试卷含解析

山西省吕梁市贺罗中学2022-2023学年高三数学理上学期期末试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.已知函数为奇函数，时为增函数且，则=（

）A.

B.C.

D.参考答案：A2.

甲、乙、丙、丁四位同学各自对、两变量的线性相关性作试验，并用回归分析方法分别求得相关系数与残差平方和如下表：

甲乙丙丁0.820.780.690.85115106124103则哪位同学的试验结果体现、两变量更强的线性相关性？（

）

甲

乙

丙

丁参考答案：D3.已知函数，若恰有两个不同的零点，则a的取值范围为（

）A. B. C. D.参考答案：C【分析】利用导数求得函数的单调性，求得当时，函数的最大值为，再根据函数由两个零点，得出，即可求解，得到答案.【详解】由题意，函数，则，当时，，此时函数单调递增，函数最多只有一个零点，不符合题意；当时，令，即，解得或（舍去）则当时，，函数单调递增，当时，，函数单调递减，所以函数的最大值为，要使得函数由两个零点，则，解得，故选C.【点睛】本题主要考查了利用导数研究函数的零点问题，其中解答中利用导数得出函数的单调性和最大值是解答的关键，着重考查了推理与运算能力.4.设全集，集合则集合=（

）A．

B．

C．

D．参考答案：B试题分析：,.考点：集合交并补．5.如图，在圆上任取一点，过点作轴的垂线段，为垂足.当点在圆上运动时，线段的中点的轨迹是椭圆，那么这个椭圆的离心率是（A）

（B）

（C）

（D）参考答案：D【考点】椭圆【试题解析】设

由题知：，所以

又因为所以，

所以

所以6.已知一个空间几何体的三视图如图所示，其中正视图为等腰直角三角形，侧视图与俯视图均为正方形，那么该几何体的表面积是（

）A．16

B．

C．20

D．参考答案：B7.

设函数，曲线在点处的切线方程为，则曲线在点处切线的斜率为

(

)A．

B．

C．

D．

参考答案：A8.已知函数，则的图象大致为

参考答案：A略9.已知不等式组，则目标函数z=2y﹣x的最大值是（） A．1 B． ﹣1 C． ﹣5 D． 4参考答案：A略10.四棱锥的所有侧棱长都为，底面是边长2的正方形，则四棱锥的外接球的表面积（

）

A.

B.

C.

D.参考答案：C略二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.已知圆的圆心与点关于直线对称，并且圆与相切，则圆的方程为______________。参考答案：12.已知，，且与的夹角为锐角，则的取值范围是

．参考答案：且试题分析：由于与的夹角为锐角，，且与不共线同向，由，解得，当向量与共线时，得，得，因此的取值范围是且．考点：向量夹角．13.(09年石景山区统一测试理)若展开式的第项为，则=

．参考答案：14.为了了解居民天气转冷时期电量使用情况，某调查人员由下表统计数据计算出回归直线方程为，现表中一个数据为污损，则被污损的数据为

．（最后结果精确到整数位）

气温x181310－1用电量y2434·64

参考答案：3815.已知函数是偶函数，定义域为，则--____参考答案：16.设向量，，则向量在向量方向上的投影为

．参考答案：17.曲线在处的切线的斜率

参考答案：2

略三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.已知椭圆：的离心率为，点为左焦点，过点作轴的垂线交椭圆于、两点，且.（1）求椭圆的方程；（2）在圆上是否存在一点，使得在点处的切线与椭圆相交于、两点满足？若存在，求的方程；若不存在，请说明理由.参考答案：（1）又,椭圆的方程为：（2）假设存在点，使得.当的斜率不存在时，:或与椭圆：相交于，两点，此时或当直线的斜率不存在时不满足.当直线的斜率存在时，设：则直线与椭圆相交于，两点，化简得设，，又与圆相切，，显然不成立，在圆上不存在这样的点使其成立.19.已知函数（Ｒ）的两个零点为设.（Ⅰ）当时，证明：．（Ⅱ）若函数在区间和上均单调递增，求的取值范围.参考答案：解：（Ⅰ）证法1：由求根公式得：因为，所以，一方面：，…4分另一方面，由，得于是，

…………7分证法2：因为在区间上单调递减，在上单调递增，

所以，当时，在区间（-2,0）上单调递减.………4分又因为：，所以：．…………7分(Ⅱ)…………９分若则上单调递减，从而在区间上不可能单调递增，于是只有.

…………11分当时，由（1）知：，于是，由在上单调递增可知，在也是单调递增的．

…………13分又因为在和均单调递增，结合函数图象可知，上单调递增，于是，欲使在（2，+）上单调递增，只需，亦即．综上所述，.

…………15分20.已知函数．（1）求函数的极值；（2）求函数的单调区间；（3）若不等式对一切正实数恒成立，求实数的取值范围．参考答案：【知识点】利用导数研究函数的极值；利用导数研究函数的单调性；利用导数求闭区间上函数的最值．B12【答案解析】（1）g（x）有极大值为g（1）＝0，无极小值；（2）当a≤1时，h（x）的增区间为（0，＋∞），无减区间；当a＞1时，h（x）增区间为（0，1），（a，＋∞）；减区间为（1，a）；（3）（－∞，2]．

解析：（1）g（x）＝lnx－x＋1，g′（x）＝－1＝，当0＜x＜1时，g′（x）＞0；当x＞1时，g′（x）＜0，可得g（x）在（0,1）上单调递增，在（1，＋∞）上单调递减，故g（x）有极大值为g（1）＝0，无极小值．

（2）h（x）＝lnx＋|x－a|．当a≤0时，h（x）＝lnx＋x－a，h′（x）＝1＋＞0恒成立，此时h（x）在（0，＋∞）上单调递增；当a＞0时，

①当x≥a时，h（x）＝lnx＋x－a，h′（x）＝1＋＞0恒成立，此时h（x）在（a，＋∞）上单调递增；

②当0＜x＜a时，h（x）＝lnx－x＋a，h′（x）＝－1＝．

当0＜a≤1时，h′（x）＞0恒成立，此时h（x）在（0，a）上单调递增；

当a＞1时，当0＜x＜1时h′（x）＞0，当1≤x＜a时h′（x）≤0，所以h（x）在（0，1）上单调递增，在（1，a）上单调递减．

综上，当a≤1时，h（x）的增区间为（0，＋∞），无减区间；当a＞1时，h（x）增区间为（0，1），（a，＋∞）；减区间为（1，a）．（3）不等式（x2－1）f（x）≥k（x－1）2对一切正实数x恒成立，即（x2－1）lnx≥k（x－1）2对一切正实数x恒成立．当0＜x＜1时，x2－1＜0；lnx＜0，则（x2－1）lnx＞0；当x≥1时，x2－1≥0；lnx≥0，则（x2－1）lnx≥0．因此当x＞0时，（x2－1）lnx≥0恒成立．又当k≤0时，k（x－1）2≤0，故当k≤0时，（x2－1）lnx≥k（x－1）2恒成立．下面讨论k＞0的情形．记△＝4（1－k）2－4＝4（k2－2k）．①当△≤0，即0＜k≤2时，h′（x）≥0恒成立，故h（x）在（0，1）及（1，＋∞）上单调递增．于是当0＜x＜1时，h（x）＜h（1）＝0，又x2－1＜0，故（x2－1）h（x）＞0，即（x2－1）lnx＞k（x－1）2．当x＞1时，h（x）＞h（1）＝0，又x2－1＞0，故（x2－1）h（x）＞0，即（x2－1）lnx＞k（x－1）2．又当x＝1时，（x2－1）lnx＝k（x－1）2．因此当0＜k≤2时，（x2－1）lnx≥k（x－1）2对一切正实数x恒成立．②当△＞0，即k＞2时，设x2＋2（1－k）x＋1＝0的两个不等实根分别为x1，x2（x1＜x2）．函数φ（x）＝x2＋2（1－k）x＋1图像的对称轴为x＝k－1＞1，又φ（1）＝4－2k＜0，于是x1＜1＜k－1＜x2．故当x∈（1，k－1）时，φ（x）＜0，即h′（x）＜0，从而h（x）在（1，k－1）在单调递减；而当x∈（1，k－1）时，h（x）＜h（1）＝0，此时x2－1＞0，于是（x2－1）h（x）＜0，即（x2－1）lnx＜k（x－1）2，因此当k＞2时，（x2－1）lnx≥k（x－1）2对一切正实数x不恒成立．综上，当（x2－1）f（x）≥k（x－1）2对一切正实数x恒成立时，k≤2，即k的取值范围是（－∞，2]．【思路点拨】（1）求导数，确定函数的单调性，即可求函数g（x）=f（x）﹣x+1的极值；（2）求导数，分类讨论，利用导数的正负，即可求函数h（x）=f（x）+|x﹣a|（a为实常数）的单调区间；（3）注意：①适当变形后研究函数h（x）；②当k＞2时，区间（1，k﹣1）是如何找到的．21.已知椭圆+=1（a＞b＞0）经过点（0，），离心率为，左、右焦点分别为F1（﹣c，0）与F2（c，0）．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）设椭圆C与x轴负半轴交点为A，过点M（﹣4，0）作斜率为k（k≠0）的直线l，交椭圆C于B、D两点（B在M、D之间），N为BD中点，并设直线ON的斜率为k1．（i）证明：k?k1为值；（ii）是否存在实数k，使得F1N⊥AD？如果存在，求直线l的方程；如果不存在，请说明理由．参考答案：【考点】直线与圆锥曲线的综合问题．【专题】圆锥曲线中的最值与范围问题．【分析】（I）由椭圆经过点（0，），离心率为，可得，解得即可．（II）（i）设B（x1，y1），D（x2，y2），线段BD的中点N（x0，y0）．由题意可得直线l的方程为：y=k（x+4），与椭圆方程联立化为（3+4k2）x2+k2x+64k2﹣12=0，由△＞0，可得，且k≠0．利用根与系数的关系、中点坐标公式可得=，即可证明．（ii）假设存在实数k，使得F1N⊥AD，则=﹣1，利用斜率计算公式可得x2=﹣8k2﹣2＜﹣2，与x2≥﹣2矛盾．【解答】解：（I）∵椭圆经过点（0，），离心率为，∴，解得a=2，c=1，b=．∴椭圆C的方程为．（II）（i）证明：设B（x1，y1），D（x2，y2），线段BD的中点N（x0，y0）．由题意可得直线l的方程为：y=k（x+4），联立，化为（3+4k2）x2+k2x+64k2﹣12=0，由△＞0，可得，且k≠0．∴x1+x2=，．∴=，y0=k（x0+4）=，∴=，即k1?k=﹣为定值．（ii）假设存在实数k，使得F1N⊥AD，则=﹣1，∵===，kAD==，∴=﹣1，化为x2=﹣8k2﹣2＜﹣2，与x2≥﹣2矛盾，∴直线l不存在．【点评】本题考查了椭圆的标准方程及其性质、直线与椭圆相交问题转化为方程联立可得根与系数的关系、中点坐标公式、斜率计算公式、相互垂直的直线斜率之间的关系，考查了推理能力与计算能力，属于难题．22.下图给出的是2000年至2016年我国实际利用外资情况，以下结论正