方差分析-科学学位研究生

宋曼殳首都医科大学公共卫生学院流行病与卫生统计学系医学科研中的统计学方法方差分析单样本t检验(OneSamplettest)配对样本均数t检验(PairedSamplest

test)两独立样本均数ｔ检验

(TwoIndependentSamplest

test)t’检验复习：计量资料的假设检验t检验(ttest)（当方差不齐时）z检验(Ztest)（当总体标准差σ已知或样本量较大时）复习：实验研究的基本要素高血压病人降压药血压值受试对象实验效应三要素：处理因素

将18只大鼠随机分为三组，用二氧化硅（SiO2）50mg染尘，分别于染尘后1个月、3个月、6个月将大鼠处死，称量其全肺湿重（见表１），试说明染尘后1个月、3个月、6个月三个时期大鼠的全肺湿重是否有变化？实例：

表13个时期大鼠全肺湿重(g)观测结果染尘时间：1个月3个月6个月3.34.43.63.64.44.44.33.45.14.14.25.04.24.75.53.34.24.7全肺湿重各组均数：3.8

4.2

4.7全部数据均数：4.2

为什么多个均数之间的比较多次采用t检验是不正确的？

主要原因:容易出现假阳性错误造成资料的浪费

每次不犯第一类错误的概率为

1-0.05=0.95当这些检验独立进行时，则每次比较均不犯错误的概率为0.95３=0.8574，相应犯第一类错误的概率为1-0.8574=0.1426，远大于设定的0.05并且随着比较次数的增多，犯第一类错误的总概率将不断增大并趋向于1

多个样本均数的两两比较对于独立地来自于正态分布总体且总体方差相等的k(k≥3)个样本均数的比较，t检验不再适用，而应采用方差分析方差分析

（AnalysisofVariance）

简写为ANOVA方差分析（ANOVA）又称变异数（variance）分析它是英国统计学家R.A.Fisher1923年首先提出的一种统计方法为纪念Fisher，以F命名，故也称为F检验

1890—1962方差分析的提出方差分析（ANOVA），又称为F检验，是20世纪20年代发展起来的一种统计方法是通过对数据变异的分析来推断两个或多个样本的均数所代表总体均数是否有差别的一种统计学方法方差分析简介第一节方差分析的基本思想和应用条件第二节完全随机设计的方差分析（completelyrandomdesign）第三节随机区组设计的方差分析

(randomizedblockdesign)第四节多个样本均数的两两（多重）比较

(comparemeansbetweentwosamplesinFanalysis)第五节析因设计的方差分析(factorialdesign)第六节重复测量设计的方差分析(repeatedmeasurementsdesign)第七节方差齐性检验内容把所有观察值之间的变异分解（剖析）为几个部分即把描述所有观察值之间的变异的离均差平方和（SS）分解为某些（多个）因素的离均差平方和及随机抽样误差进而计算其各自相应的均方（MS），并构造检验统计量F，进行统计学检验第一节方差分析的基本思想离均差平方和是把全部观察值间的变异按设计类型的不同，分解成两个或多个组成部分，然后将各部分的变异与随机误差进行比较，以判断各部分的变异是否具有统计学意义第一节方差分析的基本思想

表13个时期大鼠全肺湿重(g)观测结果染尘时间：1个月3个月6个月3.34.43.63.64.44.44.33.45.14.14.25.04.24.75.53.34.24.7全肺湿重各组均数：3.8

4.2

4.7总均数：4.2

变异

如果多个样本不是全部来自同一个总体，那么观察值与总的平均值之差的平方和（称为变异），来源于1.个体差异引起的抽样误差2.组间的差异因此，需要把总变异分解成组间的差异和组内变异（它们是个体差异引起的抽样误差）之和。总变异（Totalvariation）：全部测量值Xij与总均数间的差别

(用SS表示)组间变异（betweengroupvariation）各组的均数与总均数间的差异组内变异（withingroupvariation)每组的ni个原始数据与该组均数的差异

试验数据有三种不同的变异

离均差平方和的分解组间变异总变异组内变异组间变异SS组间

组与组间的不同所致的变异,各组的平均数与总平均数的距离(由本质不同所致)组内变异SS组内

各组本组内的数据与本组平均数的距离(抽样误差造成的)组间变异与组内变异计算公式为其中：计算公式为

三种“变异”之间的关系离均差平方和分解：自由度SS的大小与样本个数和每个样本的含量有关系。为了消除这种影响，需要引入均方(meansquare)的概念，即SS除以自由度的值，自由度是三者的关系是

均方差，均方(meansquare，MS)

F

检验

F=MS组间/MS组内

=1？>1?若二者相差不大，则认为不同的处理方法的影响不大否则认为不同的处理方法的影响有本质的区别检验统计量：如果，则都为随机误差的估计，F值应接近于1。如果不全相等，F值将明显大于1。用F界值（单侧界值）确定P值。F分布曲线F界值统计学方法F检验计算统计量方差分析的应用条件1.

正态性

各处理组样本是相互独立的随机样本，其总体均服从正态分布(W检验、矩法检验)2.方差齐性

相互比较的各处理组样本的总体方差相等，即具有方差齐同（homogeneityofvariance）--Bartlett检验、Levene检验

上述条件与两均数比较的t检验的应用条件相同不同的试验（或实验）设计方案要用不同的方差分析

完全随机设计(completelyrandomdesign)是采用完全随机化的分组方法，将全部试验对象分配到g个处理组（水平组），各组分别接受不同的处理，试验结束后比较各组均数之间的差别有无统计学意义，推论处理因素的效应。第二节完全随机设计的方差分析1）完全随机分组方法：

1.编号：120名高血脂患者从1开始到120，见表4第1行；2.取随机数字：从附表1中的任一行任一列开始，如第5行第7列开始，依次读取三位数作为一个随机数录于编号下，见表4第2行3.编序号：将全部随机数字从小到大(数据相同则按先后顺序）编序号，见表4第3行。4.事先规定：序号1-30为甲组，序号31-60为乙组，序号61-90为丙组，序号91-120为丁组，见表4-2第四行。2）统计分析方法选择：1.

对于正态分布且方差齐同的资料，常采用完全随机设计的单因素方差分析(one-wayANOVA)或成组资料的t检验（g=2）；2.对于非正态分布或方差不齐的资料，可进行数据变换或采用Wilcoxon秩和检验。例2拟探讨枸杞多糖（LBP）对酒精性脂肪肝大鼠GSH（mg/gprot）的影响，将36只大鼠随机分为甲、乙、丙三组，其中甲（正常对照组）12只，其余24只用乙醇灌胃10周造成大鼠慢性酒精性脂肪肝模型后，再随机分为2组，乙（LBP治疗组）12只，丙（戒酒组）12只，8周后测量三组GSH值。试问三种处理方式大鼠的GSH值是否相同？

第二节完全随机设计的方差分析从这个表，可以看到三种变异：

组内数据的变异——>

组内变异

三组之间数据的变异——>

组间变异

全部数据间的变异

——>

总变异

组内变异(SSe)组内各个观测值与本组内均值之差的平方和。反映了组内（同一水平下）样本的随机波动。

组间变异（SSTR）组内均值与总均值之差的平方和反映了：处理因素各个水平组间的差异，同时也包含了随机误差。总变异（SST）

全部测量值大小不同，这种变异称为总变异，以各测量值Xij与总均数间的差异度量。总变异、组间变异、组内变异的关系对应自由度的关系均方(meansquare)离均差平方和大小与变异程度大小有关与其自由度大小有关将各部分离均差平方和除以相应自由度，其比值称为均方差，简称均方(MS)。F值与F分布组间均方与组内均方的比值称为F统计量，服从F分布，即如果H0成立，即各处理组的样本来自相同总体，处理因素没有作用，则组间变异同组内变异一样，只反映随机误差作用的大小。

将全部观测值的总变异按影响结果的诸因素分解为相应的若干部分变异，构造出反映各部分变异作用的统计量，在此基础上，构建假设检验统计量，以实现对总体参数的推断。从上面可以看出方差分析的思想逻辑：将结果整理成方差分析表⒈

提出检验假设，确定检验水准。

H0:三个组GSH值的总体均数相同；

H1:三个组GSH值的总体均数不全相同；⒉根据公式计算SS、MS及F值，列于方差分析表内(计算过程省略)

方差分析步骤分子自由度=k-1=2，分母自由度=n-k=33，查F界值表（方差分析用），因界值表中无分母自由度33，取=32，得F0.05(2,32)=3.30。

F=23.85，F>F0.05(2,32),，P<0.05，差别有统计学意义，按照0.05的显著性水准，拒绝H0，

可认为三种处理方式大鼠的GSH值不全相同。⒊

确定P值，作出判断

例2

某医生为了研究一种降血脂新药的临床疗效，按统一纳入标准选择120名高血脂患者，采用完全随机设计方法将患者等分为4组，进行双盲试验。6周后测得低密度脂蛋白作为试验结果，见表3。问4个处理组患者的低密度脂蛋白含量总体均数有无差别?表34个处理组低密度脂蛋白测量值(mmol/L)

统计分析方法选择：1.对于正态分布且方差齐同的资料，常采用完全随机设计的单因素方差分析(one-wayANOVA)或成组资料的t检验（g=2）；2.对于非正态分布或方差不齐的资料，可进行数据变换或采用Wilcoxon秩和检验。变异分解

三、分析步骤

H0：即4个试验组总体均数相等H1：4个试验组总体均数不全相等

2.

计算检验统计量

:1.建立检验假设，确定检验水准:表4-5完全随机设计方差分析表2.列方差分析表3.确定P值，作出推断结论：

按水准，拒绝H0，接受H1，认为4个试验组ldl-c总体均数不相等，即不同剂量药物对血脂中ldl-c降低影响有差别。注意：

方差分析的结果拒绝H0，接受H1，不能说明各组总体均数间两两都有差别。如果要分析哪些两组间有差别，可进行多个均数间的多重比较（见本章第四节）。当g=2时，完全随机设计方差分析与成组设计资料的t

检验等价，有。第三节随机区组设计的方差分析

随机区组设计(randomizedblockdesign)可以考察两个因素的作用。因素A称为处理因素，是本次试验观察的重点；因素B称为区组因素，是可能对试验效应产生作用的主要非处理因素;对处理因素与区组因素不同水平的每一种组合。随机区组设计(randomizedblockdesign)又称为配伍组设计，是配对设计的扩展。具体做法是：先按影响试验结果的非处理因素（如性别、体重、年龄、职业、病情、病程、动物窝别等）将受试对象配成区组(block)，再分别将各区组内的受试对象随机分配到各处理或对照组。第三节随机区组设计的方差分析

随机区组设计(randomizedblockdesign),将受试对象按性质相同或相近者组成m个组，称为区组或配伍组，每个区组中有k个受试对象，将k个受试对象随机地分到处理因素的k个水平组的一种设计方法。

第三节随机区组设计的方差分析

区组随机试验过程示意随机分组

随机分组

随机分组

随机分组

预

选

对

象

研

究

对

象

纳入

标准

区组1

区组2

区组3

区组n

?

?

?

按配伍

条件

4个水平

4个水平

4个水平

4个水平

例按随机区组设计方案，以窝别作为区组标志，给断奶后小鼠喂以三种不同营养素A、B、C，问营养素对小鼠所增体重有无差别。表28个区组小鼠按随机区组设计的分配结果区组编号随机数分组第三节随机区组设计的方差分析

与完全随机设计的方差分析基本相同，主要区别在于：F值计算的方差分析表（ANOVAtable）不同。变异来源从组内变异中分解出单位组变异与误差变异。第三节随机区组设计的方差分析

变异分解总变异SST可分解为：处理因素的变异SSASSA反映了各个水平组间的差异(包含随机误差)区组因素的变异SSBSSB反映了各个区组间的差异(包含随机误差)随机误差SSeSSe反映了样本的随机波动

三者的关系如下：(1)总变异：所有观察值之间的变异(2)处理间变异：处理因素＋随机误差(3)区组间变异：区组因素＋随机误差(4)误差变异：随机误差变异分解方差分析表例：为探讨Rgl对镉诱导大鼠睾丸损伤的保护作用，某研究者将同一窝别的3只大鼠随机地分到T1、T2、T3三组，进行不同处理,共观察了10个窝别大鼠的睾丸MT含量（μg/g）。试问不同处理对大鼠MT含量有无影响？⒈

提出检验假设，确定检验水准

随机区组设计方差分析步骤处理组：区组：⒊

确定P值，做出推断结论t检验与F检验的关系

当处理组数为2时，对于相同的资料，如果同时采用t检验与F检验，则有：

随机区组设计ANOVA的处理组F值与配对设计的t值；完全随机设计ANOVA的F值与两样本均数比较的t值间均有：第四节多个样本均数的两两比较

当方差分析的结果拒绝H0，接受H1

时，只说明k个总体均数不全相等。若想进一步了解哪两个总体均数不等，需进行多个样本均数间的两两比较或称多重比较（multiplecomparison）也叫posthoc检验

m1=m2

=m3H0:m1

=m2=m3=...=mk

m1

=m2

m3H1:notallthemi

areequal

m1

m2

m3SNK(Student-Newman-Keuls)法

对多个样本均数每两个作比较最常用方法之一，其检验统计量为q，故又称为q检验

第四节多个样本均数的两两比较

例：某厂10名氟作业工人24小时内不同时间尿氟排出如下表。试分析氟作业工人在工前、工中(上班第4小时)和工后(下班后第4小时)的尿氟排出量(ml/L)的差别有无统计学意义?10名氟作业工作尿氟排出量(ml/L)

工人编号工前工中工后合计

11.722.701.666.0821.683.161.266.1031.423.211.305.9342.352.173.007.5251.952.753.728.4260.872.391.234.4971.412.633.857.8982.032.401.936.3691.672.302.076.04101.141.471.143.75(X)16.2425.1821.1662.58()1.622.522.122.086(X2)28.0865.6954.52148.29

例:试进一步分析氟作业工人在工前、工中(上班第4小时)和工后(下班后第4小时)的尿氟排出量(ml/L)两两之间差别有无统计学意义

将三组样本均数从大到小排列，并编组次：组次123均数2.522.121.62组别工中工后工前原组次与新组次的不同对每两个对比组间的检验假设以[误差（组内）自由度]和a[比较组内包含的组数]查q界值表（附表5）

氟作业工人的工中与工前的尿氟排出量的差异有统计学意义；

氟作业工人的工中与工后的尿氟排出量的差异无统计学意义；

氟作业工人的工后与工前的尿氟排出量的差异无统计学意义。结论：一、SNK－q检验（多个均数间全面比较）二、LSD－t检验（有专业意义的均数间比较）三、Dunnet-t检验（多个实验组与对照组比较）

还有Bonferroni、DUNCAN、TUKEY、SCHEFFE、WALLER、BON等比较方法“多重比较”的几种方法

第五节2×2析因设计的方差分析

析因设计(factorialdesign)是将多个因素的各个水平进行排列组合，在每一种可能的水平组合下进行试验，以探讨各因素的效应以及各因素之间的交互效应，而且通过比较各种组合效应，找出最佳组合。析因设计

是将两个或多个实验因素的各水平进行全面组合的实验，能够分析各实验因素的单独效应（simpleeffect）、主效应（maineffect）和因素间的交互效应（interaction）。第五节2×2析因设计的方差分析

例：研究者欲研究煤焦油（因素A）以及作用时间（因素B）对细胞毒性的作用，煤焦油含量分为3ug/ml(a1)和75ug/ml(a2)两个水平，作用时间分别为6小时（b1）和8小时(b2)。将统一制备的16盒已培养好的细胞随机分为四组，分别接受A、B不同组合情况下的四种处理（a1b1、a1b2、a2b1、a2b2）,测得处理液吸光度的值（%）,结果如表1。试对该资料进行分析。煤焦油（3ug/ml）a1煤焦油（75ug/ml）a2合计时间（6h）b1时间（8h）b2时间（6h）b1时间（8h）b2Xijm0.1630.1270.1240.1010.1990.1680.1510.1920.1840.1520.1270.0790.1980.1500.1010.086nij4444N=16Xij0.1860.1490.1260.115X=0.144Sxj20.00030.00030.00040.00280.0015单独效应其他因素水平固定时，同一因素不同水平的效应差。B因素A因素平均a1-a23ug/ml（a1）75ug/ml（a2）6h（b1）0.1860.1260.1568h（b2）0.1490.1150.132平均0.1680.1200.1440.047b1-b20.0240.0600.0340.0370.011B因素A因素平均a1-a23ug/ml（a1）75ug/ml（a2）6h（b1）0.1860.1260.1560.0608h（b2）0.1490.1150.1320.034平均0.1680.1200.144b1-b20.0370.011

主效应某一因素单独效应的平均值0.0470.024交互效应如果一个处理因素各水平的单独效应随另一因素水平变化而变化，而且变化的幅度超出抽样误差可解释的程度，则称两个因素间存在交互效应或交互作用。B因素A因素平均a1-a23ug/ml（a1）75ug/ml（a2）6h（b1）0.1860.1260.1560.0608h（b2）0.1490.1150.1320.034平均0.1680.1200.1440.047b1-b20.0370.0110.024AB交互效应=BA交互效应

=1/2（a1时B的单独效应-a2时B的单独效应）

=1/2（b1时A的单独效应-b2时A的单独效应）

=1/2（0.037-0.011）

=1/2（0.060-0.034）若两线近乎平行，提示无交互效应；反之，两线相交的锐角越大，交互效应越强析因设计的特点因素之间在专业上地位平等。观测值为定量数据（需满足随机、独立、正态、等方差的ANOVA条件）做实验时，每次都涉及到全部因素，即因素是同时施加的；在每个实验条件下至少要做2次独立重复实验；因素的交互作用比较复杂且必须考虑；实验中涉及到2-4个实验因素；优点：可以用来分析全部主效应和因素之间的各级交互作用的大小；析因设计的优点和缺点

缺点：所需要的实验次数很多，研究者常无法承受。(1)总变异：(2)处理因素A的变异：(3)处理因素B的变异：(4)A与B交互作用的变异：(5)误差变异：

析因设计的变异分解例：为了研究药物治疗附加磁场对人体内磁性物质分布的影响，安排两个药物组：实验组为“丝裂霉素+高分子物质+磁性物质+磁场”，对照组为“丝裂霉素+高分子物质+磁性物质”。每组分别于给药后15分钟和60分钟处死实验小鼠，检测小鼠肝脏组织的磁性物质浓度，即铁浓度（mg/g)。采用2*2析因设计，一个因素为药物，有两个水平，即实验组（A1）和对照组（A2）；另一个因素为给药时间，亦有两个水平，即15分钟（B1）和60分钟（B2）。两个因素有4种组合，每种组合重复例数为6。将24只小鼠随机分配到4个组合组，实验结果见下表，试分析之。实验组（A1）对照组（A2）15min（B1）60min(B2)15min(B1)60min(B2)0.5541.0150.3370.5030.5501.0050.2760.6120.5781.0710.3130.5930.7061.1060.3870.6040.6861.1550.4310.6400.6511.1450.3620.560小鼠肝脏组织的铁浓度(mg/g)检测结果A1A2合计B13.725（0.621）2.106（0.351）5.831（0.486）B26.497（1.083）3.512（0.585）10.009（0.834）合计10.222（0.852）5.618（0.468）15.840（0.660）表18-2表18-1资料各因素和水平之和的合计和均数检验假设：分为主效应和交互效应的检验假设对于因素AH0：磁场对小鼠肝脏组织的磁性物质浓度无影响

H1：磁场对小鼠肝脏组织的磁性物质浓度有影响对于因素BH0:给药时间对小鼠肝脏组织的磁性物质浓度无影响

H1:给药时间对小鼠肝脏组织的磁性物质浓度有影响对于交互作用ABH0:因素A和B无交互作用

H1:因素A和B有交互作用

计算统计量变异的分解总变异

主效应变异：某因素Y的离均差平方和、自由度及均方AB交互效应的变异

SSA*B=SS处理-SSA-SSB误差项的变异

SSE=SST-SSA-SSB-SSA*B=1.7590-0.8832-0.7273-0.0778=0.0707

统计量FFA=MSA/MSE=0.8832/0.0035=252.34FB=MSB/MSE=0.7273/0.0035=207.80FA*B=MSA*B/MSE=0.0707/0.0035=22.23方差分析表变异来源SSdfMSFPA0.883210.8832252.34<0.01B0.727310.7273207.80<0.01A*B0.077810.077822.23<0.01误差0.0707200.0035总变异1.759023

结论无论是主效应还是交互效应，均拒绝H0，接受H1,即A因素的两个水平间，B因素的两个水平均有显著差异，A、B因素间存在交互效应。2×2析因设计方差分析的目的考察A、B两因素的“主效应”考察A、B两因素间的“交互效应”如当A因素固定在A1水平时，B因素的单独效应为37.94-35.32=2.62XA=41.64-36.63=5.01;XB=43.70-34.56=9.14A因素单独效应依赖于B因素水平的选择，即A因素与B因素之间存在交互作用，记为XAB模式处理组数：g=I×J，每组n个试验对象试验数据Xijk(i=1,2,…,I;j=1,2,…,J;k=1,2,…,n)试验数据共g×n个变异和自由度分解表6-9两因素析因设计方差分析表

例6.4

计算得到方差分析表

表6-10A,B两药联合运用的镇痛时间（min）表6-11A、B两药联合运用的镇痛时间的方差分析表

（2）将表6-10计算结果代入表6-9，得方差分析表,见表6-11。

第六节具有重复测量的设计

Repeatedmeasurementdesign

接受不同处理的受试对象在不同时间点上被重复观测，适于研究处理效应随时间推移的动态变化情况的实验研究场合。重复测量的定义

重复测量(repeatedmeasure)是指对同一研究对象的某一观察指标在不同场合（occasion，如时间点）进行的多次测量。例如，为研究某种药物对高血压（哮喘病）病人的治疗效果,需要定时多次测定受试者的血压（FEV1），以分析其血压（FEV1）的变动情况。注：FEV1——最大呼气量实例举例1每一根线代表1只兔子实例举例2每一根线代表1位病人重复测量设计的优缺点优点：每一个体作为自身的对照，克服了个体间的变异。分析时可更好地集中于处理效应.因重复测量设计的每一个体作为自身的对照，所以研究所需的个体相对较少，因此更加经济。缺点：滞留效应(Carry-overeffect)

前面的处理效应有可能滞留到下一次的处理.潜隐效应(Latenteffect)前面的处理效应有可能激活原本以前不活跃的效应.学习效应(Learningeffect)

由于逐步熟悉实验，研究对象的反应能力有可能逐步得到了提高。表７

接受不同处理的家兔血浆中K+含量的测定结果━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━处理组家兔血浆中K+含量（ppm）(因素A)编号缺氧时间T(h）：T1（0）T2（0.5）T3（1）T4（2）─────────────────────────────────A1（适应组）

1154.5129.8122.7171.72173.0124.0170.4168.63186.0131.0137.0138.04161.0154.0178.0128.05187.0158.0162.0152.0A2（平原组）

6144.4135.5149.9129.17147.1134.2138.3146.18183.6189.3190.5227.39181.7160.3163.3163.310166.7136.8134.6142.5A3（急性缺

11173.3231.4293.7401.4

氧组）12155.1199.6191.8203.413177.9153.6158.7240.314158.2146.7135.2228.715180.4170.8226.2267.7━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━小结(1)完全随机设计(2)随机区组设计(3)拉丁方设计(4)交叉设计(5)析因设计(6)正交设计(7)均匀设计(8)裂区设计(9)重复测量设计(10)系统分组设计(11)混料均匀设计(12)序贯设计(13)平衡不完全配伍设计(14)反应面设计第七节方差齐性检验

(HomogeneityofVarianceTest)Bartlett检验法：正态分布资料Levene检验法：非正态分布资料

在进行方差分析时要求所对比的各组即各样本的总体方差必须是相等的，这一般需要在作方差分析之前，先对资料的的方差齐性进行检验，特别是在样本方差相差悬殊时，应注意这个问题。对两样本方差进行齐性检验的方法前已介绍。本节介绍多样本（也适用于两样本）方差齐性检验的Bartlett检验法和Levene检验法。一、Levene检验资料要求：可不具有正态性。检验统计量：F计算公式：F式中检验步骤：F＜F≥数据变换

改善数据的正态性或方差齐性。使之满足方差分析的假定条件。平方根反正弦变换——适用于二项分布率（比例）数据。平方根变换——适用于泊松分布的计数资料对数变换——适用于对数正态分布资料二、Bartlett方差齐性检验

二、Bartlett检验法

检验统计量：

大鼠肾组织液中NO水平（ca/μmol·L-1）正常对照组肾缺血60min组肾缺血60min再灌流组合计

437322284…..…..……33838614312121236341.5328.1