山西省吕梁市汾阳英雄街中学2023年高三数学理模拟试题含解析

山西省吕梁市汾阳英雄街中学2023年高三数学理模拟试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.我国古代《九章算术》将上下两个平行平面为矩形的六面体称为刍童．如图是一个刍童的三视图，其中正视图及侧视图均为等腰梯形，两底的长分别为2和6，高为2，则该刍童的体积为（

）A． B． C．27 D．18参考答案：B由题意几何体原图为正四棱台，底面的边长分别为和，高为，所以几何体体积．故选B．2.设圆锥曲线的两个焦点分别为，若曲线上存在点满足=4:3:2，则曲线的离心率等于A.

B.或2

C.2

D.参考答案：A略3.某程序框图如图所示，则该程序运行后输出的的值为（

）A．

B.

C.

D.参考答案：D略4.若一个圆柱的正视图与其侧面展开图是相似矩形，则这个圆柱的全面积与侧面积之比为（）A． B．1+ C． D．参考答案：D【考点】旋转体（圆柱、圆锥、圆台）；简单空间图形的三视图．【分析】设圆柱的底面半径为r，高为h，则，即，求出全面积与侧面积，即可得出结论．【解答】解：设圆柱的底面半径为r，高为h，则，即，所以，，则，故选：D．【点评】本题考查个圆柱的全面积与侧面积之比，确定，求出全面积与侧面积是关键．5.设是两个题，若是真命题，那么（

）A．是真命题且是假命题

B．是真命题且是真命题

C．是假命题且是真命题

D．是假命题且是假命题 参考答案：C6.下列命题中，正确的是(

) A．命题“?x∈R，x2﹣x≤0”的否定是“?x∈R，x2﹣x≥0” B．“p∧q为真”是命题“p∨a为真”的必要不充分条件 C．“若am2＜bm2，则a＜b”的否命题为真 D．已知a，b∈R，则“log3a＞log3b”是“（）a＜（）b”的充分不必要条件参考答案：D考点：命题的真假判断与应用．专题：简易逻辑．分析：直接写出全称命题的否定判断A；由复合命题的真值表判断B；举例说明C错误；由指数函数和对数函数的单调性判断D．解答： 解：命题“?x∈R，x2﹣x≤0”的否定是“?x∈R，x2﹣x＞0”，选项A错误；“p∧q为真”是命题，说明p，q均为真命题，“p∨q为真”，说明p，q中至少一个为真，∴“p∧q为真”是命题“p∨a为真”的充分不必要条件，选项B错误；“若am2＜bm2，则a＜b”的否命题为“若am2≥bm2，则a≥b”，取a=﹣1，b=1，m2=0，有am2≥bm2，但a＜b，选项C错误；若a，b∈R，由log3a＞log3b，得a＞b＞0，则（）a＜（）b，∴已知a，b∈R，则“log3a＞log3b”是“（）a＜（）b”的充分不必要条件，选项D正确．故选：D．点评：本题考查了命题的真假判断与应用，考查了充分必要条件的判定方法，考查了指数函数和对数函数的单调性，是基础题．7.设非零向量，满足，则（

）A.

B.

C.

D.参考答案：B因为非零向量，满足，所以，所以，所以，即，所以，故选B.

8.A. B. C. D.参考答案：C9.如图是某几何体的三视图，其中正视图是腰长为2的等腰三角形，俯视图是半径为1的半圆，则该几何体的体积是（

）A．

B．

C．

D．参考答案：A略10.已知点是重心,,

则的最小值是

A.

B.

C.

D.参考答案：C略二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.已知向量,满足，，则在方向上的投影为

．参考答案：向量在方向上的投影为．12.{an}满足an+1=an+an﹣1（n∈N*，n≥2），Sn是{an}前n项和，a5=1，则S6=．参考答案：4【考点】数列递推式．【专题】计算题；函数思想；待定系数法；点列、递归数列与数学归纳法．【分析】设a4=k，结合数列递推式及a5=1求得其它项，作和求得S6．【解答】解：设a4=k，由an+1=an+an﹣1，得a3=a5﹣a4=1﹣k，a2=a4﹣a3=k﹣（1﹣k）=2k﹣1，a1=a3﹣a2=（1﹣k）﹣（2k﹣1）=2﹣3k，a6=a5+a4=1+k，∴S6=a1+a2+a3+a4+a5+a6=（2﹣3k）+（2k﹣1）+（1﹣k）+k+1+（1+k）=4．故答案为：4．【点评】本题考查数列递推式，考查了数列的函数特性，设出a4是关键，是中档题．13.在极坐标系中，圆的圆心的极坐标是

参考答案：14.从1，2，3，4，5中随机取出两个不同的数，则其和为奇数的概率为．参考答案：【考点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率．【分析】分别求出所有的基本事件个数和符合条件的基本事件个数，使用古典概型的概率计算公式求出概率．【解答】解：方法一：从5个数字中随机抽取2个不同的数字共有C52=10种不同的抽取方法，而两数字和为奇数则必然一奇一偶，共有C31×C21=6种不同的抽取方法，∴两个数的和为奇数的概率P==，方法二（列举法），从1，2，3，4，5中随机取出两个不同的数，共有（1，2），（1，3），（1，4），（1，5），（2，3），（2，4），（2，5），（3，4），（3，5），（4，5）共10种，其中其和为奇数为（1，2），（1，4），（2，3），（2，5），（3，4），（4，5）共6种，∴两个数的和为奇数的概率P==，故答案为：．15.设复数（其中i是虚数单位），则___________.参考答案：1-i16.已知向量，若,则_______________.参考答案：117.设函数，，若关于的方程有且仅有三个不同的实数根，且它们成等差数列，则实数的取值构成的集合

．参考答案：三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.如图1，在边长为的正方形ABCD中，E、O分别为AD、BC的中点，沿EO将矩形ABOE折起使得∠BOC=120°，如图2所示，点G在BC上，BG=2GC，M、N分别为AB、EG中点．（Ⅰ）求证：MN∥平面OBC；（Ⅱ）求二面角G﹣ME﹣B的余弦值．参考答案：【考点】二面角的平面角及求法；直线与平面平行的判定．【分析】（Ⅰ）法一：取OG中点F，连结BF、FN，证明MN∥BF，然后证明MN∥平面OBC．法二：延长EM、OB交于点Q，连结GQ，证明M为EQ中点，推出MN∥QG，然后证明MN∥平面OBC．（Ⅱ）法一：证明OG⊥OB，推出OE⊥平面OBC，证明OE⊥OG，然后推出OG⊥QE，说明∠OMG为二面角G﹣ME﹣B的平面角，Rt△MOG中，求解即可．法二：建立空间直角坐标系O﹣xyz，求出面BOE的一个法向量，平面MGE的法向量，利用空间向量的数量积求解即可．【解答】（Ⅰ）证明：法一如图13取OG中点F，连结BF、FN，则中位线FN∥OE且FN=OE，又BM∥OE且BM=OE

…（1分）所以FN∥BM且FN=BM，所以四边形BFNM是平行四边形，所以MN∥BF，…（2分）又MN?平面OBC，BF?平面OBC，所以MN∥平面OBC．…（4分）法二：如图14，延长EM、OB交于点Q，连结GQ，因为BM∥OE且BM=OE，所以，M为EQ中点，…（1分）所以中位线MN∥QG

…（2分）又MN?平面OBC，QG?面OBC，所以MN∥平面OBC．…（4分）（Ⅱ）解：法一如图14，因为OB=OC=，∠BOC=120°，所以，…又BG=2GC．所以，，∴OB2+OG2=BG2，∴∠BOG=90°，OG⊥OB，…（6分）又∵OE⊥OB，OE⊥OC，OB∩OC=O，∴OE⊥平面OBC，OG?面OBC，∴OE⊥OG…（7分）又OB∩OE=O，所以OG⊥平面OBE，QE?面OBE

OG⊥QE，…（8分）又M为EQ中点，所以OQ=OE=，所以OM⊥QE，OM∩OG=O，所以QE⊥平面OMG，QE⊥MG，∠OMG为二面角G﹣ME﹣B的平面角．…（9分）所以Rt△MOG中，，，…（11分），∴二面角G﹣ME﹣B的余弦值为…（12分）法二：如图15，∵OB=OC=，∠BOC=120°，∴，…又BG=2GC，∴，，∴OB2+OG2=BG2，∴∠BOG=90°，OG⊥OB，…（6分）又∵OE⊥OB，OE⊥OC，OB∩OC=O，∴OE⊥平面OBC，OG?面OBC，∴OE⊥OG…（7分）又OB∩OE=O，所以OG⊥平面OBE，OE?面OBE，∴OG⊥OE…（8分）建立如图所示的空间直角坐标系O﹣xyz，则M（，G（0，1，0），E（，，…（9分）而是平面BOE的一个法向量，…（11分）设平面MGE的法向量为，则，令z=1，则，面MGE的一个法向量为，…（10分）所以所以，二面角G﹣ME﹣B的余弦值为…（12分）【点评】本题考查直线与平面平行于垂直的判定定理的应用，二面角的平面角的求法，考查空间想象能力以及计算能力．19.已知，如图，AB是⊙O的直径，G为AB延长线上的一点，GCD是⊙O的割线，过点G作AB的垂线，交直线AC于点E，交AD于点F，过G作⊙O的切线，切点为H.求证：(1)C，D，F，E四点共圆；(2)GH2＝GE·GF.

参考答案：证明：(1)连接CB，∵∠ACB＝90°，AG⊥FG，又∵∠EAG＝∠BAC，∴∠ABC＝∠AEG.∵∠ADC＝180°－∠ABC＝180°－∠AEG＝∠CEF，∴∠ADC＋∠FDC＝∠CEF＋∠FDC＝180°，∴C，D，F，E四点共圆．

…………6分(2)由C，D，F，E四点共圆，知∠GCE＝∠AFE，∠GEC＝∠GDF，∴△GCE∽△GFD，故＝，即GC·GD＝GE·GF.∵GH为圆的切线，GCD为割线，∴GH2＝GC·GD，∴GH2＝GE·GF.

…………12分

20.（本题满分12分）已知递增的等差数列的首项，且、、成等比数列．（1）求数列的通项公式；（2）设对任意，都有成立，求的值．（3）若，求证：数列中的任意一项总可以表示成其他两项之积．参考答案：（1）∵是递增的等差数列，设公差为、、成等比数列∴由

及得∴（2）∵，

对都成立当时，得当时，由①，及②①－②得，得∴∴（3）对于给定的，若存在，使得∵，只需，即，即即，

取，则∴对数列中的任意一项，都存在和使得21.（本题满分12分）如图，四棱锥P－ABCD中，PA⊥底面ABCD，AB⊥AD，点E在线段AD上，CE∥AB，BC//AD。（Ⅰ）求证：CE⊥平面PAD；（Ⅱ）若PA＝AB＝1，AD＝3，且CD与