平面问题的直角坐标解答

要点——用逆解法、半逆解法求解平面弹性力学问题。3.1逆解法与半逆解法多项式解答3.2矩形梁的纯弯曲3.3位移分量的求出3.4简支梁受均布载荷3.5楔形体受重力和液体压力主要内容3.1逆解法与半逆解法多项式解答

当体力为常量时，按应力求解平面问题，最后归结为求解一个应力函数F(x,y)，它必须满足下列条件：(2-25)（1）相容方程（2）应力边界条件（2-15）（3）多连体中的位移单值条件求出应力函数F(x,y)，可求得应力分量：(2-24)再求得变形分量和位移分量。由于相容方程是偏微分方程，它的通解不能写成有限项数的形式。因此，一般不能直接求解问题，只能采用逆解法或半逆解法。1.

应力函数求解方法（1）逆解法（2）半逆解法（1）根据问题的条件（几何形状、受力特点、边界条件等），假设各种满足相容方程（2-25）的F(x,y)

的形式；（2）——主要适用于简单边界条件的问题。然后利用应力分量计算式（2-24），求出（具有待定系数）；（3）再利用应力边界条件式（2-15），来考察这些应力函数F(x,y)

对应什么样的边界面力问题，从而得知所设应力函数F(x,y)

可以求解什么问题。逆解法半逆解法（1）根据问题的条件（几何形状、受力特点、边界条件等），假设部分应力分量的某种函数形式；（2）根据与应力函数F(x,y)的关系及，求出F(x,y)

的形式；（3）最后利用式（2-26）计算出并让其满足边界条件和位移单值条件。——半逆解法的数学基础：数理方程中分离变量法。2多项式解答适用性：由一些直线边界构成的弹性体。目的：考察一些简单多项式函数作为应力函数F(x,y)

，能解决什么样的力学问题。——逆解法其中：a、b、c

为待定系数。检验F

(x,y)是否满足双调和方程：显然F

(x,y)

满足双调和方程，因而可作为应力函数。（1）(a)

一次多项式（2）（3）对应的应力分量：若体力：fx

=fy

=0，则有：结论1：（1）（2）一次多项式对应于无体力和无应力状态；在该函数F(x,y)上加上或减去一个一次多项式，对应力无影响。(b)

二次多项式（1）其中：a、b、c

为待定系数。检验F(x,y)

是否满足双调和方程，显然有（2）(可作为应力函数

)(假定：fx

=fy

=0;a>0,b>0,c>0)（3）由式（2-24）计算应力分量：结论2：二次多项式对应于均匀应力分布。xy2c2c2a2axy试求图示板的应力函数。例：xy(c)

三次多项式（1）其中:a、b、c

、d为待定系数。检验F(x,y)

是否满足双调和方程，显然有（2）(可作为应力函数

)(假定：fx

=fy

=0)（3）由式（2-24）计算应力分量：结论3：三次多项式对应于线性应力分布。讨论：可算得：xy1llMM可见：——对应于矩形截面梁的纯弯曲问题应力分布。(d)

四次多项式（1）检验F(x,y)

是否满足双调和方程（2）代入：得其待定系数，须满足上述关系才能作为应函数总结：（多项式应力函数F的性质）（1）多项式次数n

<4

时，则系数可以任意选取，总可满足。多项式次数n

≥4

时，则系数须满足一定条件，才能满足。多项式次数

n

越高，则系数间需满足的条件越多。（2）一次多项式，对应于无体力和无应力状态；任意应力函数F(x,y)上加上或减去一个一次多项式，对应力无影响。二次多项式，对应均匀应力状态，即全部应力为常量；三次多项式，对应于线性分布应力。（3）（4）用多项式构造应力函数F

(x,y)

的方法——逆解法（只能解决简单直线应力边界问题）。3.2矩形梁的纯弯曲可算得：xy图示梁对应的边界条件：1llMM常数a与弯矩M的关系：(1)由梁端部的边界条件：(2)可见：此结果与材力中结果相同，说明材力中纯弯曲梁的应力结果是正确的。xy1llMMxy1llMM说明：(1)组成梁端力偶M

的面力须线性分布，且中心处为零，结果才是精确的。(2)若按其它形式分布，如：则此结果不精确，有误差；但按圣维南原理，仅在两端误差较大，离端部较远处误差较小。(3)当l

远大于h

时，误差较小；反之误差较大。按应力求解平面问题，其基本未知量为：，本节说明如何由求出形变分量、位移分量？问题：3.3

位移分量的求出以纯弯曲梁为例，说明如何由求出形变分量、位移分量？xyl1hMM1.

形变分量与位移分量由前节可知，其应力分量为：平面应力情况下的物理方程：（1）形变分量(a)将式（a）代入得：(b)xyl1hMM（2）位移分量将式（b）代入几何方程得：(c)(b)将式（c）前两式积分，得：(d)将式(d)代入(c)中第三式，得：整理得：（仅为x的函数）（仅为y的函数）要使上式成立，须有(e)式中：ω为常数。积分上式，得将上式代入式（d），得(f)式中：u0、v0、ω

由位移边界条件确定。（1）讨论：当x=x0=常数——u关于铅垂方向的变化率，即铅垂方向线段的转角。说明：

同一截面上的各铅垂线段转角相同。横截面保持平面——材力中“平面保持平面”的假设成立。xyl1hMM（2）将下式中的第二式对x

求二阶导数：说明：在微小位移下，梁纵向纤维的曲率相同。即——材料力学中挠曲线微分方程2.

位移边界条件的利用（1）两端简支(f)其边界条件：将其代入(f)式，有将其代回(f)式，有(3-3)梁的挠曲线方程：——与材力中结果相同（2）悬臂梁(f)边界条件h/2h/2由式（f）可知，此边界条件无法满足。边界条件改写为：（中点不动）（轴线在端部不转动）h/2h/2代入式（f），有可求得：(3-4)h/2h/2挠曲线方程：与材料力学中结果相同说明：（1）求位移的过程：（a）将应力分量代入物理方程h/2h/2（b）再将应变分量代入几何方程（c）再利用位移边界条件，确定常数。（2）若为平面应变问题，则将材料常数E、μ作相应替换。（3）若取固定端边界条件为：（中点不动）（中点处竖向线段转角为零）h/2h/2得到：求得：此结果与前面情形相同。3.4

简支梁受均布载荷要点——用半逆解法求解梁、长板类平面问题。llqlql1yzh/2h/2q1.

应力函数的确定(1)分析：——主要由弯矩引起；——主要由剪力引起；——由q

引起（挤压应力）。又∵q

=常数，图示坐标系和几何对称，∴不随x

变化。推得：xy(2)由应力分量表达式确定应力函数的形式：积分得：(a)(b)——任意的待定函数llqlql1yzh/2h/2qxy(3)由确定：代入相容方程：llqlql1yzh/2h/2qxy方程的特点：关于x的二次方程，且要求－l≤x≤l内方程均成立。由“高等代数”理论，须有x的一、二次的系数、自由项同时为零。即：对前两个方程积分：(c)此处略去了f1(y)中的常数项由第三个方程得：积分得：(d)(c)(d)(a)(b)将(c)(d)代入(b)，有(e)（d）式略去了f2(y)中的一次项和常数项式中含有9个待定常数。2.

应力分量的确定(f)(g)(h)(e)(f)(g)(h)3.

对称条件与边界条件的应用（1）对称条件的应用：由q

对称、几何对称：——x

的偶函数——x

的奇函数由此得：要使上式对任意的y成立，须有：llqlql1yzh/2h/2qxy（2）边界条件的应用：(a)上下边界（主要边界）：llqlql1yzh/2h/2qxy由此解得：代入应力公式(i)(j)(k)(b)左右边界（次要边界）：（由于对称，只考虑右边界即可。）——难以满足，需借助于圣维南原理。静力等效条件：轴力FN

=0；弯矩M=0；剪力FS

=－ql；llqlql1yzh/2h/2qxy可见，这一条件自动满足。(p)截面上的应力分布：三次抛物线llqlql1yzh/2h/2qxy(p)4.

与材料力学结果比较材力中几个参数：截面宽：b=1,截面惯矩：静矩：弯矩：剪力：将其代入式(p)，有（3-6）llqlql1yzh/2h/2qxyllqlql1yzh/2h/2qxy（3-6）比较，得：（1）第一项与材力结果相同，为主要项。第二项为修正项。当h/l<<1，该项误差很小，可略；当h/l较大时，须修正。（2）为梁各层纤维间的挤压应力，材力中不考虑。（3）与材力中相同。注意：按式（3-6），梁的左右边界存在水平面力：说明式（3-6）在两端不适用。解题步骤小结：（1）（2）（3）根据问题的条件：几何特点、受力特点、约束特点（面力分布规律、对称性等），估计某个应力分量（）的变化形式。由与应力函数的关系式（2-24），求得应力函数的具体形式（具有待定函数）。（5）将具有待定函数的应力函数代入相容方程：确定中的待定函数形式。（4）由与应力函数的关系式（2-24），求得应力分量。由边界条件确定中的待定常数。用半逆解法求解梁、矩形长板类弹性力学平面问题的基本步骤：附：应力函数确定的“材料力学方法”要点：利用材料力学中应力与梁内力的关系，假设某个应力分量的函数形式。适用性：直梁、长板条等受连续分布面力、杆端集中力、杆端集中力偶等。应力函数常可表示为：设法由边界面力先确定其中之一，然后将其代入确定另外一个函数。材力中，应力分量与梁内力的关系为：式中：M(x)——弯矩方程；Q(x)——剪力方程。当有横向分布力q(x)作用时，纵向纤维间存在挤压应力，同时，横向分布力q(x)的挤压作用时，对轴向应力也产生影响。应力分量与梁内力的关系可表示为：考虑挤压应力影响导致然后由：确定应力函数的具体形式。例：悬臂梁，厚度为单位1，τ=常数。求：应力函数及梁内应力。bl解：(1)应力函数的确定xQM取任意截面，其内力如图：取作为分析对象，可假设：（a）——f(y)为待定函数由与应力函数的关系，有：（b）对x积分一次，有：xyO对y再积分一次，有：其中：（c）blxQMxyO由确定待定函数：（d）要使上式对任意的x，y成立，有（e）（f）由式（e）求得（g）由式（f）得（h）（i）积分式（h）和（i）得（j）（k）blxQMxyO(l)包含9个待定常数，由边界条件确定。(2)应力分量的确定(m)blxQMxyO(3)利用边界条件确定常数(o)代入可确定常数为：代入式（m）得blxQMxyO(m)注：也可利用M（x）=0，考虑进行分析。此时有：为待定函数，由相容方程确定。blxQMxyO3.5

楔形体受重力和液体压力要点——半逆解法（因次或量纲分析法）问题的提出：楔形体，下部可无限延伸。侧面受水压作用：（水的容重）；自重作用：（楔形体的容重）求：楔形体应力分布规律。xyO1.

应力函数及应力分量(1)分析：(a)∵的量纲为：∴的形式应为：的线性组合。的量纲为：(b)由推理得：应为x、y的三次函数。应力函数可假设为：xyOxyO(2)应力分量考虑到：fx

=0，fy

=（常体力）(a)显然，上述应力函数满足相容方程。2.

边界条件的利用(1)

x=0（应力边界）：代入式（a），则应力分量为：xyO(b)xyON(2)

（应力边界）：将(b)代入，有其中：代入，可求得：代入式（b），有：(3-7)——李维（Levy）解答(3-7)与材力结果比较：——沿水平方向不变，在材力中无法求得。——沿水平方向线性分布，与材力中偏心受压公式算得结果相同。——沿水平方向线性分布，材力中为抛物线分布。沿水平方向的应力分布(3-7)xyO结果的适用性：（1）当坝的横截面变化时，不再为平面应变问题，其结果误差较大。（2）假定坝下端无限延伸，可自由变形。而实际坝高有限，底部与基础相连，有地基约束，故底部处结果误差较大。（3）实际坝顶非尖顶，坝顶处有其它载荷，故坝顶处结果误差较大。——三角形重力坝的精确分析，常借助于有限元数值方法求解。平面问题的直角坐标解答一、多项式解答——逆解法二、梁、长板类弹性体应力函数方法应力分量与梁内力的关系可表示为：考虑挤压应力影响导致然后由：确定应力函数的具体形式。三、三角形板、楔形体的求解方法因次分析法（