山西省吕梁市石口中学2023年高三数学理联考试卷含解析

山西省吕梁市石口中学2023年高三数学理联考试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.若集合，，则A∩B=（▲）A．

B.

C.

D.参考答案：C化简集合

2.已知，，则（

）

A．

B．

C．

D．参考答案：C3.（07年宁夏、海南卷理）一个四棱锥和一个三棱锥恰好可以拼接成一个三棱柱.这个四棱锥的底面为正方形，且底面边长与各侧棱长相等，这个三棱锥的底面边长与各侧棱长也都相等．设四棱锥、三棱锥、三棱柱的高分别为，，，则（）Ａ．

Ｂ．

Ｃ．

Ｄ．参考答案：答案：B解析：如图，设正三棱锥的各棱长为，则四棱锥的各棱长也为，

于是

4.若为锐角三角形，则下列不等式中一定能成立的是（

）（A）

（B）

（C）（D）参考答案：D略5.奇函数是定义在上的减函数，满足不等式，，为坐标原点，则当时，的取值范围为（

）A．

B.

C.

D.参考答案：D6.若双曲线x2+ky2=1的离心率是2，则实数k的值是（

）

A．-3

B．

C．3

D．参考答案：B7.函数

的定义域是

（

）A．

B.

C.

D.参考答案：C略8.直线截圆得到的劣弧所对圆心角等于（

）A．

B．

C．

D． 参考答案：C9.如图，长方体中，.设长方体的截面四边形的内切圆为O，圆O的正视图是椭圆，则椭圆的离心率等于A. B. C. D.参考答案：B

【知识点】椭圆的性质H5由题意得椭圆内切与边长为2，的矩形，易知椭圆的长轴长为2，短轴长为，所以a=1，c=，故，故选B。【思路点拨】由题意得椭圆内切与边长为2，的矩形，易知椭圆的长轴长为2，短轴长为，所以a=1，c=，故。10.数列{an}满足,且．记数列{an}的前n项和为Sn,则当Sn取最大值时n为（

）A.11 B.12 C.11或13 D.12或13参考答案：C【分析】分的奇偶讨论数列的奇偶性分别满足的条件,再分析的最大值即可.【详解】由题,当为奇数时,,.故.故奇数项为公差为1的等差数列.同理当为偶数时,.故偶数项为公差为-3的等差数列.又即.又.所以.综上可知,奇数项均为正数,偶数项随着的增大由正变负.故当取最大值时n为奇数.故n为奇数且此时有,解得.故或.故选：C【点睛】本题主要考查了奇偶数列的应用,需要根据题意推导奇偶项数列的递推公式,再根据题意分析相邻两项之和与0的大小关系列不等式求解.属于难题.二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.直线y=e2，y轴以及曲线y=ex围成的图形的面积为．参考答案：e2+1【考点】定积分．【专题】计算题．【分析】先求出两曲线y=e2，曲线y=ex的交点坐标（2，e2），再由面积与积分的关系将面积用积分表示出来，由公式求出积分，即可得到面积值．【解答】解：由题意令解得交点坐标是（2，e2）故由直线y=e2，y轴以及曲线y=ex围成的图形的面积为：∫02（e2﹣ex）dx=（e2x﹣ex）=e2+1．故答案为：e2+1．【点评】本题考查定积分在求面积中的应用，解答本题关键是根据题设中的条件建立起面积的积分表达式，再根据相关的公式求出积分的值，用定积分求面积是其重要运用，掌握住一些常用函数的导数的求法是解题的知识保证．12.设是等比数列的前n项和，若S1，2S2，3S3成等差数列，则公比q等于

。参考答案：略13.已知an=n（n+1），则a1+a2+…+a9=．参考答案：330【考点】数列的求和．【分析】方法一、直接法，计算即可得到所求和；方法二、由数列的求和方法：分组求和，结合n个正整数的平方和公式和等差数列的求和公式，化简整理，计算即可得到所求和．【解答】解法一、由an=n（n+1），直接计算可得：a1+a2+…+a9=1×2+2×3+3×4+4×5+5×6+6×7+7×8+8×9+9×10=330．解法二、（公式法）由an=n（n+1）=n2+n，可得Sn=（12+22+…+n2）+（1+2+…+n）=+=，可得a1+a2+…+a9=S9==330．故答案为：330．14.当x∈（0，1）时，函数f（x）=ex﹣1的图象不在函数g（x）=x2﹣ax的下方，则实数a的取值范围是．参考答案：[2﹣e，+∞）【考点】利用导数求闭区间上函数的最值．【分析】由已知得f（x）﹣g（x）=ex﹣x2+ax﹣1≥0对x∈（0，1）恒成立，从而=h（x）对于x∈（0，1）恒成立，进而a≥h（x）max，=（）（ex﹣x﹣1），由导数性质得h（x）是增函数，由此能求出实数a的取值范围．【解答】解：∵当x∈（0，1）时，函数f（x）=ex﹣1的图象不在函数g（x）=x2﹣ax的下方，∴f（x）﹣g（x）=ex﹣x2+ax﹣1≥0对x∈（0，1）恒成立，∴ex﹣x2+ax﹣1≥0，∴=h（x）对于x∈（0，1）恒成立，∴a≥h（x）max，=（）（ex﹣x﹣1），令t（x）=ex﹣x﹣1，x∈（0，1），t′（x）=ex﹣1＞0对x∈（0，1）恒成立，∴t（x）≥t（0）=0，∴h′（x）＞0恒成立，h（x）是增函数，∴h（x）max=h（1）=，∴实数a的取值范围是[2﹣e，+∞）．故答案为：[2﹣e，+∞）．15.已知，把数列的各项排列成如下的三角形状，记表示第行的第个数，则=

.

参考答案：略16.已知函数的部分图像如图所示，则的值分别为______________．参考答案：17.在直角三角形ABC中，，取点D、E使，那么

。参考答案：略三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.在四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥平面ABCD，△ABC是正三角形，AC与BD的交点M恰好是AC中点，又PA=AB=4，∠CDA=120°，点N在线段PB上，且PN=．（1）求证：MN∥平面PDC；（2）求点C到平面PBD的距离．参考答案：【考点】MK：点、线、面间的距离计算；LS：直线与平面平行的判定．【分析】（1）利用已知条件分别求出BM、MD、PB，得到=，即可得到MN∥PD，再利用线面平行的判定定理即可证明；（2）利用等体积方法，求点C到平面PBD的距离．【解答】（1）证明：在正△ABC中，BM=2．在△ACD中，∵M为AC中点，DM⊥AC，∴AD=CD．∵∠ADC=120°，∴DM=，∴=3．在等腰直角△PAB中，PA=AB=4，PB=4，∴=3，∴=，∴MN∥PD．又MN?平面PDC，PD?平面PDC，∴MN∥平面PDC；（2）解：设点C到平面PBD的距离为h．由（1）可知，BD=，PM==2，∴S△PBD==．∵S△BCD==，∴由等体积可得，∴h=，∴点C到平面PBD的距离为．【点评】本题考查线面平行的判定，考查点到平面距离的计算，考查学生分析解决问题的能力，正确求体积是关键．19.如图，已知椭圆C中心在原点，焦点在x轴上，F1，F2分别为左右焦点，椭圆的短轴长为2，过F2的直线与椭圆C交于A，B两点，三角形F1BF2面积的最大值为（a＞1）．（Ⅰ）求椭圆C的方程（用a表示）；（Ⅱ）求三角形F1AB面积的最大值．参考答案：考点：直线与圆锥曲线的综合问题．专题：综合题；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：（Ⅰ）确定c=，即可求椭圆C的方程（用a表示）；（Ⅱ）设直线方程，代入椭圆方程，求出三角形F1AB面积，分类讨论，即可求出最大值．解答： 解：（Ⅰ）由题意，椭圆的上顶点为（0，1），下顶点为（0，﹣1），当B与上（或下）顶点重合时，三角形F1BF2面积最大S==，∴c=，∴椭圆C的方程为；（Ⅱ）三角形F1AB面积S==c?AB?sinα（α为F2B与x轴正向所成的角）设F2（c，0），A（x1，y1），B（x2，y2），AB：y=k（x﹣c），代入椭圆方程可得（1+a2k2）x2﹣2a2k2cx+a2k2c2﹣a2=0，∴x1+x2=，x1x2=∴AB=|x1﹣x2|=，∴S=c?AB?sinα=，a时，S≤=a；1＜a＜时，S≤=．点评：本题考查椭圆的方程和性质，主要考查椭圆的方程的运用，联立直线方程，运用韦达定理，同时考查求最值，属于中档题．20.在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，已知（b﹣2a）?cosC+c?cosB=0（1）求角C；（2）若，求边长a，b的值．参考答案：【考点】余弦定理；正弦定理．【分析】（1）由已知及正弦定理，两角和的正弦函数公式，三角形内角和定理可得sinA=2sinAcosC，由于sinA≠0，可求cosC=，结合范围C∈（0，π），可求C的值．（2）利用三角形面积公式可求ab=4，由余弦定理可得a2+b2=8，联立即可解得a，b的值．【解答】（本题满分为12分）解：（1）∵（b﹣2a）?cosC+c?cosB=0，∴由正弦定理可得：（sinB﹣2sinA）cosC+sinCcosB=0，…2分∴sinBcosC+cosBsinC=2sinAcosC，可得：sin（B+C）=sinA=2sinAcosC，∵sinA≠0，∴cosC=，…5分∵C∈（0，π）∴C=…6分（2）∵S△ABC=absinC=ab=，∴ab=4，①由余弦定理可得：a2+b2﹣c2=2abcosC，∵c=2，C=，ab=4，…8分∴a2+b2=8，②…10分联立①②即可解得：a=2，b=2…12分21.已知函数(1)当，且时，求的值.(2)是否存在实数，使得函数的定义域、值域都是，若存在，则求出的值；若不存在，请说明理由.参考答案：解：（1）因为时，，所以在区间上单调递增，因为时，，所以在区间（0，1）上单调递减.所以当，且时，有，所以，故；（2）不存在.

因为当时，在区间上单调递增，所以的值域为；而，所以在区间上的值域不是.故不存在实数，使得函数的定义域、值域都是略2