山西省吕梁市庄上中学2021年高三数学理下学期期末试题含解析

山西省吕梁市庄上中学2021年高三数学理下学期期末试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.在ABC中，AB=AC=2，B=30o，P为BC边中线上的任意一点，则的值为(A)-12

(B)-6

(C)6

(D)12参考答案：B2.设，则“”是“”的

(

)A.充分不必要条件

B.必要不充分条件C.充要条件

D.既不充分也不必要条件参考答案：A3.已知集合A={x|2x﹣1＜0}，B={x|0≤x≤1}，那么A∩B等于（）A．{x|x≥0} B．{x|x≤1} C．{x|0＜x＜} D．{x|0≤x＜}参考答案：D【考点】交集及其运算．【分析】先求出集合A，B，由此利用交集性质能求出A∩B．【解答】解：∵集合A={x|2x﹣1＜0}={x|x＜}，B={x|0≤x≤1}，∴A∩B={0}．故选：D．【点评】本题考查交集的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意交集定义的合理运用．4.已知双曲线，其右焦点为，为其上一点，点满足=1，，则的最小值为 （

）A

3

B

C

2 D

参考答案：B5.如果是二次函数,且的图象开口向上,顶点坐标为（1,）,那么曲线上任一点的切线的倾斜角的取值范围是

（

）A．

B．

C．

D．参考答案：A6.已知向量，若，则实数的值为A．

B．

C．

D．参考答案：D7.某产品的广告费用与销售额的统计数据如下表：广告费用(万元)4235销售额(万元)49263954根据上表可得回归方程中的为，据此模型预报广告费用为万元时销售额为(

)(A)万元

(B)万元

(C)万元

(D)万元参考答案：8.定义在R上的函数满足，当时，，则（）

A．B．

C．D．参考答案：D由题意可知，函数的图象关于y轴对称，且周期为2，故可画出它的大致图象，如图所示：∵且,而函数在是减函数，∴，选D.

9.向量，满足=（1，），||=1，|+2|=2，则向量与的夹角为（）A．45° B．60° C．90° D．120°参考答案：B【考点】平面向量数量积的运算．【分析】根据向量模长和向量数量积的关系，结合向量数量积的应用进行求解即可．【解答】解：∵=（1，），∴||==2，∵|+2|=2，∴平方得||2+4||2+4?=12，即4+4+4?=12，则4?=4，?=1，则cos＜，＞==，则＜，＞=60°，故选：B10.已知函数，，当时，，则方程的实数解的个数为（

）

A.

B.

C.

D.参考答案：B略二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.已知向量，若，则t＝_______．参考答案：【知识点】平面向量坐标运算【试题解析】由题知：若，则

故答案为：12.已知数列是无穷等比数列，其前n项和是，若，，

则的值为

.参考答案：由，，得，所以。13.已知直三棱柱中，，侧面的面积为，则直三棱柱外接球表面积的最小值为

．参考答案：试题分析：根据题意，设，则有，从而有其外接球的半径为，所以其比表面积的最小值为.考点：几何体的外接球，基本不等式.14.二项式的展开式中常数项为________.参考答案：415.已知函数，则

.参考答案：考点：分段函数的有关知识及综合运用．16.（坐标系与参数方程选做题）在极坐标中，过点（3，0）且与极轴垂直的直线的极坐标方程为__________.参考答案：

17.在正三棱锥S-ABC中，侧面SAB、侧面SAC、侧面SBC两两垂直，且侧棱，则正三棱锥外接球的表面积为____________.参考答案：因为侧面SAB、侧面SAC、侧面SBC两两垂直，所以把正三棱锥补成一个正方体，则正方体的体对角线等于外接球的直径，正方体的体对角线长，设外接球的半径为，则，所以外接球的表面积为.三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.（本小题满分13分）已知某山区小学有100名四年级学生，将全体四年级学生随机按00～99编号，并且按编号顺序平均分成10组．现要从中抽取10名学生，各组内抽取的编号按依次增加10进行系统抽样.（1）若抽出的一个号码为22，则此号码所在的组数是多少？据此写出所有被抽出学生的号码；（2）分别统计这10名学生的数学成绩，获得成绩数据的茎叶图如图4所示，求该样本的方差；（3）在（2）的条件下，从这10名学生中随机抽取两名成绩不低于73分的学生，求被抽取到的两名学生的成绩之和不小于154分的概率．参考答案：

试题解析：（1）由题意，得抽出号码为22的组数为3.

（2分）因为2＋10×(3－1)＝22，所以第1组抽出的号码应该为02，抽出的10名学生的号码依次分别为：02，12，22，32，42，52，62，72，82，92.

（4分）（2）这10名学生的平均成绩为：×(81＋70＋73＋76＋78＋79＋62＋65＋67＋59)＝71，

（6分）故样本方差为：（102＋12＋22＋52＋72＋82＋92＋62＋42＋122）＝52.（8分）19.如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为直角梯形，∠ADC=∠BCD=90°，BC=2，，PD=4，∠PDA=60°，且平面PAD⊥平面ABCD．（Ⅰ）求证：AD⊥PB；（Ⅱ）在线段PA上是否存在一点M，使二面角M﹣BC﹣D的大小为，若存在，求的值；若不存在，请说明理由．参考答案：【考点】与二面角有关的立体几何综合题；空间中直线与直线之间的位置关系．【分析】（I）过B作BO∥CD，交AD于O，连接OP，则AD⊥OB，由勾股定理得出AD⊥OP，故而AD⊥平面OPB，于是AD⊥PB；（II）以O为原点建立坐标系，设M（m，0，n），求出平面BCM的平面ABCD的法向量，令|cos＜＞|=cos解出n，从而得出的值．【解答】证明：（I）过B作BO∥CD，交AD于O，连接OP．∵AD∥BC，∠ADC=∠BCD=90°，CD∥OB，∴四边形OBCD是矩形，∴OB⊥AD．OD=BC=2，∵PD=4，∠PDA=60°，∴OP==2．∴OP2+OD2=PD2，∴OP⊥OD．又OP?平面OPB，OB?平面OPB，OP∩OB=O，∴AD⊥平面OPB，∵PB?平面OPB，∴AD⊥PB．（II）∵平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD=AD，OA⊥AD，∴OP⊥平面ABCD．以O为原点，以OA，OB，OP为坐标轴建立空间直角坐标系，如图所示：则B（0，，0），C（﹣2，，0），假设存在点M（m，0，n）使得二面角M﹣BC﹣D的大小为，则=（﹣m，，﹣n），=（﹣2，0，0）．设平面BCM的法向量为=（x，y，z），则．∴，令y=1得=（0，1，）．∵OP⊥平面ABCD，∴=（0，0，1）为平面ABCD的一个法向量．∴cos＜＞===．解得n=1．∴==．20.如图，四棱台中，底面，平面平面为的中点.（1）证明：；（2）若，且，求点到平面的距离.参考答案：（1）证明：连接，∵为四棱台，四边形四边形，∴，由得，，又∵底面，∴四边形为直角梯形，可求得，又为的中点，所以，又∵平面平面，平面平面，∴平面平面，∴；（2）解：在中，，利用余弦定理可求得，或，由于，所以，从而，知，又∵底面，则平面底面为交线，∴平面，所以，由（1）知，∴平面（连接），∴平面平面，过点作，交于点，则平面，在中可求得，所以，所以，点到平面的距离为.21.已知集合A＝{x|x2－2x－3≤0}，B＝{x|x2－2mx＋m2－4≤0，x∈R，m∈R}．(Ⅰ)若A∩B＝[0,3]，求实数m的值；(Ⅱ)若A??RB，求实数m的取值范围．参考答案：解由已知得A＝{x|－1≤x≤3}，

B＝{x|m－2≤x≤m＋2}．(1)∵A∩B＝[0,3]，∴∴m＝2.

…………6分(2)?RB＝{x|x<m－2或x>m＋2}，∵A??RB，

∴m－2>3或m＋2<－1，即m>5或m<－3.

…………12分22.在极坐标系中，圆C的方程为ρ=2asinθ（a＞0）．以极点为坐标原点，极轴为x轴的正半轴建立平面直角坐标系，设直线l的参数方程为（t为参数）．（Ⅰ）求圆C的标准方程和直线l的普通方程；（Ⅱ）若直线l与圆C交于A，B两点，且．求实数a的取值范围？参考答案：【考点】简单曲线的极坐标方程；参数方程化成普通方程．【分析】（Ⅰ）利用极坐标方程进行转化即可求圆C的标准方程，消去参数即可求直线l的普通方程；（Ⅱ）利用直线和圆相交的弦长公式进行转化求解即可．【解答】解：（Ⅰ）∵ρ=2asinθ（a＞