山西省吕梁市东土峪中学2021年高二数学文下学期期末试卷含解析

山西省吕梁市东土峪中学2021年高二数学文下学期期末试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.设A，B是函数f（x）=sin|ωx|与y=﹣1的图象的相邻两个交点，若|AB|min=2π，则正实数ω=（）A． B．1 C． D．2参考答案：B【分析】根据函数f（x）的图象与性质，得出|AB|min=T，从而求出ω的值．【解答】解：函数f（x）=sin|ωx|=，ω为正数，∴f（x）的最小值是﹣1，如图所示；设A，B是函数f（x）=sin|ωx|与y=﹣1的图象的相邻两个交点，且|AB|min=T==2π，解得ω=1．故选：B．2.若偶函数满足，则不等式的解集是A.

B.

C.

D.参考答案：D略3.若a∈{1,2,3,5}，b∈{1,2,3,5}，则方程y＝x表示的不同直线条数为()A．11

B．12 C．13

D．14参考答案：C4.函数y=sin3x在（，0）处的切线斜率为（）A．﹣1 B．1 C．﹣3 D．3参考答案：C【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程．【专题】对应思想；分析法；导数的概念及应用．【分析】求出函数的导数，由导数的几何意义，结合特殊角的三角函数值，可得切线的斜率．【解答】解：函数y=sin3x的导数为y′=3cos3x，可得在（，0）处的切线斜率为3cosπ=﹣3，故选：C．【点评】本题考查导数的运用：求切线的斜率，考查导数的几何意义，求出导数是解题关键，属于基础题．5.在△ABC中，AB=AC=5，BC=6，PA⊥平面ABC，PA=8，则P到BC的距离是（）A.

B.

C.

D.参考答案：B6.已知a，b，c，d是空间中的四条直线，若a⊥c，b⊥c，a⊥d，b⊥d，那么()A．a∥b或c∥d

B．a，b，c，d中任意两条都有可能平行C．a∥b，且c∥d

D．a，b，c，d中至多有两条平行参考答案：A7.方程表示的曲线是(

)A.两条射线和一个圆

B.一条直线和一个圆

C.一条射线和一个半圆

D.两条射线和一个半圆参考答案：A略8.在等差数列{an}中，若a1+a2=4，a3+a4=12，则a5+a6=(

)A．12 B．16 C．20 D．24参考答案：C【考点】等差数列的通项公式．【专题】计算题；函数思想；数学模型法；等差数列与等比数列．【分析】由已知结合（a1+a2），（a3+a4），（a5+a6）成等差数列求解．【解答】解：在等差数列{an}中，由a1+a2=4，a3+a4=12，得2（a3+a4）=（a1+a2）+（a5+a6），即2×12=4+（a5+a6），∴a5+a6=20．故选：C．【点评】本题考查等差数列的通项公式，考查了等差数列的性质，是基础的计算题．9.已知，则下列不等式中正确的是A．

B．C．

D．参考答案：A10.曲线与直线围成的平面图形的面积为（

）A. B. C. D.参考答案：D【分析】先作出直线与曲线围成的平面图形的简图，联立直线与曲线方程，求出交点横坐标，根据定积分即可求出结果.【详解】作出曲线与直线围成的平面图形如下：由解得：或，所以曲线与直线围成的平面图形的面积为.故选D【点睛】本题主要考查定积分的应用，求围成图形的面积只需转化为对应的定积分问题求解即可，属于常考题型.二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.如图所示，向量在由单位长度为1的正方形组成的网格中则

▲

.参考答案：312.设锐角的面积为2，边的中点分别为，为线段上的动点，则的最小值为_____________．参考答案：13.定义：曲线上的点到点的距离的最小值称为曲线到点的距离。已知曲线到点的距离为，则实数的值为___________．参考答案：或

14.点是曲线上任意一点，则到直线的距离的最小值是__.参考答案：15.函数的定义域为，若满足：①在内是单调函数；②存在，使在上的值域为.

那么叫做闭函数，现有是闭函数，那么的取值范围是

。参考答案：略16.甲、乙两队各有n个队员，已知甲队的每个队员分别与乙队的每个队员各握手一次（同队的队员之间不握手），从这n2次的握手中任意取两次．记事件A：两次握手中恰有3个队员参与．若事件A发生的概率P＜，则n的最小值是_____________．参考答案：2017.数列的前项组成集合(),从集合中任取个数,其所有可能的个数的乘积的和为(若只取一个数,规定乘积为此数本身),记.例如:当时,.当时,.则:(1)

;(2)的通项公式是

.参考答案：(1)63;(2).(1)当时,,

,所以;(2)法一

不完全归纳法

由(1)问及题设知,,又易知,故;;

;;

所以26+196+496+315=1023,…观察发现,显然其指数1,3,6,10,…,的通项为,故猜测.法二

归纳递推法(其中为时可能的个数的乘积的和为).即,即.三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.如图，过抛物线y2＝2px(p＞0)焦点F的直线交抛物线于A、B两点，O为坐标原点，l为抛物线的准线，点D在l上。（1）求证：“如果A、O、D三点共线，则直线DB与x轴平行”；（2）写出（1）中命题的逆命题，判断它是真命题还是假命题，并说明理由.参考答案：（1）证明：设点A的坐标为（，y0），则直线OA的方程为

（y0≠0）

①

抛物线的准线方程是x＝－

②联立①②，可得点D的纵坐标为y＝－

③

（3分）因为点F的坐标是（，0），所以直线AF的方程为y＝(x－)

④其中y≠p2.联立y2＝2px与④，可得点B的纵坐标为y＝－

⑤由③⑤可知，DB∥x轴.

当y＝p2时，结论显然成立.所以，直线DB平行于抛物线的对称轴.（6分）（2）逆命题：如果DB与x轴平行，则A、O、D三点共线它是真命题，证明如下（8分）因为抛物线y2＝2px（p＞0）的焦点为F（，0），所以经过点F的直线AB的方程可设为x＝my＋.代入抛物线方程，得y2－2pmy－p2＝0.若记A（x1，y1），B（x2，y2），则y1，y2是该方程的两个根，所以y1y2＝－p2.（10分）因为DB∥x轴，且点D在准线x＝－上，所以点D的坐标为（－，y2），故直线DO的斜率为k＝，即k也是直线OA的斜率，所以直线AD经过原点O，即A、O、D三点共线.（12分）略19.把一个正方体的表面涂上红色，在它的长、宽、高上等距离地各切三刀，则大正方体被分割成64个大小相等的小正方体，将这些小正方体均匀地搅混在一起，如果从中任取1个，求下列事件的概率（1）事件A＝“这个小正方体各个面都没有涂红色”（2）事件B＝“这个小正方体只有1个面涂红色”（3）事件C＝“这个小正方体至少2个面涂红色”参考答案：解：（1）在大正方体表面的小正方体没有涂红色共8个

3分

5分（2）在大正方体表面且不在棱上及顶点的小正方体只有1个面涂红色，共24个

8分

10分（3）

13分20.（本小题满分16分）如图，椭圆与椭圆中心在原点，焦点均在轴上，且离心率相同．椭圆的长轴长为，且椭圆的左准线被椭圆截得的线段长为，已知点是椭圆上的一个动点．⑴求椭圆与椭圆的方程；⑵设点为椭圆的左顶点，点为椭圆的下顶点，若直线刚好平分，求点的坐标；⑶若点在椭圆上，点满足，则直线与直线的斜率之积是否为定值？若是，求出该定值；若不是，说明理由．参考答案：⑴设椭圆方程为，椭圆方程为，则，∴，又其左准线，∴，则∴椭圆方程为，其离心率为，

……3分∴椭圆中，由线段的长为，得,代入椭圆，得，∴，椭圆方程为；

……6分⑵，则中点为，∴直线为，……7分由，得或，∴点的坐标为；

……10分⑶设，，则，，由题意，∴

……12分∴……14分∴，∴，即，∴直线与直线的斜率之积为定值，且定值为．

……16分21.已知a，b，c为正数，且满足abc=1．证明：（1）；（2）．参考答案：（1）见解析；（2）见解析【分析】（1）利用将所证不等式可变为证明：，利用基本不等式可证得，从而得到结论；（2）利用基本不等式可得，再次利用基本不等式可将式转化为，在取等条件一致的情况下，可得结论.【详解】（1）

当且仅当时取等号，即：（2），当且仅当时取等号又，，（当且仅当时等号同时成立）又

【点睛】本题考查利用基本不等式进行不等式证明问题，考查学生对于基本不等式的变形和应用能力，需要注意的是在利用基本不等式时需注意取等条件能否成立.22.（本题满分14分）已知椭圆的左、右焦点分别是、，离心率为，椭圆上的动点到直线的最小距离为2，延长至使得，线段上存在异于的点满足.（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）求点的轨迹的方程；（Ⅲ）求证：过直线上任意一点必可以作两条直线与的轨迹相切，并且过两切点的直线经过定点.参考答案：（1）依题意得，

…………………2分解得，∴……3分椭圆的方程为…………4分（2）解法1：设点的坐标为.当重合时，点坐标为和点，…5分当不重合时，由，得.………6分由及椭圆的定义，，……7分所以为线段的垂直平分线，为线段的中点在中，，…………8分所以有.综上所述，点的轨迹的方程是.………………9分解法2：设点的坐标为.当重